Den didaktiska triaden Vad är matematik i skolan? Visa före – Göra

Den didaktiska triaden Matematikbienetten 2009 - Malmö

Hur lär vi oss matematik?

Ingemar Holgersson Högskolan Kristianstad

• Innehållet tas ofta för givet • Innehållet

– Färdigheter, förståelse, kompetens?

• Uppnåendemål – betonar färdigheter • Strävansmål – betonar kompetenser

Elever

• Lärandet – Färdigheter – Förståelse – Kompetens

Vad ska vi lära oss i matematik? Kursplanen • Vad är det vi ska lära oss?

Lärare

– Vad – Aktiviteter – Hur

Matematik

Vad är matematik i skolan? • Visa före – göra efter • Stort fokus på färdigheter – Procedurer och tekniker – Rutinuppgifter

– Undervisningen ska ”utveckla förtroende till egen förmåga” – Att utveckla elevernas matematiska tänkande – Utveckla förmåga att kommunicera matematik

Visa före – Göra efter • Typexempel ger introduktion av standardmetod – så här gör man. • Därefter prova själv på liknande uppgifter • Så något svårare, ev blandade uppgifter • Problemlösning används som tillämpning av inlärda tekniker eller formler • Övning ger färdighet – likadana uppgifter för mästring • Om en elev har svårt att klara en färdighet, dela upp den i mindre bitar och öva dem var för sig.

Exempel på rutinuppgifter • Vinkelsumman i en triangel är 180°. • Hur stor är vinkel C? A

• Emma tjänar 80 kr i timmen. Vad tjänar hon sammanlagt om hon arbetar i 5 timmar?

67 ° 38 °

B

C

1

Implicit lärande (Lambert, 1990) • Arbeta med Ma innebär – Följa de regler läraren eller boken visar

• Kunna Ma innebär – Komma ihåg och kunna använda rätt regel – Rätt/fel avgörs av auktoritet, läraren eller facit – Hjälpmedel viktiga – formelsamling

Problem med traditionen • Fokus nästan enbart färdigheter • Ca 15 % ma-svårigheter • Bristande lust – obegripligt ---- brist på utmaning

• Ma lär man sig genom att – Lyssna noga och öva flitigt

• Ma inget för mig –- Ma är lätt, behöver inte jobba

Hur gör matematiker? • Ny matematik formuleras ständigt • Problem i centrum • Formulerar själv, undersöker, ser vad som händer • Upptäckter – induktiv karaktär (Polya) • Redovisning – deduktiv, stora krav på entydighet • Öppenhet kvarstår i förhållande till premisser (Lakatos)

Vad utmärker kunnande i aritmetik? (Ann Dowker, England) • Bygger på studier inom såväl utvecklings-, kognitionsoch neuropsykologi samt pedagogisk psykologi • Det finns inte en aritmetisk förmåga – aritmetik är beroende av många olika sorters processer • Dessa kan grupperas i t ex – Procedurala (ex olika former av beräkningsprocedurer) – Minnesberoende ( ex tabeller, terminologi) – Begreppsliga (ex samband mellan olika sorters problem, principer, estimering)

• Individer kan ha väldigt olika profiler i förhållande till dessa förmågor • Prestationer påverkas av både sociala förhållanden, kultur och undervisning • Emotionella faktorer påverkar också i hög grad prestationerna

1-1-korrespondens, Mix (2002) • Social kontext spelar stor roll för vad som händer • Traditionellt – För att lära komplex kompetens behöver vi öva en del i taget, för att sedan sätta samman dem

• Denna undersökning – Först full kompetens i mycket begränsad kontext. Därefter kan den erövras i andra situationer

• Dela ut är en mer dynamisk aktivitet än traditionell parbildning

Forskning om addition och subtraktion (Camilla Gilmore, England) • Individuella skillnader – 5-9 år: stor variation i förståelse trots liknande resultat på färdighetstest (Dowker, 1998) – 6-8 år: ≈ 15 % stor skillnad förståelse – färdighet (Canobi, 2004) – 8 år: Tre grupper mönster på • Inversionsuppgift … + 12 – 12 = 18 och • Kontrolluppgift … + 12 – 8 = 22 • En grupp mycket sämre på kontrolluppgifterna (Gilmore & Bryant, 2006)

