Démonstration de la formule de conjugaison pour les miroirs

Démonstration de la formule de conjugaison pour les miroirs sphériques 1) Image d’un point situé sur l’axe optique par réflexion sur un miroir sphérique Soit le miroir sphérique représenté sur la figure n°1. On regarde un rayon particulier issus du point A, situé sur l’axe optique du miroir sphérique. Ce rayon arrive sur le miroir au point I en faisant un angle i1 par rapport à la normale (droite (N)) à la droite tangente au miroir (droite (D)) au point I. Ce rayon est réfléchi en suivant la loi de Snell-Descartes sur la réflexion et va donner une image A’ sur l’axe optique. Pour les besoins de la démonstration on a besoin de définir le point T, intersection de la droite (D) et de l’axe optique du miroir ainsi que les différents angles représentés sur la figure.

Figure n°1. Image d’un objet par réflexion sur un miroir sphérique.

Toute la suite de la démonstration est basée sur cette formule de géométrie valable dans un triangle quelconque (qu’on appelle parfois « Pythagore généralisé », et qu’on suppose connue) :

a sin

b sin

c sin

Avec les angles et les distances définies sur la figure 2.

Figure 2. Triangle quelconque. Utilisons cette relation dans la figure : -

IA ' sin IA Dans le triangle IAC, on a la relation sin Dans le triangle IA’C, on a la relation

CA ' sin i1 CA sin i1

IA ' sin

CA ' sin i1

IA ' CA '

CA sin i1

IA CA

sin sin i1

On peut en déduire une première relation intermédiaire : et

IA sin

sin sin i1

IA ' CA '

IA CA

TA ' IA '

TA IA

Changeons de triangles rectangles.

-

TA '

Dans le triangle TA’I, on a la relation

sin -

IA ' i1

2

sin

TA

Dans le triangle TAI, on a la relation

sin

IA i1

2

sin

On se rappellera de deux formules trigo (voir cours lycée) : sin

TA ' cosi1 D’où on peut en déduire que :

et TA cosi1

IA ' sin

i1

2

IA sin

2

i1

2

i1 2 TA ' IA '

TA IA

i1

En utilisant les deux relations encadrées, on arrive donc à :

i1

2

TA ' TA

Qui, après un peu de mathématique, se met sous la forme :

sin

sin

2

i1

2

i1

CA ' CA

CA' CA

TA TC CA ' TC CA

cosi1

cosi1

Qui, si on introduit les valeurs algébriques donne la relation : TA'

Introduisons le point C dans cette relation :

cosi1

CA ' CA 1 CA '

1 CA

2 CT

(c’est la relation de conjugaison du miroir sphérique) Il est évident que si on regarde un autre rayon partant de A et touchant le miroir en un autre point, que le point T change de place, et que donc par conséquent A’ va changer lui aussi de place. Donc on a montré que pour un objet ponctuel, différents rayons partant de A et réfléchis par le miroir ne vont pas donner la même image. Ceci n’est plus vrai si l’on se place dans certaines conditions, comme on va le voir ci-dessous.

2) Image d’un point situé sur l’axe optique dans les conditions de Gauss

On voit que dans le triangle rectangle CTI, on a la relation : CI

CTcos

Or CI est le rayon de courbure du miroir sphérique. CS l’est aussi. Donc CI=CS. On peut donc dire que CT

CS cos

Or les conditions de Gauss imposent de choisir des rayons peu inclinés par rapport à l’axe optique. Ainsi l’angle doit être faible si l’on se place dans ces conditions. Or lorsque

est faible, cos

≈ 1, donc CT

CS

Donc la relation de conjugaison du miroir sphérique dans l’approximation de Gauss se met sous la forme :

1 CA '

1 CA

2 CS

Et l’on voit bien que, dans ces conditions, lorsque je fixe ma distance CA (object ponctuel), alors comme CS est une constante, alors CA’ sera lui aussi fixe. Je forme donc dans ces conditions une image, et une seule, peu importe le rayon choisi. On dit que l’on est dans les conditions de stigmatisme approché.