Cours de maths - 1ère ES-L - Probabilités : loi binomiale

Loi binomiale www.mathmaurer.com – Cours – 1ère ES-L I – Loi de Bernoulli de paramètre p Définition 1: On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p une expérience aléatoire ayant 2 issues : succès avec une probabilité égale à p et échec.  Définition 2: On appelle variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p la variable aléatoire X qui associe la valeur 1 à un succès avec la probabilité p et la valeur 0 à un échec avec la probabilité 1 – p.  Définition 3: On appelle loi de Bernoulli de paramètre p la loi de probabilité de la variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p. x

0

1

p ( X  x)

1 p

p

 Propriété 1: L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p est : E (X )  p  II – Loi binomiale de paramètres n et p Définition 4: On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p l'expérience aléatoire qui consiste à répéter n épreuves de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes. Arbre associé au schéma de Bernoulli n=3 p

n=2 Succès p

1–p

p

1–p

Succès

1–p

Échec

p

Succès

1–p

Échec

p

Succès

1–p

Échec

p

Succès

1–p

Échec

Échec

Succès

Échec 1–p

p Succès

Échec

Définition 5: On appelle loi binomiale de paramètres n et p , notée  (n , p), la loi de probabilité de la variable aléatoire qui associe au schéma de Bernoulli de paramètres n et p le nombre de succès. k p (X  k)

0 p ( X  0)

1 p ( X  1)

… …

n p ( X  n)



n Définition 6: On appelle coefficient binomial , noté   , le nombre de chemins réalisant k succès dans le k  schéma de Bernoulli de paramètres n et p . 

Propriété 2: La loi binomiale  (n , p) vérifie :

n Pour tout k  [0 , n], p ( X  k )     p k  (1  p)nk k  

 Propriété 3: L'espérance de la loi binomiale  (n , p), notée  , est :   n p  III – Représentation graphique de la loi binomiale On représente la loi binomiale avec un diagramme en bâtons : – En abscisse, le nombre de succès – En ordonnée, la probabilité correspondante 