2

Meta-analys av inversionsuppgifter (Gilmore, 2006) • •

• •

Förståelse add och sub, Canobi (2005) • Förståelse av add och sub 7-9-åringar • Hälften av uppgifterna med konkret stöd

Camilla Gilmore PROFILES OF UNDERSTANDIN G AND PROFILES OF DEVELOPMENT IN EARLY ARITHMETIC In Hewitt, D. (2006) Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics 26(3) November 2006

– Kommutation • 39 + 45 visat efter – Subtraktivt komplement • 61 – 38 visat efter – Additiv invers • 23 + 38 visat efter – Subtraktiv invers • 84 – 45 visat efter

Förståelse add och sub, Canobi (2005)

45 + 39 = 84 61 – 23 = 38 61 – 23 = 38 45 + 39 = 84

Förståelse add och sub, Canobi (2005) • Experiment 1 (7-9 år)

Gruppering

7-åringar

8-åringar

9-åringar

Begrepp

3

10

7

Tal

1

1

2

Konkret

2

2

3

Kommutativ

15

11

11

Svaga begrepp

3

0

1

Antal

24

24

24

– – – –

Skillnader i hur man uppfattar relationen mellan del och helhet Skillnader i hur barn svarar på konkret stöd Inte alla har lika lätt uttrycka språkligt det man förstår i handling Att förstå principer som kopplar add och sub är ett viktigt steg i utvecklingen

• Experiment 2 (5-7 år) – I båda experimenten, en stark och en svag grupp – De som använder inversion löser problemen snabbare och kan fler kombinationer – Barn tar olika vägar mot förståelse – Konkret materiel hjälpte barn förklara begrepp, men inte att se dem – Mödosamma procedurer för beräkningar kan skymma mönster

Dela ut ettor och tvåor, Bryant & Nunes (2002)

Dela ut ettor och tvåor, Bryant & Nunes (2002)

• Ge ettor till A och tvåor till B, men se till att de får lika många.

• Ge ettor till A och tvåor till B, men se till att de får lika många.

3

Dela ut ettor och tvåor, Bryant & Nunes (2002) • Enfärgade klarar de flesta 5-åringar, men nästan ingen 4-åring • Tvåfärgade klarar nästan alla 4-åringarna • 4-åringarna klarar den enfärgade bättre efter att ha gjort den tvåfärgade • De förstår mycket om 1-1-korrespondens, men behöver hjälp med att få syn på strukturer

Strategier - empiri

Andragradsekvationer, Olteanu (2007) • Två klasser, B-kursen, Na-programmet – En systematiska framställning av variation – En mer lämnade åt lärobokens framställning

• Ex variation koefficienter i x2 + px + q = 0 – x2 + 5x - 6 = 0

• Bättre resultat på prov • Systematisk skillnad på typer av fel

Hur barn lär färdigheter – enligt ny forskning (Robert Siegler, USA)

• Stor variation av strategi även för liknande uppgifter • Det finns ingen bästa strategi • U-kurva? • Matematiker jämfört andra • Ju bättre uppskattare desto fler strategier • Slutsats: mångfald bör stimuleras

• Översikt över s k mikrogenetiska studier • Senaste ca 15 åren • Olika former av ”problemlösning” där vi naturligt utvecklar färdigheter, mest matematik och naturvetenskap, t ex

Hur barn lär färdigheter – enligt ny forskning (Robert Siegler, USA)

Hur barn lär färdigheter – enligt ny forskning (Robert Siegler, USA)

• Variation hos ett barn förekommer i alla typer och på alla nivåer av lärande – Tenderar vara störst i perioder av mycket lärande – Tenderar att vara cyklisk, ibland är lärandet mer intensivt ibland mindre – Är stor i alla åldrar från spädbarn till åldring – Kan förutsäga framgång i lärande

– – – – –

Ta sig ner från en ramp Avgöra vad som väger mest Konserveringsuppgifter Del-helhet Aritmetiska uppgifter

