Cours partie 1 et 2

S O M M A I R E

1ère partie ; CINEMATIQUE CLASSIQUE

2.1.1

Définition. Postulats de base :

31

A. Concept de système mécanique. B. Représentation des systèmes mécaniques. Postulats I et II. C. Corps rigide. D. Point lié à un corps rigide. E. Point géométrique. F. Trièdre. G. Trièdre lié à un corps rigide. Repère physique. H. Espace lié à un repère. I. Postulat III. Notion de temps. J. Etude du mouvement. Trajectoire. K. Point coïncidant. L. Paramètres d'un système. M. Postulat IV. Principe de la cinématique. 2.1.2

Repérage d'un repère (R^) en mouvement par rapport au repère (R?*) :

35

A. Repérage de l'origine 0^. B. Repérage de l'orientation du repère (Rfc)• C. Changement de repère. 2.1.3

Dérivation d'un vecteur par un opérateur donné : A. Fonction vectorielle.

56

B. Dérivée dans (R^) de W(t) exprimé dans (R^). C. Dérivée dans (R^) de W(t) exprimé dans le repère (R^). 2.1.4

Composition des vitesses et des accélérations : A. Définition du vecteur vitesse et du vecteur accélération de M. B. Problème de la composition des vitesses et des accélérations. C. Composition des vitesses. D. Composition des accélérations. E. Remarque fondamentale.

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67

F. Expression de la vitesse et de l1accélération d'un point en employant des systèmes de coordonnées particuliers a. vitesse et accélération en coordonnées polaires planes b. vitesse et accélération en coordonnées cylindro-polaires c. vitesse et accélération en coordonnées sphero-polaires G. Exercice général sur la composition des mouvements. Etude cinématique d f un dispositif à barre articulée.

2ème partie ; CINEMATIQUE DU SOLIDE 2.2.1

Rappel de la formule fondamentale.

2.2.2

Etude directe de la formule fondamentale de la cinématique du solide : ! A. Théorème. B. Théorème sur les champs de moment (rappel). C. Théorème fondamental. D. Exemple. E. Remarque.

2.2.3

Accélération d f un point appartenant à un solide : A. Formule générale.

!

B. Exemple. 2.2.4

Etude de mouvements particuliers fondamentaux : A. Mouvement de translation. B. Mouvement de rotation. C. Mouvement hélicoïdal.

2.2.5

Axe central du torseur Tv ou axe de viration : ->1 A. Propriétés des droites parallèles à &2 et 6 (82)• B. Axe de viration. C. Mouvement hélicoïdal tangent. D. L f axe de viration est un lieu de vitesse minimum. E. Résumé.

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(

2.2.6

Surfaces axoides :

101

A. Définition. B. Propriétés. Théorème de Poncelet, C. Cas particuliers importants. D. Exemple de détermination de surfaces axoïdes, 2.2.7

Etude cinématique du contact entre deux solides :

109

A. Vitesse de glissement au contact. B. Vecteur roulement, vecteur pivotement. C. Etudes des différents cas particuliers. D. Cas du roulement et pivotement sans glissement en plusieurs points. 2.2.8

Mouvement plan d'un solide : 'A. Mouvement plan d'un point. B. Mouvement plan d'un solide.

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134

- 29 -

1e

PARTIE

CINEMATIQUE

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CLASSIQUE

- 30 -

La nécessité d'une science qui s'occuperait spécifiquement de l f étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent était vivement ressentie au début du XVIIIème siècle. En effet il s'agissait de pouvoir expliquer le mouvement des machines de plus en plus complexes en les décomposant en sous ensembles, c'est à dire qu'il s'agissait de créer une théorie des mécanismes. En 1794 la création de l'école polytechnique concrétisait dans l'enseignement la naissance de cette nouvelle discipline. En 1808 LAUZ et BETANCOURT publient lfl'Essai sur la composition des machines11 et en 1813 Lazare CARNOT "La Géométrie du mouvement11. Mais l'impulsion décisive fut donnée par AMPERE qui après une critique profonde publiait le manifeste de la nouvelle science : "C'est à cette science où les mouvements sont considérés en euxmêmes tels que nous les observons dans les corps qui nous environnent et spécialement dans les appareils appelés machines que j'ai donné le nom de cinématique (de x^epa * mouvement)ff (Essai sur la philosophie des sciences 1830) Les fondements mathématiques ne tardèrent pas à se développer. D'ailleurs, certains résultats existaient déjà. Citons les principaux : EULER (1760) (1765) D'ALEMBERT

Mouvement autour d'un point fixe. Mouvement plan. Construction dite d'Euler Savary (1749)

Mouvement autour d'un point fixe (déplacement infinitésimal)

J. BERNOULLI (1742) Centre instantané de rotation pour un mouvement plan CAUCHY (1827)

Courbe roulante dans le mouvement plan. (DESCARTES avait trouvé que le C.I.R. était le point de contact)

CHASLES (1830)

Le mouvement le plus général est un mouvement hélicoïdal

POINSOT (1851)

Représentation d'un mouvement autour d'un point fixe.

Dès lors on a assisté à une séparation de la cinématique en cinématique "pure11 et "cinématique appliquée". Actuellement la cinématique pure ou tout simplement cinématique est l'étude des mouvements indépendamment des supports matériels. Nous avons voulu à la suite d'autres auteurs - particulièrement R. BRICARD, M. CAZIN, J.L. DESTOUCHES - donner une formulation très structurée qui permette une grande économie de pensée aussi bien en cinématique qu'en dynamique.

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- 31 -

2.1.1

DEFINITION.

POSTULATS DE BASE Nous utiliserons ici l'excellente formulation de Cazinet Destouches.

A/

Concept de système mécanique

En mécanique on étudie le mouvement de certains corps ou partie de l'univers. Toute partie que l'on peut ainsi isoler est appelée système mécanique. On étudiera en mécanique classique essentiellement des objets qui sont directement perceptibles par nos sens. B/

Représentation des systèmes mécaniques

POSTULAT I : Tout système mécanique (l) est représentable géométriquement dans l'espace physique qui est un espace euclidien à trois dimensions #3 par un ensemble Es de points de cet espace. En effet, dans le monde sensible, les axiomes qui définissent l'espace euclidien de dimension 3 sont vérifiés à la précision des mesures. POSTULAT II : principe de l'atomisme classique L'ensemble des points de l'espace euclidien R^qui représente le système est un ensemble fini de points. Les points figuratifs sont appelés points matériels. Cette notion sera d'ailleurs ultérieurement précisée (dynamique) C/

Corps rigide

On appelle corps rigide ou encore solide un système mécanique comportant au moins 3 points matériels non alignés^ telle que la distance de deux quelconques de ces points demeure invariable Soient Pi et Pj €

(l). On a donc

PiPj2

=

l2

Remarque : si les points sont alignés sur une même droite on a affaire à une tige rigide. Nous verrons qu'il faudra pour le repérage considérer ce cas particulier à part. D/

Point lié à un corps rigide

Soit un système (Z) et un point P. Le point P est dit lié à (Z) si les distances qui relient (P) aux différents points de (Z) sont des constantes. E/

Point géométrique

II arrive souvent qu'un point joue un rôle important bien qu'il n'appartienne à aucun système. Nous préciserons alors qu'il s'agit d'un point géométrique par opposition à un point lié.

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- 32 -

Prenons une roue qui roule sur le sol. Nous supposons le contact ponctuel. (Sj) et (82) sont en contact. On peut distinguer trois points 1 6 (Sj)

I 6 (S2)

_.

