Cours “Statistiques et Probabilités” - aa 2016-2017

Cours “Statistiques et Probabilités” - a.a. 2016-2017 TD 1.1

Propriétés de la moyenne et de la variance

Exercice 1 Soit X une V.A. discrète, son domaine étant {x1 , . . . , xn }, avec P (X = xi ) = pi . 1. Prouver que la variance satisfait V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 . 2. Considérons la V.A. aX + b, ainsi définie P (aX + b = axi + b) = pi . Prouver qu’elle satisfait E(aX + b) = aE(X) + b. 3. Prouver qu’elle satisfait V ar(aX + b) = a2 V ar(X). Exercice 2 Soit X une V.A. discrète comme dans l’exercice précédent. Soit Y une autre V.A. discrète, son domaine étant {y1 , . . . , ym }, avec P (Y = yi ) = qi . 1. Définir la V.A. X + Y . 2. Définir la distribution de probabilité pour X + Y , sous l’hypothèse d’indépendance. 3. Prouver E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). Exercice 3 Répéter les exercices précédents avec un exemple numérique :  1  0 → 2 X := 1 → 14   2 → 14 , 1. Décrire aX + b avec a = 2, b = 2. Calculer moyenne et variance. 2. Choisir Y avec la même distribution que X et décrire la V.A. X + Y dans les deux cas suivants : — les variables X et Y sont indépendantes ; — les tirages de X et de Y coïncident.

TD 1.2

Variables Aléatoires Discrètes

Exercice 4 Un épicier reçoit un lot de pommes, dont 25% avariées. Un employé prépare des emballages de 5 pommes chacun. Chaque client qui trouve 2 ou plus pommes avariées retourne au magasin. Soit X la V.A. “nombre de pommes avariées dans l’emballage”. Déterminer la loi de probabilité, sa moyenne et sa variance. Quelle est la probabilité qu’un client donné se plaigne auprès de l’épicier ? L’épicier reçoit 100 clients. Soit Y la V.A. “nombre de clients qui se plaignent”. Déterminer la loi de probabilité associée, sa moyenne et sa variance. Combien de plaignants aura-t-on en moyenne ?