• Att förstå orsakssamband spelar en avgörande roll i lärande • Att förklara det man observerar ger ofta mer utbyte än vad feedback och övning ger • Lärande försiggår oftast utan trial and error – det drivs oftast av begreppslig förståelse

4

Hur färdigheter erövras • Utveckling av strategier behöver mångsidig och varierad erfarenhet • Sker via undersökningar • Upptäcka strategi, härma strategi • Konsolidera – Bli säkrare – Nya situationer

• Upptäcka samband – Erövra, minnas

Mathematical proficiency (Adding It Up, 2001) • Matematisk kompetens – Förmåga att resonera logiskt – Problemlösningskompetens – Begreppsförståelse

Hur vi lär oss matematik (Mason & Watson, England) • Kultivering av naturliga förmågor – Att se, upptäcka och föreställa sig olika mönster ex tal,figurer, … – Att kunna uttrycka dessa mönster i ord, bild, handling, symboler … – Att arbeta med specialfall för att se mer generella mönster – Att formulera hypoteser om generella samband eller ej – Att modifiera hypoteser för att försöka övertyga sig själv och andra

Vad skulle matematik i skolan kunna vara? • Utgå från barns grundläggande matematiska förmågor • Problemlösning – grundläggande aktivitet – Utgå från konkret situation – Lösningar spektrum konkret – abstrakt – Nya erfarenheter – fördjupning av begrepp

– Förtrogenhet – Goda färdigheter

Vad är bra frågor? – Peter Sullivan • De kräver mer än att komma ihåg fakta eller reproducera en färdighet • Elever kan lära genom att arbeta med frågan, och läraren lär mer om varje elev genom att se hur de arbetar med frågan • Det kan finnas fler än ett acceptabelt svar

Öppen uppgift • Starta i kontext som engagerar • Formulera ett problem med flera möjliga lösningar • Ger eleverna tillfälle utveckla systematik • Ger upphov till nya frågor och möjligheter att reflektera över mönster i de olika lösningarna

5

Exempel på undersökande uppgift • Vinkelsumman i en triangel är 180°. • Hur stor är vinkel C? A

67 ° 38 °

• Gör en triangel och mät dess vinklar. Kan du göra en triangel som har så stor vinkelsumma som möjligt?

Hitta olika föremål • Area = 72 dm2 och omkrets = 3,60 m

• Omkrets = 212 cm

• Längd = 80 cm och volym = 23 ml

B

C

Emma tjänar 80 kr i timmen. Vad tjänar hon sammanlagt om hon arbetar i 5 timmar? Emma tjänade 400 kr. Hur många timmar arbetade hon, och vad tjänade hon per timme?

• • • • • •

80 kr 100 kr 25 kr 12,50 6,25 ≈3,20

5 timmar 4 timmar 16 timmar 32 timmar 64 timmar 128 timmar

• • • • • • •

15 min 400*4=1600 7½ min 8=3200 3¾ min 16=6400 1 7/8 min 32=12800 0≈95/100 64=25600 0≈42½/100 128=51200 0≈21¼/100 256=102400

Hur vi lär oss matematik (Mason & Watson, England) • Det blir mer lärande (och självtillit) om elever får använda dessa förmågor, än när de ska göra precis likadant som läraren eller läroboken visat • Ju mer tillrättalagd en uppgift blir, desto mindre behållning för eleven • När elever har möjlighet att välja hur de ska göra, uppstår kreativitet och det matematiska tänkandet blir levande

Gömu-projektet (Gränsöverskridande matematikundervisning) • Svedala kommun 2006 – 2008 • Syfte: att stimulera lärare utveckla sin maundervisning • Tre grupper F, K och Ä • 27 deltagande lärare, 6 ”konsulter” – – – – – –

Ingemar Holgersson, HKr (projektledare) Annika Palmgren, Svedala Pesak Laksman, Mah Birgitta Lansheim, Malmö Jonas Månsson, LTH Ulla Öberg, f.d. Mah

6

Målsättning • Lärare ska få möjlighet arbeta med att utveckla sin matematikundervisning • Detta innebär att – stärka lärarnas förmåga att ta utgångspunkt i egen undervisning och erfarenhet – utveckla egen förmåga att ta fram och prova egna aktiviteter i undervisningen. – utveckla (m.hj.a. noteringar) vad man som lärare noterar eller lägger märke till i egen undervisning.

