Correction

Mathématiques

A

Stage n°

Sommet A B

Côté BC

Angle ACB C

Le triangle (ABC)

C.F.A du bâtiment

Ermont

1

Rappel de quelques évidences : Un triangle est une forme géométrique fermée à 3 côtés. Il a également 3 sommets, ainsi que 3 angles.

Problème : La figure ci-dessous permet de se persuader que la somme des 3 angles d’un triangle fait toujours 180 °. Avez-vous trouvé comment faire ?

c

b

En conclusion :

La somme des 3 angles a + b + c donne un angle plat, soit 180°.

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Les triangles particuliers Certains triangles peuvent avoir une ou plusieurs particularités : Avoir deux ou trois côtés égaux. Avoir un angle droit. Si ce n’est pas le cas, on dit que le triangle est quelconque. Faisons le point sur les triangles particuliers qui peuvent exister.

Le triangle isocèle : Il a 2 côtés égaux. Sur le dessin, indiquez que deux côtés ont la même longueur avec un symbole approprié. Que peut-on dire de ses angles ? Les deux angles opposés au sommet sont égaux.

Le triangle équilatéral : Il a 3 côtés égaux. C’est en quelque sorte le triangle « parfait ». Sur le dessin, indiquez que ses trois côtés ont la même longueur avec un symbole approprié. Que peut-on dire de ses angles ? Les trois angles sont égaux à 60°.

Le triangle rectangle : Un de ses angles est un angle droit (90°) Sur le dessin, indiquez la présence de l’angle droit avec le symbole approprié.

3

Exercice 1 : Quelle est la nature de ce triangle ? Pourquoi ? Ce triangle possède un angle droit donc c’est un triangle rectangle.

Exercice 2 : Quelle est la nature de ce triangle ? Pourquoi ? Ce triangle possède trois côtés égaux, il est donc équilatéral. (Attention : 3 angles égaux n’est pas un argument valable ici) Exercice 3 : Quelle est la nature de ce triangle ? Pourquoi ? Ce triangle possède deux côtés égaux, il est donc isocèle. (Attention : 2 angles égaux n’est pas un argument valable ici) Exercice 4 : Quelle est la nature de ce triangle ? Pourquoi ? 180° – 74° – 32° = 74° Donc ce triangle a deux angles égaux : il est isocèle.

Exercice 5 : Calculez la valeur de l’angle ABC. Justifiez votre réponse. 180° – 90° – 60° = 30° C’est l’équerre 90/60/30.

60°

Exercice 6 : Calculez la valeur de l’angle EFG. Justifiez votre réponse. 180° – 84° – 63° = 33° Ce triangle est donc quelconque. Exercice 7 : Le triangle (ABC) est-il rectangle ? Justifiez votre réponse. 180° – 86° – 32° = 62° et non 90°, donc ce triangle n’est pas rectangle.

74°

32°

63° 84°

32° 86°

4

Exercice : un triangle particulier particulier …

H

1) Tracez un triangle (FGH) tel que : Un angle droit se trouve en G FG = GH = 6cm

F

G 2) Quelles sont les particularités de ce triangle ? Comment pourrait-on l’appeler ? Ce triangle possède un angle droit et à deux côtés égaux. On peut l’appeler un triangle isocèle-rectangle ou rectangle-isocèle (au choix).

3) Que peut-on dire de ses deux angles non droits ? Ces deux angles s’opposent à l’angle droit, qui est le sommet du triangle : ils sont donc égaux.

4) Calculez ces deux angles. Ces deux angles non-droits se partagent équitablement les 180°- 90° qui restent quand on a enlevé l’angle droit. Ils mesurent donc chacun 90°/2 donc 45°. C’est le 90/45/45, l’équerre carrée.

5

Problème : 1) Tracez un quadrilatère quelconque (ABCD) , un carré (EFGH) et un rectangle (IJKL).

A

B

D C

F

G

I

E

H

L

J

K

2) Calculez la somme des angles de (EFGH) et de (IJKL) Dans les deux cas, cela donne 4 x 90° = 360°.

3) On voudrait désormais connaître la somme des angles de (ABCD) : sauriez vous démontrer que cette somme vaut 360 ° ? (Astuce : et si vous traciez une diagonale à ce quadrilatère …)

A

B

D C

Chacun des deux triangles (ACD) et (ABC) ont trois angles dont la somme fait 180°. La somme des quatre angles du quadrilatère fait donc : 180° + 180° = 360°.

4) A main levée, schématisez un pentagone régulier et un hexagone régulier (ils ont respectivement 5 et 6 côtés).

5) Sauriez vous trouvez une méthode pour calculer la somme de leurs angles ? 3 x 180° = 540°

4 x 180° = 720°

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Synthèse

Les triangles quelconques Leurs 3 côtés ont des longueurs différentes Leurs 3 angles ont des valeurs différentes

Mais la somme des 3 angles fait toujours 180°

Les triangles particuliers Le triangle isocèle Il a 2 côtés égaux et aussi 2 angles égaux.

Le triangle équilatéral Il a 3 côtés égaux, et ses 3 angles valent 60°.

Le triangle rectangle Il possède un angle droit (= 90°)

Mais la somme des 3 angles fait toujours 180°

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