F/

2

enfin I qui caractérise le contact de (S^) et (S2). Nous verrons qu'ultérieurement nous distinguerons trois vecteurs vitesses et trois vecteurs accélérations

Trièdre Un point peut être repéré par ses coordonnées dans un trièdre (Ri) de l'espace à trois dimensions: x., y , z. OM

=

xi xi + yi yi + zi zi

x

i> Yi» zi désignent les vecteurs unitaires d'un trièdre que nous prendrons toujours orthonormé direct. C'est à dire que les vecteurs x i» Yi» zi vérifient xi • 7i • 0 y£ . zi = 0

trièdre trirectangle

zt . xi = 0

52 = i yi = 1 IT2= i 2

X£ A ^i yi A z£

trièdre norme

" Zi - xi

^l A ^î = YÎ

Pour retenir les résultats concernant le trièdre direct il suffit de considérer le schéma ci-dessus où l'on a placé sur un cercle les vecteurs unitaires dans l'ordre alphabétique. Le produit de deux vecteurs donne le troisième si l'on tourne dans le sens direct (sens trigonométrique)

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- 33 -

G/

Trièdre lié à un corps rigide. Repère physique

Un repère tel que les points matériels constituant un corps rigide soient au repos par rapport à ce trièdre est dit trièdre'lie au corps rigide. Un trièdre lié à un corps rigide existant physiquement est appelé repère physique. H/

Espace lié à un repère

On appelle espace lié à un repère l'ensemble des points dont les coordonnées sont des constantes. I/

Postulat III - Notion de temps

II existe au moins un système physique appelé dispositif chronométrique caractérisé par une variable numérique 6 tel qu'à deux mesures distinctes du paramètre 6 correspondent toujours deux résultats GI et' 02 différents l'un de l'autre et tels que si 0i < 62 alors la mesure de résul tat 61 est antérieure à la mesure de résultat 62 dans l'orientation temporelle intuitive des événements par un observateur. Ce postulat permet de considérer une variable temporelle 0 ayant une signification objective pour ordonner les événements. Une valeur de 0 est appelée instant ou date. J/

Etude du mouvement : trajectoire

a) mouvement On appelle étude du mouvement relativement à un repère (Ri) d'un point matériel l'étude de la variation des coordonnées au cours du temps5 c'est à dire la variation des fonctions x

= x (0)

y = y (0) z = z (0) relative

au repère (Ri) et au dispositif chronométrique.

On appelle mouvement d'un système l'ensemble des mouvements des points qui le composent.

k) trajectoire d'un point relativement à un repère (Ri) On appelle trajectoire de P dans (Ri) l'ensemble des points liés à (Ri) avec lesquels le mobile vient en coïncidence au cours du mouvement. La trajectoire est essentiellement relative.

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- 34 -

K/

Point

coïncidant

Soit un point mobile par rapport au repère (Ri). Soit t un instant, c'est à dire une valeur de 6. Soit P de coordonnées x(t), y(t), z(t) c'est à dire que l'on a _^ OP = OP(t) Soit Pi

6

Ri

tel que pour cet instant

xi

-

x(t)

Yi

-

y(O

zi

-

z(t)

Le point (Pi) est dit point 6 au repère (Ri) et coïncide à l'instant t avec le point P

L/

Paramètres d'un système

On appelle paramètre d'un système les éléments d'un ensemble de n variables tels qu'à partir de ces n variables on puisse obtenir les coordonnées de tous les points d'un système. Considérons par exemple une grue à flèche tournante horizontale portant un chariot mobile sur cette flèche.

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-SS-

II est bien évident. que si l'on connait les trois variables x, 0, p la position de tous les éléments de la grue est parfaitement définie. Ce sont les trois paramètres du système. M/

Postulat IV - Principe de la cinématique :

II existe au moins une échelle de temps (t) et un repère (Ri) tel que les coordonnées de tous les points matériels par rapport à ce trièdre (Ri) soient des fonctions deux fois dêrivàbles de la variable t. (sauf éventuellement parmi un ensemble ou infini dénombrable de valeur de t pour lesquelles les dérivées premières ou secondes des coordonnées de certains points mais pas de tous les points peuvent ne pas être définies ou présenter des discontinuités)

,1.2

REPERAGE D'UN REPERE (Rk) EN MOUVEMENT PAR RAPPORT A UN REPERE (Ri) Cette étude est très importante à un double point de vue

- Lorsqu'on étudie le mouvement d'un solide par rapport à un autre solide on remplacera cette étude par celle du mouvement de leurs repères liés - En cinématique et en dynamique on aura souvent des repères de références divers et il faudra comparer les études faites à partir de tels ou tels repères Soient donc deux trièdres (Ri) en mouvement l'un par rapport à l'autre Trièdre Ri Origine 0£ noté

R£

x£, y£, z| [°i> ^» Yi> z"i]

Trièdre Rk Origine Ok noté

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Rk

x£, yk, ïk [Ok, ^, ^T, !%\

- 36 -

A/

Repérage de l'origine Ok

II suffit de connaître les coordonnées de 0^0^ sur R£ ou sur R^. On devra donc connaître par exemple les trois fonctions Q

i°k • fi

Ô^ôJ . ^

Q

i°k ' n °i°k • S

B/

ou

ÔTo^ . ^ ÔTÔ^ . ^

Repérage de l'orientation du repère R^ Pour cela, ramenons l'origine de R^ en 0^

a) matrice des 9 cosinus directeurs 1°/ Les_trois_axes_sont_confondus

*k = *î

; yj = yî

; ^ - ^î

On dit que le repère R^ est en translation par rapport au repère Rf. 2 ° / Les axes_xjcA_YkJL-Sk-2Si«iiBê»2£ÎÊB£5£Î2B-31iêi£223Hê On repère les différents vecteurs x^, y^, z^ par leurs cosinus directeurs. On peut dresser le tableau suivant

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est appelée matrice de passage de la base Ri ,b) Propriété de la matrice des 9 cosinus directeurs 1°/ I1_suffit_seulement^de^S^EâEâSêlIêË-îS^ÉEêS^âSÊS-ESHI-lÊEêESI ^orientation - * - > - * . Les vecteurs x^, y^, z^ sont unitaires et orthogonaux *£

-

1

V^

'

y

=

'

V\

'

z

=

'

V\

=

k

k

° °

°

Les 9 cosinus directeurs ne sont donc pas indépendants mais liés par 6 relations. Il suffit donc de 3 paramètres pour définir entièrement l'orientation du repère R, par rapport au repère R.. Remarque : on peut arriver facilement au résultat ci-dessus par un raisonnement direct, géométrique.

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- 38 -

- Pour repérer x^ dont l'extrémité se trouve sur la sphère de rayon unité il suffit de deux paramètres. Désignons par P l'extrémité de X^.. - Pour repérer P sur la sphère il faut par exemple deux angles, ceux des géographes, la longitude ty et la latitude . Mais on aurait tout aussi bien pu prendre les coordonnées

x et y de P.

- Yjç se trouve nécessairement sur le grand cercle d'axe X^._JPour le repérer il suffit d'un paramètre. Désignons par Q l'extrémité de Y^. Pour repérer Q il suffit d'un angle a par exemple

a

=

(O^A, Ô^)

(orientation donnée par X^.) Mais on aurait tout aussi bien pu prendre l'abscisse curviligne s = AQ

Fig 2.7

Grand cercle d'axe x^

- Enfin Z^ est entièrement déterminé car on a : Z^ =

X^ A Y^.

2°/ Si_les_deux_trièdres_ 0^)_et^^Rk^ont^meme^orientation_la matrice est une matrice orthogonale droite Rappelons qu'une matrice est dite orthogonale si son inverse est égale à sa transposée. On dit qu'elle est droite si son déterminant est égal à + 1. Supposons que (R^) soit choisi comme trièdre de référence pour la construction du produit vectoriel. Supposons que (R^) soit un trièdre direct. Alors on a :

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- 39 -

. on peut écrire si les deux colonnes sont distinctes •->• ->•->• Le plan (G, ZQ, Zg) coupe le plan (G, XQ, YQ) suivant un\

U;

-fP - £ • « * - l - > • - > • - >

d u. v

=

•-dt~ -

>

-

d u A v

- -7F—

>

du

•>

dT ' -

=

>

v

+

->

dt

A v

(5)

• dT

•

du , ->

/f..

dv

-*•

u

->

+

-> , dv

u A

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dT

''

,.

