COURS TERMINALE S LES PROBABILITES C

COURS

TERMINALE S

LES PROBABILITES

C. Lois de probabilités 1. Lois discrètes Il s'agit de lois de probabilités associées à une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs discrètes. On étudie ici deux de ces lois: a) Loi de Bernoulli: Épreuve de Bernoulli: Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire ayant deux issues contraires de probabilités p et q, avec p + q = 1. Exemples: Lancer d'une pièce de monnaie, avec les issues « obtenir pile » et « obtenir face ». Lancer d'un dé, avec les issues « obtenir 6 » et « obtenir un nombre < 6 ». Tirage d'une boule dans une urne contenant des boules rouges et des boules blanches. Les deux issues sont « obtenir une boule rouge » et « obtenir une boule blanche ». Remarque: dans la plupart des cas, on notera S l'une des issues appelée succès, et l'autre issue
S = E appelée échec. Loi de Bernoulli: On considère une épreuve de Bernoulli d'issues contraires S et E, de probabilités respectives p et q et la variable aléatoire X à valeurs dans {0; 1} définie par: X = 1 si l'issue de l'épreuve est S, et X = 0 si l'issue de l'épreuve est E. Définition: Dans ce cas, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. On a p(X = 1) = p(S) = p et p(X = 0) = p(E) = q = 1 – p . L'espérance de X est égale à E(X) = 1×p + 0×q = p. La variance de X est égale à V(X) = E((X – E(X))2) = (1 – p)2p + (0 – p)2q =(1 – p)2p + p2q = (1 – p)2p + p2(1 – p) = (1 – p)[(1 – p)p + p2)] = p(1 – p). b) Loi binomiale Schéma de Bernoulli: Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes d'issues contraires S et E de probabilités respectives p et q. Loi binomiale: On considère un schéma de Bernoulli d'issues contraires S et E, de probabilités respectives p et q et la variable aléatoire X à valeurs dans {0; 1; 2; ...; n} définie par: X = k si on obtient k succès dans le schéma de Bernoulli. Définition: Dans ce cas, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p et notée B(n; p). Propriété: Si X suit une loi binomiale B(n; p), alors pour k  {0; 1; 2; ...; n}, p(X = k) =



n pk q nk . k

L'espérance de X est égale à E(X) = np. La variance de X est égale à V(X) = E((X – E(X))2) = npq . Démonstration: La répétition de n épreuves de Bernoulli donne les résultats possibles comme des listes de n issues S ou E. Les épreuves répétées étant indépendantes, la probabilité d'obtenir une des listes est égale au produit des probabilités de S et de E. Si la liste contient k fois l'issue S, et donc n – k fois l'issue E, la probabilité de la liste est pkqn – k . Il y a

 n k

issues ayant k fois l'issue S, et donc n – k fois l'issue E (on choisit de placer S dans la liste contenant n

issues). Donc p(X = k) =

k=n

k=n

E(X) =

 k=0



n pk qnk . On a bien, par la formule du binôme, k

(p(X = k)k) =

 k=0

k=n

 k=0



n pnk qk = (p + q)n = 1. k



n pk qnk k . On considère la fonction f définie sur  par f(x) = (px + q)n. Cette fonction k k=n

est dérivable sur  et f '(x) = np(px + q)

n–1

. De plus, f(x) =

 k=0

k=n

En prenant x = 1, on trouve f '(1) = np =  k =1





n kp k q nk = E(X). k

n  px k q nk et f '(x) = k

k=n

 k =1



n kp k x k1 q nk . k

On admet que V(X) = npq .

2. Lois continues a) Loi de probabilité à densité Définition: Une loi de probabilité p définie sur un intervalle [a; b] de  est déterminée par une fonction f définie, b

continue et positive sur [a; b] telle que

 f  x  dx

= 1. Cette fonction f est appelée la fonction de densité de la

a

probabilité p. d

Pour tout intervalle [c; d] contenu dans [a; b], la probabilité de [c; d] est égale à

 f x dx . c

b) Loi uniforme Définition: On appelle loi uniforme sur un intervalle [a; b] de  , la loi de probabilité p dont la fonction de densité f est une fonction constante sur [a; b]. Soit, pour x dans [a; b], f(x) = k . b

Dans ce cas, puisque



b

f  x  dx =

 kdx a

a

1 b = [ kx ] = k(b – a) = 1, la constante k = . a ba

Propriété: Pour tout intervalle [c; d] contenu dans [a; b], la probabilité de [c; d] est égale à

dc ba

=

longueur du segment [c ; d] longueur du segment [a ; b]

.

c) Loi exponentielle Définition: Soit un réel strictement positif. La fonction f définie sur [0; + [ par f(x) = e x est la densité d'une loi de probabilité p, appelé loi exponentielle de paramètre . t

Remarque: On peut démontrer que lim

 f x dx

= 1.

t  0

Une variable aléatoire X à valeurs dans [0; + [ suit une loi exponentielle de paramètre , si pour tout réel t de [0; + [, t

p(X  [0; t]) = p(0 X t) =

 f x dx

t

=

0

 e x dx 0

= [ e

 x

]t

0

= e t e 0  = 1 – e t .

On a donc p(X  [t ; + [) = p(X  t) = e t . t

De plus, pour tous réels s et t strictement positifs avec s t, p(X  [s; t]) = p(s X t) =

 e x dx

= e s – e t .

s

d) Loi de durée de vie sans vieillissement La durée de vie d'un individu au sens statistique du terme est une variable aléatoire T à valeurs dans [0; + [, où l'événement (T  t) avec t  0, signifie que l'individu est vivant à l'instant t. On dit que T suit une loi de durée de vie sans vieillissement si la probabilité que l'individu soit vivant à l'instant t + h (h  0), sachant qu'il est vivant à l'instant t, ne dépend pas de t. C'est-à-dire p(T  t)(T  t + h) ne dépend pas de t. Si cette probabilité ne dépend pas de t, on peut prendre t = 0, et p(T  t)(T  t + h) = p(T  0)(T  h). Comme l'évènement (T  0) est l'évènement certain, p(T  0)(T  h) = p(T  h). Donc p(T  t)(T  t + h) = p(T  h). p Tt h Tt pTt h = car D'après la définition des probabilités conditionnelles, p(T  t)(T  t + h) = p T t pTt  l'événement (T  t + h) est contenu dans l'évènement (T  t). pTt h Ainsi = p(T  h). On pose g(t) = p(T  t) pour t  0. pTt  On obtient g(t + h) = g(t) × g(h) pour t  0 et h  0. En admettant que la fonction g est dérivable sur [0; + [, on a vu que g(t) = e at avec a dans . Comme g est une probabilité, g(t) 1, donc a < 0. On pose alors = – a > 0. Ainsi la loi de durée de vie sans vieillissement est une loi exponentielle. Applications: Durée de vie d'un composant électronique, d'un appareil électrique; durée d'une substance radioactif...