corrigé activité 8 : grille interprétation des productions de l`adulte

Avril 2016

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Corrigé intégrant des pistes de solutions Rappel de l’énoncé du problème : À vol d’avion ! Dans le but d’illustrer le concept de vitesse relative (vitesse perçue au sol) aux apprentis pilote d’avion, les instructeurs proposent la situation suivante : Un avion, de type Dash 8-400, quitte l’aéroport de Montréal pour l’aéroport de Gaspé avec une vitesse aérodynamique de 467 km/h dans la direction de 36,87o nord-est. Si l’avion maintient sa vitesse constante et est soumis à des vents de 90 km/h dans la direction de 71,44o nord-ouest, déterminer la vitesse relative de l’avion.

Appropriation de la situation Dans cet énoncé, la compréhension du contexte est nécessaire. Lorsqu’un objet semble avoir un mouvement selon un premier observateur, mais un mouvement différent selon un deuxième observateur, on dit qu’il s’agit de mouvement relatif parce que les observateurs font partie de systèmes de référence différents. La vitesse vectorielle d’un objet en fonction d’un système de référence s’appelle la vitesse vectorielle relative ou vélocité relative. INFOS POUR L’ENSEIGNANT : Dans les avions, les navigateurs utilisent des termes précis pour certains concepts de la vélocité relative. La vitesse aérodynamique est la vitesse d’un avion par rapport à l’air. La vitesse du vent est la vitesse du vent par rapport au sol. La vitesse par rapport au sol est la vitesse de l’avion par rapport au sol. Le cap est l’orientation de l’avion. la vitesse de doit l’aviondonc par rapport L’adulte comprendre que la vitesse ici cherchée est la vitesse perçue au sol. au sol. Le cap est l’orientation de l’avion. La route est la trajectoire par rapport à la Terre ou au sol. Sur la mer, les navigateurs utilisent de la même façon les termes «cap» et «route».

Il peut esquisser la situation dans un plan cartésien ou non. Cette esquisse peut être à l’échelle ou non.

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Un premier vecteur, →

𝑢𝑃𝐴

par rapport à l’air. Un second vecteur → la terre (au sol).

𝑤𝐴𝑇

pourra représenter la vitesse, le sens et la direction de l’appareil

représentera la vitesse, le sens et la direction du vent par rapport à

L’interprétation du sens du vecteur peut semer confusion. La direction «36,87o nord-est» signifie 36,87o au nord de l’est. L’angle est donc défini à partir de l’axe des x positifs vers le nord. De même, la direction «71,44o nord-ouest» signifie 36,87o au nord de l’ouest.

Modélisation de la situation dans le plan cartésien et à l’aide de vecteurs Une représentation par mise bout à bout des vecteurs a été retenue ici (triangle vectoriel). Il serait aussi possible de proposer une représentation du parallélogramme vectoriel.

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L’adulte doit comprendre que la recherche de la vitesse relative revient à chercher le vecteur résultant par l’addition des vecteurs → et → . 𝑢𝑃𝐴

𝑤𝐴𝑇

→ =→ + → . 𝑢𝑃𝑇

𝑢𝑃𝐴

𝑤𝐴𝑇

Différentes méthodes sont alors possibles pour résoudre le problème :  Résolution par déductions à l’aide d’une représentation vectorielle à l’échelle.  Résolution par déductions à utilisant la trigonométrie  Résolution par une méthode algébrique s’appuyant sur les composantes des vecteurs. La première n’est pas exposée dans ce corrigé. Il serait assez simple de l’appliquer en prenant la représentation fournie ci-bas. Il suffirait de rechercher l’échelle respectée dans la représentation, d’utiliser la règle pour mesurer le vecteur «vitesse relative» pour ensuite lui appliquer le coefficient de proportionnalité trouvé.