(6) N

- 57 -

c) coordonnées de W'(t) On a

W(t) '- Xi(t).xi

+ Y^t).^ .+ Zi(t).zi

d'après les règles de calcul on a immédiatement ^r (t)

=

X'^O.Xi + Y'iCty.yi

+ Z'iCO.Zi

Théorème : le vecteur dérivée d'une^fonction vectorielle w(t) a pour composantes sur la base (0, jc^, "y^3 ~z^) indépendante de t les dérivées des composantes de w(t) C/

Dérivée dans R,- de W(t) exprimé dans le repère % tel que x^ = x^(t) rk - yfc(t) ; SE - ?k(t) W(t)

=

Xk.xk •+ Yk.yk + Zk.îk

En appliquant les règles rappelées ci-dessus d1 W(t) dT

x

+

, * k xk diî-

^ k yk

Y

+ ï

+ z' z Z k Zk

k+

d1^

d%

\V . k-dt \-d^

Le problème est d'exprimer les vecteurs d^\

d^,

'

dt

dt

d\

'

a) expression des vecteurs

dt

-i-»k

3

dt

,i-> ^ ^

,£* k

dt

dt

lorsque l'on

emploie un repère orthonormê :

(1)

*ï yk Z

k

=

]

=

1

-

'

\'7* yk.zfc

(2)

=

\'\

° =

0

=

°

Dérivons dans R. les formules du groupe (1) ,i 2 kS.

dt

d X

ji^ ->v d Xk £ 9 z. x, .

dt

-

--

nu

. "\

soit n

0

-

^ -> d X. V k dt

o

^ soit

d1! i îi J_^ k dt

Comme x, n'ejst pas un vecteur fixe, la seule possibilité diculaire à xK. . © [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

=

dt

est __ xk perpendt

- 58 -

-

,i-> ,!-*• dz y k k sont perpendiculaires respecDe même^les vecteurs et tivement à y, et z.. . • dt . dt On peut donc écrire les vecteurs

•

d\ =

0 + a12 y, + a 13 z k

fc

dt â

\ dt

•

a

21 x

+ a 0 + a23 z

"

a.31 x k

+ a32 y. + 0 k

k

k

d

\ dt

b) Les a.. sont antisymétriques ij Dérivons les relations du groupe (2) d

d \ .Y. -»•+ x. + . S. ^k = k k dt dt

(a!2 Yk + ai 3 zfc> yk + a2i

=

0

a23 + 332

=

0

a 12

De même

a

31

soit

a..

+

a

=

!3

+ a..

+

o

\^a21 xk + a23 ZR)

=

0

0

=

0

pour a..

i ^j = 0

pour

i=j

On a donc uniquement besoin de 3 coefficients, soit par exemple a^2, a23, a3j. On peut donc écrire d

\ = dt

0 + aj2 y

K

- 83! z .*

d yk =

~a!2 x, k

=

-> a 3l x " R

dt

+ 0 + a23 kz

->

d z, k dt

La matrice [__ ^ J

=

-

-+ a23 Yk

0

a

a

^

~ l2 _ a 31

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+

0

k

!2

"a23

-*31 a

23

° _

est

antisymétrique.

- 59 -

On constate d'autre part que l'on a dt

—^ - -[4\4sJ»V^^^ dV . d^ *k + ji A »k dt

dt

k

Jk(M) -H 0^ A *$k(M)

=

d1 ^ = —JLdkÔ^M A+ +1 Ji— ^ , A.77-^ 0. M dt dt k k

=

Vk(M) + ^ AKOù* k

J^M) = 3k(M) + ^ A Vk(M) + jj

+ | 1 £j A Ô^M -H ÏJj A (VJJ + flj A Ô^M)

K.

W -• ^M + \ + (IF5J> A ô?+ ^ A ("kA ô^> + 2 «j A ^

31

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- 72 -

b) accélération d'un point d'un solide Soit M

=

^

V k (M)

=

0

J k (M)

=

0

ÎX>

(M 6

1^)

= ^(V +

A

¥

+

%

A

(

"k

A

°?>

Remarque : il est bien évident que le point 0, ne joue aucun rôle particulier. Soient A et B deux points appartenant au solide Î1(0k) + (l^k) A Ô~î + Q£ A ($£ A O^S)

J^A) = ÎX(B)

j%i - ^(°k) + (^5^) A O^B + ^ A (2£ A O^B) X

^(B) - J (A) JL(B)

=

i ">"i (~2k) A [P^B-°3

"k

A

^k

A (

V ~ V}]

A) A Ai +fi.1A (O.1 A ÂB) dt k k

JL(A) + (

=

+

cJ retour à la formule générale Considérons à l'instant t le point appartenant à R, et qui coïncide avec le point M. Nous noterons son accélération par J, (M). D'après la formule générale nous avons à l'instant t t (M)

=

\

+

Ï Ï F ^ A Ô ? + ^ A • -> zk = z £

A x

k

° / YΣ£52S-£ûîl

a) dérivation directe dans % OM =

p xk

OM

p cos ty X£ 4- ()) sin ty y^

=

V (M)

->

mais

=

.

-+

cosip x^ + sin^ y^

"^y

- , •*x^ +• cosip -^y^ - sinij;

P

M

->

xk =

V X (M)

V

p f (cosip X£ -f sinip yi) -f pi/; 7 Q-siraJ;- x^ H- cûsif; y{J

=

pf

f

=

k

=

p-' xk •+ p i f » yk

cos ^ - p ip ! sin ip)l sin

* * P ^f

cos

0

*)' J

Fp et

V^

=

Ri

ce sont les expressions du même vecteur dans R^ et dans Rk © [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

?

"

pl|,'

L no J R k

- 74 -

gj composition des vitesses dans R^ et JR^

^(M) = ^k(M) + $J(M) - calcul de ^k(M) ÔM

= p xk

Vk(M) =

p' xk

- calcul de v£(M) . par le calcul

vfCM) = R =

V^ +-fi,R1 A ÔTn Uu R . ->

->

0 -f \pf zk A p x^

= p V y^ . par application directe de la définition A l'instant t le point appartenant à R^ et qui coïncide avec M décrit un cercle de rayon p. ~*i V^(M) =

d ^k P--j^

VJ(M) - p «J A xk

=

-> -> p . ijjf zk A xk

v£(M) = P i^f yk

Fig 2.27

- calcul de ^(M) comme précédemment V (M) = P ! xk + P ^! yk -^k on appelle parfois V (M) vitesse radiale -> £ V (M) vitesse giratoire R

y) remarque

,

y;

La méthode ci-dessus revient à appliquer directement la formule fondamentale

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- 75 -

^(M)

- j^ôj

= ^jr + *i^

^(M)

=

p t •*" x^

+

=

p f 5k

+ p *' yk

'i- 0 *

i|rI "* Zfc A. p "*•Xfc

3° / ^£lil泥ï25_£ÎË Jl-• = X2

"*•

¥3

Î3

„

sens arbitraire

- ?3 A X3

On repère la rotation de (R3)/(R2) par y «

1°/

(¥2, ¥3)

Soit W un vecteur dont les composantes sont respectivement sur (RQ), (Ri), (R2)f (Rs) '•

W = W =

(X0, Y0, Z0) (X2, Y2, Z2)

; ;

W = W -

(Xlf Y l f Z!> (X3, Y3, Z3)

Ecrire les matrices de changement de base. 2°/

Calculer V0(03> de deux manières différentes. Le résultat sera exprimé dans (Ri) et (R2)«

3°/ Calculer V°(M) avec ÏÏ^M •- (a X3 + b Y3 + c Z3) . A0/

Calculer J°(M).

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2e PARTIE CINEMATIQUE

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DU SOLIDE

- 85 -

Pour étudier le mouvement d'un solide (S^) dans un repère R£ on lie à (S^) le repère R^ et on étudie le mouvement de R^ dans R£. En effet, à tout point de (S^) on peut faire coïncider un point de Rk dont les éléments cinématiques sont identiques. De même pour étudier le mouvement d'un solide (S2) par rapport à un solide (Sa) on lie à (S].)-et (S2) les repères (Rj) et (R2).

