Cours3/TD3

L2 Mention Informatique

UE Probabilités

Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles

Notes de cours rédigées par Régine André-Obrecht, Julien Pinquier, Sergei Soloviev

1

Soit (Ω, A , P ) et X : Ω → R une variable aléatoire. I.

Variable aléatoire réelle

Définition : Soit (Ω, A , P ) et X : Ω → R une variable aléatoire. X est une variable aléatoire réelle si ∀ I , intervalle de R, {X ∈ I }∈ A. Proposition : Cette condition est vérifiée dès que {X ≤ x}∈ A, pour tout x de R.

Elle entraîne que {X ∈ B}∈ A, pour tout borélien B de la tribu borélienne B(R) et que la loi de X est

définie par Px(B) = P( {X ∈ B} ), pour tout B de B(R).

Fonction de répartition On appelle Fonction de répartition de la variable aléatoire X, la fonction F : R
[0,1] définie par :

F ( x) = P ( X ≤ x )

La fonction de répartition caractérise la loi de probabilité de la variable X.

II.

Variable aléatoire réelle à densité a. Définitions 1. Soit f : R→ R+ continue par morceaux avec un nombre fini de discontinuités, intégrable et tel que

∫

+∞

-∞

f(x)dx = 1 . f est une densité.

2. X est dite à densité, de densité f, si ∀x ∈ R, F(x) =

∫

x

−∞

f(u)du .

Propriétés : Si X est une variable aléatoire réelle de densité f : b

1.

P(]a, b]) = P(]− ∞, b]) − P(]∞, a ]) = F(b) − F(a) = ∫ f(u)du , a

2. P(X=x) = 0, 3. En tout point où f est continue : F’(x) = f(x). Réciproque : Soit F la fonction de répartition de X. Si X est dérivable (sauf en un nombre fini de points) alors X est à densité et f(x) = F’(x) si la dérivée existe et 0 sinon.

∫

Représentation P(A) = f(u)du = « Aire sous la courbe » A

f(x)

P(A)

A

x

2

b. Lois usuelles Loi uniforme sur [a, b] (équiprobabilité) f(x) =

F(x) =

1 b−a 0 0 1 b−a 1

si a ≤ x ≤ b, sinon.

∫

x

a

du =

si x ≤ a,

x -a b-a

si a ≤ x ≤ b, si x ≥ b.

Fonction de base pour la simulation d’autres lois.

f(x)

F(x) 1

1 b−a

0

a

b

0

x

a

x

b

Loi exponentielle de paramètre λ • •

f(x) =

λ e -λ x 0 x

Durée de vie d’un phénomène (sans mémoire) Délai entre 2 événements imprévisibles (Fonctionnement d’un ordinateur avant une panne, Emission de particules radioactives, Tremblement de terre)

si x ≥ 0, sinon.

[

F(x) = ∫ λe -λu du = - e -λu 0

]

x

0

= 1 − e −λ x

F(x)

f(x)

1

1 λ =1

λ =1

0

x

3

0

x

Loi gaussienne ou normale (centrée réduite)

f(x) =

1

e

2π

Intégrale de Gauss :

∫

x

−∞

f(u)du ?

 1 2 − x   2 

∫

+∞

−∞

e

 1 2 − x   2 

= 2π donc

∫

+∞

−∞

f(u)du = 1 .

Approximation de la fonction de répartition  tables numériques.

F(x)

f(x)

1

0,4

0 III.

x

0

Moments d’une variable aléatoire réelle

Définition : X : Ω → R à densité f et ϕ : R→ R continue par morceaux. Si

∫ ϕ (x) f(x)dx < +∞ alors ϕ (X) est une variable aléatoire intégrable et E(ϕ (X)) = ∫ ϕ (x)f(x)dx

(

Définition : E(X) est l’espérance de X et var(X) = E (X − E(X ))

2

)

Remarques : 1. Avec cette définition, on peut tout faire à la seule condition qu’il faut vérifier à chaque fois que les valeurs absolues des fonctions soient intégrables. 2. Il faut interpréter E(ϕ (X)) comme la valeur moyenne des valeurs prises par la variable ϕ (X). 3. Toutes les propriétés obtenues pour les variables discrètes dénombrables vont ainsi être retrouvées dès que les intégrales convergent (la page suivante devient inutile !). Définition : Si

( )

∫x

n

f(x)dx < +∞ , on dit que X admet un moment d’ordre n et égal à :

E X n = ∫ x n f(x)dx . Propriétés : • Si X a un moment d’ordre n, X a des moments d’ordre j, j ≤ n, • var(X) = E(X2) – E(X)2 et var(λX+γ) = λ2 var(X), • E(X)2 ≤ E(X2) • E(X)2 = E(X2) ⇔ P(X=E(X)) = 1.

4

x

Une astuce courante: Si ϕ = 1A la fonction indicatrice d’un borélien A sur R, c'est-à-dire :

ϕ ( x) = 1, si x ∈ A ϕ ( x) = 0, si x ∉ A

P( A) = E (1A ( X )) = ∫ f (u )du A

IV.

