Démonstration de la formule de conjugaison pour les dioptres

Démonstration de la formule de conjugaison pour les dioptres sphériques 1) Image d’un point situé sur l’axe optique par réfraction sur un dioptre sphérique Soit le dioptre sphérique séparant les milieux d’indice n1 et n2, représenté sur la figure n°1. On regarde un rayon particulier issus du point A, situé sur l’axe optique du dioptre sphérique. Ce rayon arrive sur le miroir au point I en faisant un angle i1 par rapport à la normale (droite (N)). Ce rayon est réfracté en suivant la loi de Snell-Descartes sur la réfraction et va donner une image A’ sur l’axe optique, prolongement du rayon situé dans le milieu d’indice n1.

Figure n°1. Image d’un objet par réfraction à travers 1 dioptre sphérique.

Toute la suite de la démonstration est basée (encore une fois) sur cette formule de géométrie valable dans un triangle quelconque (qu’on appelle parfois « Pythagore généralisé », et qu’on suppose connue) :

a sin

b sin

c sin

Utilisons cette relation dans la figure 1 : -

Dans le triangle IA’C, on a la relation

-

Dans le triangle IAC, on a la relation

IA ' sin IA sin

Avec

sin

CA ' sin i 2 CA sin i1

sin

On peut en déduire une première relation intermédiaire :

CA IAsin i1

CA' IA'sin i 2

Hors la relation de Snell-Descartes sur la réfraction s’écrit :

n1 sini1 n 2 sini 2

D’où, en l’injectant dans l’équation encadrée (et en mettant les valeurs algébriques) :

n1

CA IA

n2

CA' IA'

2) Image d’un point situé sur l’axe optique dans les conditions de Gauss

Dans les conditions de Gauss les rayons sont peu inclinés par rapport à l’axe optique du dioptre. Ainsi les points I et S sont en réalités très voisins. Donc dans le cadre de cette approximation, on peut effectuer le changement suivant :

IA SA IA ' SA ' Donc la relation de conjugaison du miroir sphérique dans l’approximation de Gauss se met sous la forme :

n1

CA SA

n2

CA' SA' CA CS SA

Qui peut se mettre sous plusieurs formes plus usuelles, en notant que Et en l’injectant dans l’équation du dessus.

CA ' CS SA '

On donne ici la relation de conjugaison du miroir sphérique dans l’approximation de Gauss avec origine au sommet :

n2 n1 SA ' SA

n 2 n1 SC