2.2.1

RAPPEL DE LA FORMULE FONDAMENTALE Au paragraphe

(1.4.3.2) nous avons démontré la formule (indirec-

tement)

vi(B)

=

+

V*

A.

n£ A ÂB K

A et B

e

Rk

Appliquée au solide (S2) dans son mouvement par rapport au solide (Sj) elle donne

.^(B) -

- fa (A) + Sî A ÂB

A et B

6 S2

on peut trouver cette formule par une étude directe

2.2.2

ETUDE DIRECTE DE LA FORMULE FONDAMENTALE DE LA CINEMATIQUE DU SOLIDE Soient deux points A et B AB2

=

l2

€

(S2)

(définition du solide)

Dérivons dans le repère (Ri) par rapport au temps

2 ÂB.~ ut AB = 2 ÂB (Y^. - V^)

0

-

0

ÂB . V^. - ÂB . V^

A/

=

0

Théorème

1°/ Enoncé Le ohamp des vitesses d'un solide est un champ équiprojeetif. 2°/ Exemple d'application

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- 86 -

B/

Théorème sur les champs de moment (Rappel)

Une condition nécessaire et suffisante pour qufun champ soit un champ de moment est que ce champ soit êquiprojectif. C/

Théorème fondamental

Le champ de vitesse d'un solide est un champ de moment On peut donc écrire =

^4 Sj

V*A. +

S A ÂB

S est appelé vecteur rotation du solide (S2) par rapport au solide (Si). Comme précédemment on le note

ai - s =

Vi15

D/

+ S A ÂB

$iA

Exemple

Déterminer la vitesse V° du point C, centre de la sphère située à l'extrémité de la barre BC (boule d'un régulateur de Watt). Au solide 1 on lie le repère (Rj) tel que ->• Z 0

=

z

-> l

l _- ô^—

-^x

-> Yl

-

•> . • - > ' ' Zl A xi

On repère la rotation de (R^ par rapport à (R0) par ty. » (x0, x x ) Au solide 2 -»72 -»• 22

=

->

X2 =

on lie le repère (R£) tel que -> 7l BC 2L ->

->

72 A Z2

On repère la rotation de (R2) par rapport à (RI) par

0 = (z^, z2)

V°(C) = V° + Q2 A BC

(B et C 6 à la barre BC)

V°(B) = V° + flj A ÔB

(0 et B 6 à la barre OB)

*o

=

fil =

° 4-' zi

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- 88 -

^°(B) = V zl A 1 îj

0 l*1

V°(B) =

L o JRi Î5 - Si + 4° ^ - e f Y! + f îj B£ =

L :z2 ~L sin 0

BC

=

0 L-L

cos 6«JR n 1

~0 1 ^2 A BC »

0

f

L sin 6 A

-^? -

0 _ L cos ®.

L 0 f cos 6 V°(C)

=

1 * f +'L * f sin 0 - L 0 1 sin 0

E/

DR

l

Remarque

Le champ de vitesses d f un solide est parfaitement défini par la vitesse en un point et le vecteur ^2. On pourra donc appliquer toute la théorie des tqrseurs,

S Le torseur :

[Jl ]

: vj A

2.2.3

est appelé torseur distributeur des vitesses

ACCELERATION D T UN POINT APPARTENANT A UN SOLIDE

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- 89 -

A/

Formule générale

Soient A et B deux points appartenant à (82). D'après la formule fondamentale démontrée en composition des accélérations ÎJ (A) = îi(02) + ^ î! A Opt +fi£A •($> A Ô?) Î2(B) - ÎJ(02) + j£ ^2 A c£l* + 32 A (S2 A ^5) soit en combinant les deux relations

Î2(B) - ji(A) + |j- fli A AB + ^2 A (^2 A AB) Le dernier terme se calcule soit directement soit en appliquant la formule du double produit vectoriel, ce qui donne ji(B) = 32{A) + ~ «2 A SB + ^l.(^.B) - (Qi)2.A$ B

^

Exem

Ple ; Calculer l'accélération d'un point lié à la terre dans """"^—""~ ie repère issu du centre de la terre

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- 90 -

$

Les repères (RT) et (RT) sont liés à la terre. Soit un point A appartenant à la terre tel que

a b

"

Q?

IXm

~

jg(A) = jg(og) + H$*AôJ + fi*A (fl8, A Ô^A) ->Qr

. ->*

n*

- *' ZT

a^ - w Z->"*T

-*Ç

- 0) s in X

îÇ =

o o) cos X „ —» J^,j,

I—

8

a -SJ —T—

=

Og/ =

V

0

(on suppose la rotation terrestre uniforme)

OgO^ + 0TA

a b

-

-R+CJRT

- 0) s in X 3^ A Ô^A

=

a A

0

b R •»• c_

a) cos X__

- b a) cos X =

(R^c)o) sin A + a a) cos X

_- b a) sin X -ta sinX Q| A (^ A 0 A)

=

_ -b a) cos X

0

A

_ u) cosX__

(R+c)a> sin X + a CD cos X jjb a) sin X

-(R-i"c)a)2 sinX cosX - a ça 2 cos2 X jf A

=

b a) 2

*— -(R+c)a>

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2

sin 2 X - a ai 2 sinX cosX — KIJI

donc

- 91 -

2.2.4

ETUDE DE MOUVEMENTS PARTICULIERS FONDAMENTAUX

A/

Mouvement de translation 1°/ Définition Soit un repère (Rj) lié à (Sj) (0, Xj , YI,. zj) et soit un repère (R2) : (0, x2, yî, z2) lié à (S2) dont les axes restent parallèles à ceux du premier. Le repère (R2) est dit en translation par rapport au repère (Rj)

Fig 2.38

2°/ Remarques a) Si deux axes de (R2) restent parallèles à deux axes de (Rj) le troisième axe de (R2) reste parallèle au troisième axe de (Rj) -»•

-+ x A ->

i yi = zi -x2* A• y. 2- >= - z* 2

.

mais

->Xj ->•

*

->x2 ->

yi - y2

djftou-

^ z-i

=

"*• z 2

b) Le point 02 décrit une courbe (C). Si la trajectoire est une droite, la translation est dite rectiligne c) Si la trajectoire est une courbe, la translation est dite curviligne. Très souvent on aura affaire à une translation circulaire.

3°/ Exemple de translation circulaire : essuie-glaces d'autobus

Tous les points du solide (2) décrivent des cercles égaux•

Fig 2.39 © [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 92 -

4°/ Propriétés a

) LË«Y£££ÊH£-E2£â£Î£2-^2 ë§!L21îi

:

Si le corps solide (2) est anime par rapport à (1) d'un mouvement de translation ^ •«! AA *2 1 7- " «2 fîi - îj A y2 dt

d2zj_2 = *1 Œ 2 A, ->• z2 dt Ces vecteurs doivent être simultanément nuls. Pour qu'il en soit ainsi on doit avoir

g- o Réciproquement Si Œ 2 = 0, le solide (ou repère) (2) est animé d'un mouvement de translation. dlx 2 ~dt~

=

°

d!y2

~dt~ ~ ° dlz 2 __ dt

— "

n

U

En intégrant les vecteurs X2, 72» z2 sont constants et restent donc équipollents à trois vecteurs unitaires de (R^) b) une condition nécessaire et suffisante pour qu'un solide (S2) soit en translation par rapport à un solide (Si) est que tous les points aient même vitesse à l'instant t a,) conditionjiêeessair^ Soient deux points A et B quelconques de (S2)

V^

=

V^

+

^2 A ÂB

51

- 0

$1 B

= ^1 A

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~ 93 -

3^ £22^î£Î22-Ë^£î§SïÉê Si V^ =

on a

V^

^2 A ÂB =

0

ceci devant être vérifié quels que ,soient A et B

$ = o et ainsi le solide (82) est animé d!un mouvement de translation, c) Progriete^caracteristig^

:

Supposons que (82) soit animé par rapport à (S^) d'un mouvement de translation et soient A et B deux points appartenant à (82). Les accélérations de ces deux points sont liées par la relation J1 (B) - J1 (A) * |i ïfj A AÎf + fl| A («2 A 55)

s'il y a translation

^2

J^B) - J^A)

=

0

pour A et B

Tous les points ont même accélération. Réciproquement. Supposons que 71 (B) = 71 (A) pour tout couple de point. La formule fondamentale donne

0 • (^ - > - .