Méthode par analyse de la représentation vectorielle dans le plan et déductions Pour déterminer le vecteur vitesse relative →

𝑢𝑃𝑇



:

On déduit l’angle 𝜃 défini par les deux vecteurs →

𝑢𝑃𝐴

et → . 𝑤𝐴𝑇

o Un raisonnement possible est de reconnaître l’angle correspondant en P à l’angle de 36,87o. Par la suite, par angles opposés par le sommet en P, on trouvera que

𝜃 = 36,87 o +71,44 o = 108,31 o





À l’aide de la loi des cosinus, on déduit la norme de «vitesse relative » : o (vitesse_relative)2 = 4672+902-2(467)(90)cos(108,31) = 218 089+8100 +26 408,13 vitesse_relative = 502,59km/h Par observation du vecteur résultat, on identifie sens. vitesse_relative = 502,59km/h nord-est

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À l’aide de la loi des cosinus, on déduit l’angle du vecteur : 902 = 4672+502,592-2(467)(502,69)cos 𝜑 𝜑=9,85 o vitesse_relative = 502,59km/h, 46,7 o nord-est

Méthode algébrique s’appuyant sur les composantes des vecteurs. 

Soit →

, le vecteur de l’appareil par rapport à l’air.



Soit →

, le vecteur du vent par rapport au sol (terre).



Définissons ces vecteurs à partir de leurs composantes : o → = (373,59 ; 280,26) ;

𝑢𝑃𝐴 𝑤𝐴𝑇

𝑢𝑃𝐴

o →

𝑤𝐴𝑇



 

= (-28,65 ; 85,32) ;

Par addition, on déduit les composantes du vecteur «vitesse_relative» : o (373,59-28,65 ; 280,26+85,32) o (344,94; 365,58) En utilisant la relation de Pythagore, on déduit la norme du vecteur «vitesse_relative» = 502,6km/h À l’aide du rapport de la tangente, on déduit l’angle : o Tan 𝜃 =

365,58 344,94

o 𝜃 = 46,66° Vitesse_relative = 502,59km/h, 46,66° nord-est

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Grille d’interprétation des productions de l’adulte Activité sur les vecteurs Compétence 1 : Utiliser des stratégies de résolution de situations-problèmes Critère 1.1 Manifestation, oralement ou par écrit, d’une compréhension adéquate de la situationproblème Ce critère mesure la capacité de l’adulte à cerner ce qui est cherché en s’appuyant sur l’énoncé de la question et à dégager les renseignements pertinents en tenant compte des contraintes nécessaires au traitement mathématique de la situation.



Tient compte qu’il y trois vecteurs en jeu (vitesse de l’avion, vitesse du vent et la vitesse relative cherchée) ;



Tient compte des directions et du sens des vecteurs vent et vitesse de l’avion ;



Interprète correctement l’angle des vecteurs en lien avec la rose des vents;



Saisit qu’il doit déterminer le vecteur vitesse relative ;



Autre.

Critère 1.2 Mobilisation de stratégies et de savoirs mathématiques appropriés à la situationproblème. Ce critère mesure la capacité de l’adulte à utiliser des stratégies pertinentes pour sélectionner des savoirs adéquats dans le but de résoudre le problème.



Représente à l’échelle ou non, la situation dans un plan cartésien ou non Les vecteurs pourront être mis bout à bout ou définis sur une même origine.



Situe correctement les angles définissant la direction des vecteurs ;



S’il a représenté à l’échelle les deux vecteurs dans un plan cartésien, il définit les composantes de vecteurs par lecture de celles-ci ;



Distingue les vecteurs en définissant des composantes différentes ;



Construis un triangle ou un parallélogramme vectoriel ;



Identifie les mesures des angles et des côtés du triangle qui sont connues et compare ces mesures des angles et des côtés du triangle connues en vue de déterminer un moyen permettant de trouver les mesures manquantes



Autre.

