CORRECTION DE L`EXERCICE 3 DE LA FEUILLE SUR LES

CORRECTION DE L'EXERCICE 3 DE LA FEUILLE SUR LES PROBABILITES CONDITIONNELLES EXERCICE 3: Une épreuve consiste à jeter une flèchette sur une cible partagée en trois cases notées 1, 2, 3. Deux concurrents A et B sont en présence. On admet qu'à chaque lancer, chacun d'eux atteint une case et une seule et que les lancers sont indépendants. Pour le concurrent A, les probabilités d'atteindre les cases 1, 2, 3 sont dans cet ordre

1 1 7 , , . 12 3 12

Pour le concurrent B, les trois éventualités sont équiprobables. NB: les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles. 1. Le concurrent A lance la fléchette trois fois. Les résultats des trois lancers sont indépendants. a. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne chaque fois la case 3? b. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases 1, 2, 3 dans cet ordre? c. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases 1, 2 et 3? 2. On choisit un des deux concurrents. La probabilité de choisir A est égale à deux fois la probabilité de choisir B. a. Un seul lancer est effectué. Quelle est la probabilité que la case 3 soit atteinte? b. Un seul lancer a été effectué, et la case 3 a été atteinte. Quelle est la probabilité pour que ce soit le concurrent A qui ait lancé la fléchette ?

1. a) Les trois lancers étant indépendants. p  3 ;3 ;3 = b) p  1 ;2 ;3  =

1 1 7 × × ≈0,016 12 3 12

7 7 7 73 × × = 3 ≈0,198 12 12 12 12

c) La probabilité qu'il atteigne les cases 1,2 et 3(sans ordre précisé)

 121 × 13 × 127 ≈0,097

= p  1 ;2 ;3   p  1; 3 ; 2  p  2; 1;3  p  2 ;3 ;1   p  3;1 ; 2  p  3 ; 2;1 =6×

2. On peut représenter la situation avec un arbre. Voir ci-dessous.

a) p  3 = p  A∩3   p  B∩3  =

2

7

2 7 1 1 7 1 7 2 9 1 ×  × =  =  = = 3 12 3 3 18 9 18 18 18 2 7

× p  A∩3  3 12 18 7 = = ≈0,78 b) p3  A  = = 1 1 p  3 9 2

2

concurrent

case de la cible

Issue A∩1

1 1 12 A

1 3

2 3

A∩2

3

A∩3

7 12 1 3

1 3

2

B

1

B∩1

1 3 B∩2

2 1 3 3

B∩3