X2 = X2 _>. -> Y2 = y2

0102

= z.Zi

et l'on a

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=

z =

.

d origine QI d origine Oi

Z.z2

A. ^

exemple vis ecrou

- 96 -

2°/ Propriétés a

) Yê£iêHE«£2H££i2S Les repères (Ri) et (R2) ont un axe confondu zi = z2. On a donc ~M Œ2

b

*

"** y *Zl

=

"*" fy '22

) Vite S s e_d Minjjo int _ I^de^J S2 ) _g_ ( A 2 i V 2 (I)

-

^i(0 2 ) > 02I = ->1 Q = 2

+ Q2 A Ô£î -> ->• Z-.z 2 -> 4;'. .z 2

vi(i) = v 2 (o 2 ) vi(0 2 )

V 2 (I)

=

=

zf.z2

\i * f . z 2

Tous les points de (S2) appartenant à (A2) ont même vitesse, portée par lfaxe commun. c) Vitesse__dfun_goint_3uelcon2ue_e_^S2)^ v|(M) = V2(I) + ^2 A ÎM V2(M) =

X x ij/f .zx 4- ^ A ÎM

V2(M) =

À! ^2 + ^2 A IM

I 6 (A2)

Le vecteur vitesse d!un point quelconque appartenant à (S2) est la somme de deux vecteurs : - l'un parallèle à ft2 appelé vitesse de translation - l'autre perpendiculaire à Œ 2 et à IM appelé vitesse de rotation.

2.2.5

AXE CENTRAL DU TORSEUR Tv OU AXE DE VIRATION A/

Propriété des droites parallèles à Q2 et 6 (S2) Soient M et N deux points de D

MN

»

k . ^2

^x (N) = ^ (M) -H ^2 A M§

d'où

^!(N) = fa (M)

Tout le long d'une droite (D) de (S2) parallèle à Q2 les vecteurs vitesses sont égaux.

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- 97 -

B/

Axe de virâtion

On se propose de chercher le lieu des points où l'on a V1(M) = X ^2 D'après le paragraphe précédent ce lieu est une droite parallèle àfi/>• C'est l'axe central du torseur distributeur des .vitesses ou axe de viration (A).

1°/ Détermination vectorielle de (à) II suffit de déterminer un point de (A) et de mener par ce point la parallèle à ^2 (il s'agit de la détermination classique de l'axe central d'un torseur connaissant la somme géométrique et le moment en un point). Le torseur distributeur des vitesses est donné par ses éléments en un point A qui ne joue aucun rôle particulier (on connait les éléments d'un torseur en tout point lorsqu'ils sont connus en un point) Si I 6 (A)

vi(D

- A ^2

V^(I) =

V2(A) + ^2 "A AI

Multiplions vectoriellement à droite les deux membres de l'égalité vectorielle par ^2 0

-

vi(A) A ^2 + $2 A AI) A ^2

vi(A) A ^ + AI (^ )2 - 1% (ni • AI) * * Déterminons le point particulier 1 = 1 tel que I soit la projection orthogonale de A sur (A)

0 =

AI* .. Q2

=

0

A -^

Donc

• nj

.1 AI*

-

"2 A V2(A)

2 I

"-

'

A Fig 2.44

Un point I quelconque appartenant à (A) est défini par AI

=

AI* + X . "^2

^ fl2 AI = "

A V2(A)

'• + X . fi?

(^)2

Nous aurions pu appliquer directement le résultat de la théorie des torseurs.

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- 98 -

2°/ Détermination analytique de (à) Cherchons par exemple l'équation de (A) dans le repère (R2) lié au solide (2). Posons

p

«2

=

XA ~

q r

=

Ô^A

- °-lR 2

yA Z

~x"

Ô^M -

L AJR2

y Z

L JR2

[VAX" vi-(A) .VAy

-VAZJR2 I 6 (A) on "a

Si

vi(A) + fl2 A ÂM

V2(M) =

V

Ax VAy

V2(M) =

vi(M) =

+

x

P q

A

~ XA y - yA

_ vAz J

Lr J

[" VAX]

ï~^z - ZA> - r(y - yA>

VAy V

+

. AZ J

Lz ~ Z A-

r(x - XA) - p(z - ZA) x X

L p(y ~ VA) - q< ~ A^ -H

->1

Si M = I 6 (A) les vecteurs ÏÏ2 et V2(I) sont colinéaires V

AX

+

*i< z ~ Z A) ~ r (y ~ yA>

v

Ay * r < x " XA) ~ P< Z - Z A> _ VAZ

P

q S0/ Détermination du pas X du torseur

V2(I) =

A • ^2

V2(A) + ^ A ÂÎ

= ^2 (A) + M A ÂÎ

en multipliant scalairement par fi^

x (n2)2 = ^J(A) . ^ Q2 . VJ(A) A sr

———————_^_

(Sp2

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+

? : (Oj , 1^ , ^, 1}) tel que Ô^" = d X0 - (R + R! ) t0 + R Z0 -*"

•

=

X

l ->

-

»

•

•

X

0

Yj

arbitraire

= \ A "$!

îx

On repère la rotation de (Sj)/^) par l'angle 9 - (YQ, YX ) •*-*•»• A (S2) on lie le repère (î^) : (02, X2, Y2, Z2) tel que

Z

- î

/ , 2

/.Q

-»•

X2

Y

arbitraire

- "Z2 A t,

->• •> On repère la rotation de (82)/(So) par l'angle ^2 = (Xo, X2> et tel que ij^ soit une fonction connue du temps que l'on ne précise pas ici. - > - > - > A (83) on lie le repère (Rs) : (03, Xs, YS, Zs) et tel que

0203 ->•

=

x Xo ->

•*•

2R ZQ

avec x fonction du temps

- Zo

Z3 ->•

Xs arbitraire - > - - > . - » • Y3 - Z3 A X3 On repère la rotation de (83.)/(So) par l'angle Pour le solide (Si+Xj. son centre G est tel que et son vecteur rotation sera ^£ tel que

^3 = (Xo, Xs) > ->• -^ 02G = xo XQ + R ZQ

w

QÇ

=

l 0)2

-^JRO 1°/

Exprimer les relations de roulement sans glissement aux points K, I et J,

2°/

En supposant qu'à l'instant initial to = 0 de mise en marche de l'appareil on ait x = XQ = 0, calculer xo, 2 =

+ R 0)1

L

° J"o

~ X^ - R a>2 ~

$$(!)

=

R a)i

JE. V|(I)

=

^2(02) ^2(1)

= =

V2(0 2 ) + ^2

A

Ô^I

0 ^2 Z 0 A X^ ?0

• x ^ YO ~ X ^ - R co2 ^(1)

R ai! - Xi» ^

=

L°

i»

on a donc X^ - R o)2

=

R wi - X^ ^

(1)

0 =

0

(2)

^^ Roulemerrt sans glissement en J

V^(J)

-

0

v^(J) - v£(j) - ^|(i) V^fJ)

=

V£(K) + ^ A GJ

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- 114 -

On a immédiatement en changeant R en -R dans la formule qui donne ^£(1) ~ Xj -f R u>2 "

V5(J)

-

-R M!

.