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Compétence 2 : Déployer un raisonnement mathématique Critère 2.1 Utilisation correcte des concepts et des processus mathématiques appropriés. Ce critère mesure la capacité de l’adulte à appliquer de façon appropriée les savoirs et habiletés mathématiques nécessaires à la résolution du problème. Partie 1 du critère



Si la résolution s’appuie sur une représentation vectorielle à l’échelle de la situation o L’échelle est déterminée. o Une proportion est établie et permet de trouver le vecteur relatif.

ou  Si la résolution s’appuie sur des raisonnements trigonométriques o La mesure de l’angle entre le vecteur vitesse du vent (par rapport au sol) et le vecteur vitesse de l’avion (dans l’air) est déduite ; o La norme du vecteur vitesse relative est déduite à l’aide de la loi des cosinus ; o L’angle entre les vecteurs vitesse relative et vitesse de l’avion par rapport à l’air est déduit à l’aide de la loi des sinus ou des cosinus ou  Si la résolution s’appuie sur une méthode algébrique o Les composantes des vecteurs sont déterminées à l’aide des rapports trigonométriques ; o Les composantes du vecteur «vitesse relative de l’avions par rapport au sol» sont déterminées par l’addition des composantes des deux autres vecteurs. o La norme du vecteur est déterminée à l’aide de la relation de Pythagore ; 



La direction et le sens du vecteur vitesse relative sont déterminés soit par la mesure de l’angle (rapporteur d’angle), soit par déduction sur les angles déjà déduits, soit par l’application du rapport tangente des composantes du vecteur «vitesse relative». Autre.

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Partie 2 du critère

    

L’angle entre les vecteurs vitesse du vent et vitesse de l’avion est 108,31o ; La norme du vecteur «vitesse relative» est ≈502,6 km/h L’angle entre les vecteurs «vitesse relative» et «vitesse de l’avion par rapport à l’air» est 9,85 o ; La direction du vecteur «vitesse relative» est ≈46,7o nord-est ; Les composantes des vecteurs : → = (373,59 ; 280,26) ; 𝑢𝑃𝐴

→

𝑤𝐴𝑇

 

= (-28,65 ; 85,32) ;

Les composantes du vecteur vitesse relatives sont (344,94; 365,58) ; Autre.

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Critère 2.2 Mise en œuvre convenable d’un raisonnement mathématique adapté à la situation Ce critère mesure la capacité de l’adulte à présenter une démarche cohérente avec les stratégies utilisées et les savoirs sélectionnés, et à obtenir le bon résultat.







 

Résout par déductions à l’aide d’une représentation vectorielle à l’échelle. o L’adulte reconnaît que sa représentation est une représentation réduite, à l’échelle, de la situation représentée. ou Résout en utilisant la trigonométrie o Recherche la mesure de l’angle entre le vecteur vitesse du vent (par rapport au sol) et le vecteur vitesse de l’avion (dans l’air) ; o Reconnaît qu’en présence d’un triangle quelconque, la loi des cosinus permettrait de déterminer la norme du vecteur vitesse relative ; o Reconnaît qu’en présence d’un triangle quelconque, les lois des sinus ou des cosinus permettraient de déterminer l’angle entre les vecteurs vitesse relative et vitesse de l’avion par rapport à l’air; ou Résout par une méthode algébrique s’appuyant sur les composantes des vecteurs. o Reconnaît que les relations trigonométriques (cosinus, sinus et tangente) sont pertinentes pour déterminer les composantes des vecteurs; o Reconnait que la relation de Pythagore permettra de déterminer la norme du vecteur «vitesse relative»; Reconnaît qu’il doit déterminer la direction et le sens du vecteur vitesse relative ; Autre.

Critère 2.3 Structuration adéquate des étapes d’une démarche pertinente. Ce critère mesure la capacité de l’adulte à présenter une démarche structurée qui respecte les règles et les conventions mathématiques. La réponse est cohérente avec sa démarche et le contexte de la situation-problème.



Les étapes du raisonnement sont clairement présentées ;



La présentation de la solution respecte les règles et les conventions

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mathématiques ; 

L’utilisation des symboles mathématiques est appropriée ;



La réponse est cohérente avec la démarche



La réponse est formulée en tenant compte du contexte.



Autre.