Vecteurs aléatoires

Définition : Soient n variables aléatoires réelles {X1, X2,…,Xn} définies à partir de (Ω, A, P ), on appelle vecteur aléatoire la variable X = (X1, X2,…,Xn) Si Xi Ω
R , X Ω
Rn . Proposition : si les (Xi) sont des variables aléatoires réelles, X est un vecteur aléatoire réel dont la loi est entièrement caractérisée par :

si I = I 1 xI 2 x...xI n , PX ( I ) = P( X ∈ I ) = P( X 1 ∈ I 1 , X 2 ∈ I 2 ,..., X n ∈ I n ) Fonction de répartition : F ( x1 , x 2 ,..., x n ) = P ( X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x 2 , , X n ≤ x n ) Définition : X est un vecteur aléatoire réel à densité s’il existe une fonction f de Rn dans R+, vérifiant

F ( x1 , x 2 ,..., x n ) = ∫

x1

∫

x2

−∞ − ∞

xn

...∫ f (u1 , u 2 ,..., u n )du1 du 2 ...du n −∞

P(X ∈ ]− ∞, x 1 ] × ]− ∞, x 2 ]× ... × ]− ∞, x n ]) = ∫

x1

−∞

∫

x2

xn

...∫ f(x 1 , x 2 ,..., x n )dx 1dx 2 ...dx n

−∞

−∞

Loi marginale de Xi : si X est un vecteur réel à densité, Xi est une va réelle à densité avec pour densité f i ( xi ) =

+∞ +∞

+∞

−∞ −∞

−∞

∫ ∫ ...∫

f (u1 , u 2 ,..., u i , , u n )du1 du 2 ...duˆ i ...du n , où dûi signifie que l’on n’intègre

pas selon la coordonnée i.

V.

Indépendance

Définition : n variables aléatoires réelles{X1, X2,…,Xn} définies à partir de (Ω, A, P ) sont dites indépendantes si et seulement si : n

P( X 1 ∈ I 1 , X 2 ∈ I 2 ,..., X n ∈ I n ) = ∏ . P ( X i ∈ I i ) i =1

Théorème : Soit X le vecteur de n variables aléatoires réelles {X1, X2,…,Xn}, les variables {X1, X2,…,Xn} sont indépendantes si et seulement si F(x1, x2,…,xn)= Fi ( xi )

∏ i

où F et Fi sont les fonctions de répartition de X et Xi. Proposition : X = (Xi)i=1,…,n un vecteur aléatoire. Si X est à densité f et si f se factorise : n

f(x 1 ,..., x n ) = ∏ f i (x i ) avec une densité fi, alors les (Xi) sont indépendantes. (Réciproque vraie) i =1

Théorème :

Soit

(Xi)i=1,…,n variables aléatoires indépendantes à ∀g i : R → R. tel que g i (X i ) intégrable, alors E(g1 (X 1 )...g n (X n )) = E(g i (X i )).

∏

Réciproquement si cette relation est vraie ∀g i alors les (Xi) sont indépendants.

5

densités,

Unité de cours Probabilités - Exercices – Chapitre 3 : Variables aléatoires discrètes

Exercice 1* (Annales décembre 2009) Soit X une variable aléatoire de densité f (x) égale à : • 0 si x < 0 ; • x/2 quand 0 ≤ x ≤ 1 ; • ½ quand 1 ≤ x ≤ 3 / 2 ; • 2x − 5/2 quand 3 / 2 ≤ x ≤ 2 ; • 0 quand x > 2. 1. 2. 3. 4.

Quel est le graphe de densité ? Quel est le graphe de la fonction de répartition F(X) ? Trouver la valeur de x tel que P(X < x) = ¾ (cette valeur s’appelle « quantile de ¾ »). Calculer l’expression de l’espérance de X.

Exercice 2* On suppose que la taille moyenne d'un homme de 25 ans est une variable aléatoire réelle T à densité normale de moyenne 175 et d'écart-type 6. On veut estimer le pourcentage d'hommes de 25 ans ayant une taille supérieure à 185, en utilisant la table de la loi normale centrée réduite. 1. (valable quelque soit la variable X, à compter du moment où la moyenne et la variance de cette variable existe !) Quels sont la moyenne et l'écart-type d'une variable Y = αX + β où α et β sont deux réels quelconques, en fonction de la moyenne et l'écart-type de la variable X (lorsqu’ils existent) ? 2. Soit X = T. Quelles valeurs faut-il prendre pour α et β pour que Y suive une loi normale centrée réduite ? 3. Exprimer P (T ≥ 185) en fonction d'une probabilité sur Y. La table de la loi normale centrée réduite donne F (u ) = P (Y ≤ u ) pour des réels 0 ≤ u p 3 (voir Annexe). Il faut donc exprimer les probabilités qu'on veut calculer sur Y en fonction de F(u) pour certains 0 ≤ u p 3 . 4. Exprimer, pour α quelconque, P (Y ≥ α ) en fonction d'un certain F(u). 5. En utilisant la table de la loi normale centrée réduite, donner la valeur de P (T ≥ 185) . 6. Quel pourcentage d'hommes de 25 ans ont une taille comprise entre 160 et 190 ? On veut maintenant trouver un réel ε tel que P (175 − ε ≤ T ≤ 175 + ε ) ≥ 90% . 7. Exprimer P (175 − ε ≤ T ≤ 175 + ε ) en fonction de F, puis calculer ε. Exercice 3* (vecteurs aléatoires et somme de variables aléatoires) Préliminaire : Soit le couple de variables aléatoires réelles (X,Y) de loi uniforme sur [a,b]x[a,b]. a) Calculer la densité f. b) a=0 et b=1. Soit Z = X + Y. Calculer la fonction de répartition de Z. La densité de probabilités d’un couple de variables aléatoires réelles (X,Y) est donnée par : 1. Calculer la constante c. 2. Calculer P(1