L

JR O

$|(j) = v|(o3) + n| A ïïgl $|(03) =

Xj X0

03}

=

0302

Ôp

=

- X3ïro

ôp

= (x^ - x 3 ) Î0

^3 3| A ÔjT

+

02J -

2R Z*0

+

2R Z*0

+

X^

- 4-5 ZD =

4-3 ?0 A (Xi* * X 3 ) X 0

= (x^ - x 3 )-*5 ••• Y O

|"x| v|(0 3 ) =

(X H - X 3 ) ^^

JE»

L°

~xi - x5 + R w 2 ^(1)

- R (0! - (X 4 - X 3 ) 1(11

=

_0

on a donc

XJ - X^ + R oi2

=

0

(2)

+ Ru)! + (X^ - X 3 ) i|;^

=

0

(3)

Y/1 Roulement _sc^is^glis sèment ^en_K vi(K)

=

0

VÎ,(K)

=

V^(K)

-

V^(K)

=

V^(G)

+ . &; A GK

Vj(K)

" ai! 1

n^ A GK

w2

_"3jRo

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~0~ A

-R

LoJRo

- 115 -

R 013 0

'•

-'-*«1. JR,, " Xiî + R 0)3 1

^(K)

=

^Î(K)

-~ R a ) 1 -"HO = $?!) + fif. A ô^fc

0

V^Oi)

=

0

Ôï^ " 0^2 + 02IC "-d

+ 3^

+ (R + Rj). - 'H • »-

-R + . R

J JR0

" X^ - d " R

"

l

LO

~ e'"l Vf(f)

=

0

JRo

[" Xi+ - d " A

RI

L°J LO

J Ro

"o 0

L"' 9 'JR« " X^ + R o) 3

^i(K)

=

0 ^"

-R a)! - RJ. e 1 J

^^O

On a donc .Xi

+

R 003 =

0

R wi + R! e ! = o

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(5)

(6)

- 116 -

^ &cgyggg^b^ de Xuj cgi j 0)2^ ^S-» ^jL^i Les relations de roulement sans glissement donnent six équations

- R o>2

-

0

(1)

R o>! - X^ i^

^

0

(2)

X4 - X^ + R o)2 r

0

(3)

=

0

(4)

=

0

(5)

=

0

(6)

Xj

-R wj - (X^-X3) ^

XJ -i- R o)3.

R a)! + RI é 1

Les données du problème sont : 1^2 L'équation (1) donne ^2

=s

^-â

X^

=

et X3

R 032« En portant en (3)

X3 supposé connu car X3 = X3(t) connu

D f où Y1

xi - f*

x, = fa + c w

Mais pour t = 0

X4 = 0

; X3 = 0

on a

C = 0

-.r x^ - yXq3Y'

(5) donne

o)3

=

—

(2) donne

MI

= —g- i^

(4) donne

*j = f^-

Xi.

-y 1

.ù)3

=

j|—

u)i

= —|- *i

Xo

^ =

M ^ ^ 2

*5 = *1 enfin (6) donne

6f

On a donc finalement

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=

- un

6f

v

= - •£ *I>1 ZK

- 117 -

X-,

-

XQ

0)3

/

=

Xi

-^

•y

^

*

'*£

2R

*^

«a - g

.'

*

**

• ff, *l

eJ Caloul /(Si) -> $T vecteur roulement du solide (82)/(.Si)

On a : =

%

^ * ^2)*n"

ŒT = On A ^2 A ^)

) Exem£le_J, Déterminer les vecteurs roulement et pivotement de (82)/(S^). On désigne les vecteurs rotation par

nf « a)? y 0 ^2

=

^2 X0

®) D&KS le cas général V?(I) ^ 0 -^-rt

-H

=

Q2

->l

^2 * ^0

= Q| -'nf =

0)o2 -*• X0 - 0)!o "*• y0

La normale à (Si) est yo d f o ù : 0 "1 7^ ^*N

=

-(JI)

o 1

- ° -U © [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Pca§"" "*" Qrji

=

0

LO J Ro

- 119 -

$) 5^f_l£^2£-ES!ÉÎ2HlΣî!-£îLlii^2.-f.2

vid) = ^(i) -^î(i)

vi(I)

A

ÔTÎ

-

$1 A 01

=

ft|

-

(*)£ x 0 A -

r y0

-

(- r o)|

X w f ) z0

+

-

o)° yo A r x0

Dfoù - r 0)2

+

X o)f r—

•SN

=

=

0 —i

0 1 -o)f

L °J

Y

j^T

=

o)f . 0

L°

On a

vi(I)

et aussi

->1

. 0

V2(0i) =

0

L'axe central est donc porté par Oïl. Le vecteur rotation est donc aussi porté par C^I.

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Les axes des cônes sont concourants en 0. Trouver le vecteur roulement et le vecteur pivotement en un point de contact I de la génératrice. On désigne les vecteurs rotation par ±o ^2

o •* " ^2 x

$ï

= 0)J y0

Q| = ^2 + ^0 ^2

- ^2 - %î « 0)| x - uf (y0)

£1

ÏÏ2=

P a r suite ^T

o

,o

"*•

.

o x "+

2 cos a X0 "*" (^2 Sln a "" wl) 70

W

F0)2 cos o ai -

r 0^

0

L

^N

=

a)2 sin a -

JRQ

°

"1

LO

WJ

J Ro

S0/ Exemple d'utilisation : calcul des vecteurs roulement et pivotement dans un variateur à bille système PIV a

) £2H!Ê2Ë5Ë«£âS£-S!i££êSËÏÏË-ÊB-.è (voir figure 2.62 page 132)

vi(A)

- 0

vi(A)

« ^(A) - ^ Î ( A )

V^(A)

= ^( G >

V^(G )

=

?f(î)

- $!(03)

+

^ A GÂ

Vf(£)

=

0 ' +

+ Î5 A 0^5 6 f T3 A R T3

= R e f Î3 mais le changement de base entre (R0) et (R3) s'écrit

XQ "" Y.Q

_ z0J

=

cos 6 sin 0

L°

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-sin 0 cos 0

°

0 0

]

X3 Y3

JL z 3_

- 121 -

~-R6 f sin 0 ~ \^(G).

R0 f cos 6

=

L ° Posons

JR.

r 0) 1 X Q£

=

0)2

-^-IRO "wj" ft£ A GA

«

~0~"

o)2

A

0

-r

0)3

-o>2 r a)! r

L û

JEo

""-R 0 1 sin 0 - 0)2 V^(A)

r"

R 6 1 cos 0 + o)! r

=

L° $Î(A) ^(Oj) $î

^(Oj)

-

-

=

JRO -H

QI A 0^

0

*{ tu

ïï^Â = 0^3 + o3à + GÂ =

x X0 •*• R !X3 - r ?0

""cos 0"" =

x 1c0 + R

- r 10

sin 6 0

X + R COS 6 ~

=

R sin 0

JR O " 0 ~]

til A 01A

0 ^ * l--Jj

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F x + R cos 0 ~ A

R sin L" r -A-

0

J P0 -JR

- 122 -

-R ty{ sin 0

^î.(0i)

=

(x+R cos 0) ${

L°

JEo

-R 6 vi(A)

f

sin 6 - o^r + R ijjj sin 0

R 0 f cos 0 + o>ir - (x + R cos 0)^

=

-°

-U

S'il y a roulement sans glissement on a donc -R 0 f sin 0 - o)2r + R ifrf sin 0 = R 0 f cos 0 + wi r - (x H- R cos 6)i|;J

0

(1)

• 0

(2)

b) Roulement_sans_glissèment_en_B

v5(B) = 0 ^5(B) - VÇ(B) - V|(B) V^(B) =

VÇ(G) + QÇ A GB

connaissant V^(A) il suffit de remplacer r par -r -R 0 f sin 0 + 0)2 r

V£(B)

-

R0

cos 0 - a>i r

L° Vf (B)

=

V 2 °(0^) 4°

^B

»

V2(02) =

0

-U ^

^2

A

O^B

(02 € A 2 0 )

W "Z3

=

Q20i •«• Oi Os + G)sG •»• "^

= -e XQ + x XQ + R ^3 + r ZQ

-e + x + R cos 0"" =

R sin 0

-k ""-e + x + R cos 0""

0 "1 ^2° A "^fe

0

A

R sin 0

-**-U LV^ (è)

=

J^

"" "^ 4*2 s i n 0 "" ? ^2 (x + R cos e - e)

-° © [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

JRO

- 123 -

On a donc

""-R 6f sin 0 + 0)2*" + R ^2 s^n 6 R e 1 cos 6 - u)]T - (x + R cos 0 - e).^

\^(B) -

_0 S1il y a roulement sans glissement on a les deux relations -R 0 f sin 0 + w2r + R tf 2 sin 6 = 0

(3)

R 0 f cos 0 - wjr - (x + R cos 0 - e) $'2 c

=

°

(4)

) S2HlêSêS£-SâSS-Ëlî£SêSSS£-ëïî-.2

^(C)

= 0

^(o = ^(0 + &; A BÊ "-R 0 f sin 0""

R 0 f cos e

V£(G) =

JR.

