Cours - Playmaths

Fonctions sinus et cosinus

I.

Fonctions sinus et cosinus

1) Définitions

Cercle trigonométrique : Le plan est muni d’un repère ( O, I, J) orthonormal. On appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre O et de rayon 1, muni d’un sens direct ( ou trigonométrique) : le sens inverse des aiguilles d’une montre.

On enroule la droite des réels autour du cercle trigonométrique.

Le radian Le périmètre du cercle trigonométrique est 2 . Un angle en radian, c’est la longueur de l’arc de cercle correspondant. L’angle droit mesure Error!radian. L’angle plat mesure  rad. La somme des angles d’un triangle mesure  rad. Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de m dans le repère ( O, I, J). Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de m dans le repère ( O, I, J). La fonction sinus est la fonction qui à tout réel x fait correspondre sin x. La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x fait correspondre cos x.

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2) Représentation graphique Fonction cosinus :

Fonction sinus :

Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoïdes. La fonction cosinus est paire ; la fonction sinus est impaire. Remarque : La courbe représentative de la fonction cosinus est l’image de la courbe représentative de la fonction sinus par la translation de vecteur -Error!Error!. D’après l’enroulement, chaque réel est représenté par un point unique du cercle. En revanche, chaque point du cercle trigonométrique peut être obtenu à partir d’une infinité de réels : la distance entre deux de ces réels est un multiple de 2 . Ainsi, un point M correspondant à un réel x et le réel x + 2  donnent le même point M du cercle trigonométrique, donc les mêmes coordonnées. cos(x+2) = cos(x) et sin (x+2) = sin(x) On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2.

Ex 10 p.151

3) Variations sur [ - ; ] x cos x

x sin x



-1 

-

0

Error!

1

0

-

0

Error!

0

0

-1

Error!

0

Error!



-1 

1 0

4) Quelques valeurs remarquables 2

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x (en rad) sin x cos x x (en degré)

0

Error!

Error!

Error!

Error!

0 1

Error! Error!

Error! Error!

Error! Error!

1 0

0

30

45

60

90

Error!

Error!

Error!

Error! Error! Error! - Error! - Error! - Error! 120

135

150

 0 -1 180

Ex 6-7 p.151

5) Cosinus et sinus des angles associés Soit x un réel

cos (-x) = cos (x)

sin (-x) = - sin (x)

cos (  - x ) = - cos (x)

sin (  - x ) = sin (x)

cos (  + x ) = - cos (x)

sin (  + x ) = - sin (x)

 - x ) = sin (x) 2  cos ( + x ) = - sin (x) 2

cos (

 - x ) = cos (x) 2  sin ( + x ) = cos (x) 2

sin (

Application : Résolutions d’équations Résoudre les équations suivantes : 1 cos x = dans ] ;  ] 2 3 sin 3x = dans ] 0;2 ] 2 2 cos2x – 1 = 0 dans ] ;  ]

Ex 11-12-13 p.151

6) Formules d’additions

cos ( a + b ) = cos a cos b - sin a sin b cos ( a – b ) = cos a cos b + sin a sin b

cos(2a) = cos²a – sin²a = 1 – 2 sin²a = 2 cos²a - 1

sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a sin ( a - b ) = sin a cos b - sin b cos a

sin(2a) = 2 sin a cos a

II. Dérivées des fonctions sinus et cosinus 1) Nombres dérivés en 0 Propriété :

3

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La fonction cosinus est dérivable en 0, et son nombre dérivé en 0 vaut 0. La fonction sinus est dérivable en 0, et son nombre dérivé en 0 vaut 1 Dem : Sinus : Faite avec le théorème des gendarmes chap. Limites de fonctions . Cosinus : Ex 33 p.153 A regarder ‼

2) Dérivées des fonctions

Théorème : La fonction sinus est dérivable sur Ë et sa dérivée est la fonction cosinus. La fonction cosinus est dérivable sur Ë et sa dérivée est la fonction - sinus. Dem : Soit x un nombre réel quelconque et h  0. cos(x  h)  cos x cos x cosh sin x sinh cos x cosh 1 sinh = = cos x  sin x h h h h sinh cosh 1 cos(x  h)  cos x Or lim  1 et lim  0 donc lim   sin x h 0 h h 0 h0 h h Ce qui prouve que la fonction cosinus est dérivable en tout nombre x et que sa dérivée est la fonction – sinus. Dem de la dérivée de sinus ….

3) Dérivées des fonctions composées Dérivée de sin(u) et de cos(u).

Ex 15-16-17 p.151 Ex 37-46-57 p.154

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