Cours - Playmaths

Nombres complexes Introduction : équations à résoudre

I. Notion de nombres complexes 1) Définitions

On appelle i un nombre dont le carré vaut –1. Remarque : Il n’existe pas de nombre réel solution de l’équation x²= -1. Le nombre i n’est donc pas un nombre réel. On appelle nombre complexe un nombre qui peut s’écrire sous la forme z = a + ib avec a et b nombres réels. L’ensemble de tous ces nombres complexes est notés ℂ.

2) Propriétés

Les opérations dans ℂ obéissent aux mêmes règles de calcul que dans ℝ.

Exemples : Développer A = ( 3 – 2i )( 1 – i ) B = ( 3 + i )(3 – i) C = (4 – 3i )² On donne z = 3 – 2i, donner l’opposé de z et son inverse.

Ex 9-10(q1)-12 p.303 Théorème : Soit z un nombre complexe. z s’écrit de manière unique sous la forme z = a + ib où (a, b) ℝ². Cette écriture est appelée forme algébrique de z. Le réel a est appelé la partie réelle de z, et on note Re(z) = a. Le réel b est appelé la partie imaginaire de z, et on note Im(z) = b. Si b = 0, on obtient un nombre réel, ce qui prouve que ℝ  ℂ. Si a = 0, on obtient un nombre dit imaginaire pur. Théorème : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. a +ib = a’ + ib’ équivaut à a = a’ et b = b’ a +ib = 0 équivaut à a = b = 0 Exercice : Soit z = a + ib un nombre complexe non nul (a ; b) ℝ². Déterminer la forme algébrique, la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse de z. (

1 a  ib  ) z a²  b²

Ex 13-14-15-16-17-27 p.303 1

http://playmaths.free.fr

2

http://playmaths.free.fr

II. Conjugué et module 1) Définitions

Soit z = a +ib un nombre complexe où a et b sont deux réels. Le conjugué de z, noté z , est le nombre complexe égal à a – ib. Le module de z, noté z , est le réel positif

a²  b² .

Exemples : Conjugué et module de i, a, 2 +3i …

2) Propriétés du conjugué

Soit z un nombre complexe. Alors : 1) z  z

2) Re(z) =

zz 2

3) Im(z) =

zz 2i

4) z est réel si et seulement si z = z 5) z est imaginaire pur si et seulement si z = - z

Pour tous nombres complexes z et z’ : 1) z  z'  z  z'

2) zz'  z z' n

5) Pour tout n  ℤ , z  z

1 1 3) si z ≠ 0,    z

n

z z 4) si z’≠ 0,     z' 

z

z'

dem : ex 25 p.303

soit z = a +ib avec a et b réels. A faire en exercices.

Ex 21-22-23-26 p.303

3) Propriétés du module

Soient z et z’ deux nombres complexes. Alors 1) z  z 4)si z≠0,

2) z  z 1 1  z z

4) z

3) z z'  z z'

5)si z’≠0,

z z  z' z'

2

zz

6) Pour tout n  ℤ et z ≠0, z n  z n

dem : en exercices

4) Inégalité triangulaire Pour tous nombres complexes z et z’, on a : z  z'  z  z' Dem : inégalité triangulaire avec parallélogramme

Ex 37-38-39-40-41 p.305

3

http://playmaths.free.fr

III. Equations dans ℂ 1) Equations dans ℂ

Résoudre une équation dans ℂ consiste à déterminer tous les nombres complexes rendant l’égalité donnée vraie. Certaines équations se résolvent en utilisant les mêmes techniques que celles utilisées dans ℝ ; c’est le cas des équations faisant intervenir uniquement z, ou uniquement z … D’autres équations nécessitent le recours à la forme algébrique. Exemples : 1) z  i(z  i) ( z = 2) z²  5z  3  0 3) z²  5z  7  0

1 1  i ) 2 2   5  13 5  13   S=  ;  2 2    

S=∅

2) Equations du second degré à coefficients réels

Théorème : Soit f une fonction définie sur ℂ par f(z) = az²+ bz + c, où a, b et c désignent 3 réels avec a ≠0 et l’équation az²+ bz + c = 0 de discriminant  = b² - 4ac. Il existe un nombre complexe  tel que    2 et l’équation f(z) = 0 a deux solutions complexes : z1 

b   b   et z2  . 2a 2a

On a, de plus, f(z) = a(z  z1 )(z  z2 ) . Dem : forme canonique ….

Exemples :    

1) z 3  3z 2  7z  0 1 S = 0; 2) 2z²  4z  3  0 3) 

1  2  2z z

3  i 19 3  i 19   ;  2 2  

 

2 2  ;1  i  2 2  1 1 1 1  S =   i ;  i 2 2 2 2 

S =  1  i

Ex 30 à 36 p.304

IV. Représentation géométrique 1) Affixe d’un point

Si on se donne un repère orthonormé direct (O, u , v ) du plan, on peut identifier l’ensemble ℂ au plan comme suit : A chaque point M de coordonnées (a ; b), on associe le nombre complexe zM = a +ib. On dit alors que zM est l’affixe du point M Réciproquement, à chaque nombre complexe z = a + ib, on associe un point M de coordonnées (a ; b). On dit que M est l’image de zM. On parle alors du plan complexe. 4

http://playmaths.free.fr

Rque : A chaque nombre réel a, on associe un point M de l’axe des abscisses, d’abscisse a. A chaque nombre « imaginaire pur » ib, on associe un point M de l’axe des ordonnées, d’ordonnée b.

Ex 11 p.303

2) Affixe d’un vecteur A chaque nombre complexe z = a + ib, on associe un vecteur w de coordonnées (a ; b). Pour tout vecteur w de coordonnées (a ; b), on associe le nombre complexe z = a + ib appelé affixe du vecteur w . Rque : Pour tout vecteur w , il existe un unique point M dans le plan tel que OM = w et donc zM  xM  i yM étant l’affixe du point M, zM  xM  i yM est aussi l’affixe du vecteur Notation : zM  xM  i yM l’affixe d’un point M. z  x  i y l’affixe d’un vecteur w . w w w

Propriétés : z z z z

w t

kw

z

AB

w

 kz

t

w

 zB  zA

Dem : … zB  zA est l’affixe du vecteur AB :.

 xB  xA   , c'est à En effet zB  zA  .... donc zB  zA est l’affixe du vecteur de coordonnées   yB  yA  dire du vecteur AB . Egalité : wtz z w

t

Conséquence : w et t sont colinéaires équivaut à ( zt  0 ) ou ( zt  0 et il existe un réel k tel que zw  kz t Exercice : Soient A, B et C trois points distincts deux à deux, d’affixes respectives zA , zB et zC . z  zA Montrer que A, B et C sont alignés équivaut à C  ℝ. zB  zA

Ex 19 p.303

5

http://playmaths.free.fr

3) Module et affixe Propriété : z

AB

 AB

Dem :

Ex 52-53-54(1 façon)-55-56 (1 à4)-58-59(a-b) p.303 Exercices supplémentaires

6

http://playmaths.free.fr