L° r cos 0 G£

=

r sin 0

L °4 oui

fl£ A Gf =

o)2

r cos 0"" A

r sin 0

013

0

-oj3 r sin 0

ÏÏLt A GC =

""

0)3 r cos 0

r(u)} sin 0 - 0)2 cos 0)

-1 KO

~R 0 1 sin 0 - r o)3 sin 0

V£(C)

R 6 f cos 0 -i- r o)3 cos 0

= *-

+r(-o)2 cos 0 + o)i sin 0) U R

0

S'il y a roulement sans glissement en C

-R 0! sin 0 - r 0)3 sin 0

R 0

T

=

0

(5)

=

0

(6)

0

(7)

cos 0 + r 0)3 cos 0

- 0)2 cos 0 + a)i sin 0

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=

- 124 -

d

) 2§£££2Î2£ïi22^ê |f »0I = fi W> ; wi = f2(î = 0

(2)

-R 0 1 sin 0 + o>2r + R ij>2

(3)

sin

6

»

=

0

R 0 1 cos 0 - o^r - (x + R cos 0 - e)i|>£ -R 0 f sin 0 - ru)3 sin 0 =

«

0

(4)

0

(5)

R 0 1 cos 0 + ro)3 cos 0 = 0

(6)

-o)2 cos 0 + coi sin 0

(7)

»

0

Les équations (5) et (6) sont identiques. i «^ • ^j j. ^^ vitesse de sortie aj ^£rmina^n^u^a222rÉ fr = ^tgaeg d'entrée En additionnant (1) et (3) -2 R 0! sin 0 + R(i|;i + ^2) sin 6 = 0

e» = ^i + »i 2

Les équations (2) et (4) donnent

2 R 0 T cos 0 - (x + R cos 0)^i •- (x + R cos 0 - e)^ = 0 2R

fli ^ *i cos 0 - x ^f - R cos 0 4,{ - x ^. - R cos 0^ + e ^ = 0

soit -x ty{ - (x - e) ^

dfoù

il

jH

=

= 0

x

e- x

gj J^êtermination de 0 y 6'

- I « (,*|)

e' - £*1 (1*7^7)

•' ' î r-hr *r © [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 125 -

Y^ Détermination de flg vecteur rotation de la bille L'équation (5) (ou 6) donne U>63

=

-^

W3

=

- 1 * e ,f 2 r e - x ^1

'

0'

r

L'équation (2) donne 1

e

-R . -r-—-—- i|*i sin 0 - o)2r + R i|;f sin 6 z e "" x 1 e - o)2r + R i|;][ sin 6 ( 1 - ^ —3— ) 4- e ™™ x 0)9z

-

0

0

1 R 2x - e . A ,f TT iM 2 — r e - x sin 0 ri

L'équation (7) donne œi =

=

=

1

R

0)^

2x - e cos e û

2 7 "T^T

=

0)2 —r—-r-

,t

' «

On a donc

fui! ^^

=

0)2

- W3 -jRo avec o)X

1 R 2x - e „ . = I ' 7 * e - x *C°S " *x

o)2

1 R 2x - e . ., - j • - • e , x - sinn 0 •f .${

(A)S

1 i . e ^ i. 2 * .r " e - x V.

on peut également exprimer ce vecteur dans (R3)

cos 0 ft£ =

-sin 0 0

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sin 0 cos 0 0

0

œi

0

0)2

1 J Lo)3->

d'où

- 126 -

~ 1 R •=• •— 2 r

fl£ «

2x - e • , , "T • ih e - x yi

. „

vecteur pivotement *

0

-Z ~ r — —-— e " x J

L

tyl R

'

vecteur roulement

3

e) Vecteur roulement et vecteur pivotement de la bille gar ra££ort

Illlûl

Ce sont les projections du vecteur ft£ sur le plan tangent en C et sur la normale en C °^ Zê£JÊê^_£2^1SÏ2ê2£

(ft&m

Le plan tangent en C est le plan (C, ¥3, Z3). D'où

10 = 294 rd/s « 2800 t/mn

J R 2x - e 2r e -x

=

g

+1

en^d;s

en ^ /mn

0

25

- 25

- 1

- 2

- 588

- 5 600

2,5

22,5

- 20

- 0,88

- 1,78

- 524

- 4 980

5

20

- 15

- 0,75

- 1,5

- 441

- 4 200

7,5

17,5

- 10

- 0,57

- 1,14

- 335

- 3 200

10

15

-

- 0,33

- 0,66

- 194

- 1 850

12,5

12,5

0

15

10

5

5

0

0

0

0

0,5

J

2

9

4

+

2 800

782

+ 7 450

17,5

7,5

10

1,33

2,66

20

5

15

3

6

1 765

+ J 6 800

22,5

2,5

20

8

16

4 700

+45 000

25

0

25

«

oo

»

Pivotement

* •-* ~ 0

25

2

22,5 20

>5

5

7,5 10

^ - -

« 2 5 1,428

- 3,50 - 3,856

-1 280 -1 130

9 800 --10 750

15

1,666

- 4,32

-1 268

-12.100

2

- 5

_! 470

-^ 000

- 6 - 7,66

-1 765 -2 252

-16 800 -2l 400

-3 240 -6480

-30 800 -6l 600

12,5

12,5 10

7,5

,.

= 294 rd/s = 2800 t/mn

- 3 - 3,222

15

17,5

]

Ul 0

»

2

5

» 3,33

20

5

5

22,5

2,5

10

25

0

-11 -22

»

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00

• ^

00

CD

- 130 -

ï) Roulement et pivotement au point B 0 < x < 25.10~ 3 m

e = 25. lu"3 m

Roulement x

e-x

2x-e

2

*Ix e x

-= 4 r

o>i n = 294 rd/s « 2 800 t/mn

%li = J * 2x - e toi n ^ t e x

+2 _ , en rd/s

p . en t/mn

0

25

- 25

~ 1

- 2

- 588

- 5 600

2,5

22,5

- 20

- 0,89

- 1,78

- 524

- 4 980

5

20

- 15

- 0,75

- 1,5

- 441

- 4 200

7,5

17,5

- 10

- 0,57

- 1,14

- 335

10

15

-

0,33

- 0,66

- 194

12,5

12,5

0

0

0

15

10

5

0,5

1

294

2 800

782

7 450

5

'

- 3 200 - 1 850

0

0

17,5

7,5

10

1,33

2,66

20

5

15

3

6

1 765

16 800

22,5

2,5

20

8

16

4 700

45 000

25

œ

°°

°°

QO

25

0

Pivotement

UT n = 294 rd/s = 2 800 t/mn

" - if- i f — a£H1-£

Pivotement x

0

0 2x-e

e-x

25

- 25

2x-e e-x

ft°(N).X3 i R 2x - e ^ ^ ' i = -. c oiiun 2 r e - x

- 1

-

2

^ 1 0 = 294 rd/s = 2 800 t/mn £Qo°/(>NT N) . X"£Q j/ en rd/s - 588

7^0 ,„>,-+ &S(N)X H V / ^3 en t/mn -

5 600

- 524

"

4 98

2,5

22,5

- 20

- 0,888

-

5

20

- 15

- 0,75

"1,5

- 441

- 4 200

7,5

17,5

- 10

- 0,5714

-

1,14

- 335

"

3 200

10

15

-

0,333

-

0,66

- 194

-

1 850

12,5

12,5

0

15

10

5

5

0

1,78

°°

0

°

0

0

0,5

1

294

2 800

782

7 450

17,5

7,5

10

1,333

2,66

20

5

15

3

6

1 765

16 800

22,5

2,5

20

8

16

4 700

45 000

23

0

25

°°

°°

°°

«

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- 133 -

C/

Etude des différents cas particuliers

En général au contact de deux solides il y a glissement, roulement et pivotement, 1°/ glissement simple si Çl2

=

0

2°/ roulement et pivotement sans glissement si V2(I) " 0

D/

- roulement simple si

ŒN = 0

- pivotement simple si

ŒT = 0

Cas du roulement et pivotement sans glissement en plusieurs points

Supposons que les deux solides (S^) et (82) soient en contact suivant une ligne (L) et que pour tout point I appartenant à (L) on ait %I) = 0

comme l'axe central est un lieu de vitesse minimum, tous le? points I appartiennent à l'axe central. La ligne (L) est nécessairement une droite.

Théorème. S'il y a roulement sans glissement sur une ligne de contact entre (Si) et (S2) cette ligne est nécessairement un segment de cb-oite. exemple Les plateaux (1) et (2) sont des tores et le galet (3) est une zone sphérique de la sphère de rayon R. Montrer qu'en tout point des lignes de contact (L}) ou (L2) il y a glissement sauf éventuellement en un point. Soit I le point 6 (LI) où l'on a Va(I) = 0 Soit K le point de rencontre de l'axe du galet et de l'axe des plateaux. ->1 Vs(K) = 0 K e aux axes A30 et A 10 L'axe central A 3 1 ^st donc IK. ou encore en utilisant le théorème ci-dessus : la ligne de contact étant un grand cercle de la sphère il ne peut y avoir roulement sans glissement en tout point.

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- 134 -

2,2.8

MOUVEMENT PLAN D'UN SOLIDE

A/

Mouvement plan d'un point

1°/ Définition Un point dont la trajectoire a lieu dans un plan est dit animé d'un mouvement plan. 2°/ Théorème Une condition nécessaire et suffisante pour qu 'un point soit animé d'un mouvement plan par rapport à un repère est que le vecteur vitesse reste contamment parallèle à un plan fixe du repère a

) £2Sili£i2B_2꣣ˣâîïÈ M décrit le. plan (P) d'équation (x - xQ)a + (y - Yo)t + (z - ZQ)C k perpendiculaire à (P) a comme coefficient de direction r a "i

"

Ê -

Dérivons l'équation du plan

axf

+

ou

î .V =

b

Fig 2.64

Le point M a pour vitesse

"x 1 "

V

=

y'

_z-'f byf

+

cz'

=

0

0

Par suite le vecteur vitesse reste dans (P) (il passe par M et il est perpendiculaire à K). b) condition_suffisante

~ x' " V

= L

y1 zT

//

P

+

c ZT

donc un vecteur perpendiculaire est a -»• k b c_

J

On a donc

V .k a xf

= 0 +

b yT

=

0

En intégrant

a (x - XQ) + b (y - y0) + c (z - z0) = 0

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- 135 -

Le point M se déplace dans le plan (P) passant par A de coordonnées (XQ, y 0 , ZQ) et donc un vecteur perpendiculaire est Ta"

î - . cb

B/

Mouvement plan d ! un solide 1°/ Définition

Un solide est dit animé d'un mouvement plan si tout point du solide a un mouvement plan.

2°/ Théorème Si trois points non alignés d'un solide (S2) ont leur trajectoire dans un plan PI € (S^) tous les points du solide sont animés d'un mouvement plan* le plan du mouvement est parallèle à (P\)* Le mouvement du solide est à tout instant une rotation instantanée d'axe ^2 perpendiculaire à (PI). a

) •Q2-êS£.2ïJÈ!î2S2Sâi-â-i£ll

Soient 0, MJ , M2, M 3 appartenant à (S2), MJ , M2, M 3 étant trois points non alignés se déplaçant dans le plan (P]) de (S}) A

V^Mi) «

VQ

+ ^2

V1(M2)

=

VQ

+ ^2 A ^2

V1(M3)

=

V^

+

V1(M2) - V^Mi)

ÔMl

^ A ^3 =

^ A [MjM^J

v1(M3) - V^M!) = ai-A [MÏM^] v1(M2) - V^M!) | MTM? V1(M3) - vVCMi)

| MTMq

Conclusion. Les vecteurs [v1(M2) - V^Mj)] et [v1 (M3) - V^MI)] sont des vecteurs non colinéaires du plan (P],). Le vecteur fi2 perpendiculaire à deux vecteurs non colinéaires du plan (P}) est perpendiculaire à ce plan. b

^ tË-5?2HYËïS}Ëîî£_Ë££«HSË-E2£êHion instantanée d!axe ^ Calculons le pas A du torseur

X

mais

V^M!)

=

^2 / V^MQ

(vb2

I

fl?

(Mj e

PL)

Donc

\

=

0

Tous les points appartenant à (A) ont une vitesse nulle. Le mouvement est une rotation instantanée.

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- 136-

°) y5_E2Î2L-SHêl£2SSHÊ_âEEâ££Ê ElâSjL-Ië-Ei*B-^!i!-5£aYÊSêS£.§sI.EêEEêSâi£yl§iïê«.§-llLl : V1 (M) - V1 (Mi ) + $2 A MÏM

V1^) parallèle à (P^) ) J-É^t^M) parallèle à (Pj) ^2 A MI M parallèle à (P^) d) RËSâESHê : vitesse de la projection de M sur (Pi) Soit k la projection orthogonale de M sur (PI) Mk = y . $2 V1 (k) - V1 (M) + $2 A Mk

[k appartient à (?2) lie à (82) confondu avec (Pl)J V1 (k) * V1 (M)

Fig 2.66

Conséquence pratique : l'étude du mouvement plan d'un solide se ramène donc à l'étude du mouvement des points du plan (?£) 6 (82) e) Remarque : l'ensemble des points appartenant à (82) et qui restent dans (Pi) forme un plan (?2) appartenant a (82) Soit k la projection sur (P2) d'un point M quelconque. aj vitesse_dej<

g; accélération de k «

V 1 (k)

=

V1 (M) + ^2 A Mk

VX(k)

-

VX(M)

^

=

+

jl

+1 _ d^ A Mk -H ^2 A (^i A Mk) at = 0

1

J (k) =

=0

1

J (M)

Lfétude du mouvement plan d'un solide se ramène donc à lJétude du mouvement des points d'un plan (P2) & (S2) et qui restent en coïncidence avec un plan (P\) lié à (Si). C'est un mouvement plan sur plan.

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MECANIQUE GENERALE COURS ET EXERCICES EN 16 VOLUMES

CHAPITRE 1 • COURS - TORSEURS • EXERCICES - TORSEURS

VOLUME 1 VOLUME 2

CHAPITRE 2 • COURS PARTIES 1 & 2 - CINEMATIQUE • COURS PARTIE 3 - CINEMATIQUE • EXERCICES - CINEMATIQUE

VOLUME 3 VOLUME 4 VOLUME 5

CHAPITRE 3 • COURS-LES TENSEURS CARTESIENS D'ORDRE 2 • EXERCICES - LES TENSEURS CARTESIENS D'ORDRE 2

VOLUMES VOLUME 7

CHAPITRE 4 •COURS- GEOMETRIE DES MASSES • EXERCICES - GEOMETRIE DES MASSES

VOLUME 6 VOLUME 7

CHAPITRES •COURS-CINETIQUE • EXERCICES - CINETIQUE

VOLUMES VOLUME 7

CHAPITRE 6 • COURS - THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE • EXERCICES - THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE

VOLUME 8 VOLUME 9

CHAPITRE? • COURS - EQUATIONS DE LAGRANGE - EQUATIONS D'APPELS • EXERCICES - EQUATIONS DE LAGRANGE - EQUATIONS D'APPELS

VOLUME 10 VOLUME 11

CHAPITRE 8 • COURS - EQUILIBRE - STABILITE - PETITS MOUVEMENTS VOISINS VOLUME 12 • EXERCICES - EQUILIBRE - STABILITE - PETITS MOUVEMENTS VOISINS VOLUME 13

CHAPITRE 9 • COURS - MOUVEMENT STATIONNAIRE - STABILITE •EXERCICES- MOUVEMENT STATIONNAI RE - STABILITE

VOLUME 14 VOLUME 15

CHAPITRE 10 • COURS - THEORIE DU CHOC

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VOLUME 16