Hur? • Basaktivitet: – träff var tredje vecka i en grupp med liknande undervisningsvillkor – en förskolegrupp, F – en klasslärargrupp, K – en ämneslärargrupp, Ä

Förväntade vinster • Direkta – Kvalificerad handledning i arbetet mot mer användning av öppna frågeställningar – Mer kunskaper om hur modern forskning ser på vad matematik är och hur lärande i matematik går till – Ökad medvetenhet om vad som sker i klassrummet

• Indirekta – Läraren får mer kunskap om vad eleverna kan – Elever med större lust till matematiken – Bättre måluppfyllelse speciellt i förhållande till strävansmålen

Två spår i basaktiviteterna • Stimulans för att utveckla maundervisningen

• Noteringar för att – Utveckla medvetenhet som lärare – Grund för diskussioner

• Röd tråd – Träff två gånger per termin i stor grupp – Tillfälle dela erfarenheter från arbetet – Tillfälle bidra med exempel för att utveckla diskussion och tänkande om matematik och lärande.

Aktiviteter

Noteringarna • Utgångspunkt där man är osäker eller där man ser nya saker • Beskrivning istället för omdöme • Grund för diskussioner • Öppenhet viktig – Kräver mod och tolerans

• F-gruppen – Introduktion av forskningsrön – Provat nya teman • Rumsuppfattning • Storheter • Taluppfattning

kartor, trianglar av olika form längd, volym, vikt, pengar öppna situationer

• K-gruppen – Formulerat och provat egna öppna uppgifter (Openended)

• Ä-gruppen – Ex på olika former av öppna frågor och andra uppgifter som stimulerar ma-tänkande – Samarbetslärande

7

Promenaden, 3-5 år

Promenaden, 3-5 år

F-gruppen bygglek

F-gruppen - taluppfattning

K-gruppen multiplikationer

• Problemlösning kopplat till sagor • Kiosk till mellanmålet – Kapsyler som pengar – Frukterna kostar 1 eller 2 kapsyler – Får handla för 5 kapsyler

• Affär i F-klassen

8

K-gruppen funktionsmaskiner • Jag har fått en maskin i julklapp. Man stoppar in ett tal i ena sidan och maskinen omvandlar talet till ett nytt tal. • Hur fungerar maskinen? Exempel • Bygg egna maskiner. • Parvis. En matar in och ska gissa. Den andre agerar maskin. • ”det HÄR var kul”

Utvärderingen - OEQ • plötsligt försvann problemet med åldersblandat och integrerad särskola. Det blev aldrig genomgångar som bara passade en liten del av gruppen. …Det känns som att barnen söker kunskap nu istället för att förvänta sig att jag ska stoppa in det via genomgång. … ingen brådska, eftersom det inte finns något längst. (K 5) • Att det finns flera lösningar gör att även en ”slow starter” kan komma med idéer och det är inte lika lätt att sitta passiv som när det är endast ett svar. (K 2) • de ”svaga” eleverna … plötsligt en utveckling hos i stort sett alla dessa elever. De kommer ikapp de andra med stormsteg. (K 7) • Jag upptäckte ganska så snart att små barn gillar när vi ställer frågor till dem (F 2)

Utvärderingen – Egen utveckling • har blivit säkrare som mattelärare, den röda tråden har blivit tydligare och jag tror att eleverna har fått mycket roligare matematiklektioner. Det som mest har förändrats är innehållet i lektionerna (K 6) • Idag … lika säker i min yrkesroll på matematikutveckling som … vad gäller språkutveckling ... Det har också blivit en naturlig del i arbetet med barnen… (F 8) • mitt synsätt på ma-undervisningen har förändrats. Jag lyssnar mera på elevernas frågor och funderingar. Jag ställer själv andra frågor nu (K 4) • Jag lyssnar mycket mer på vad elever tänker, hur de tar sig an problemen. Mer tid läggs på att eleverna får utveckla sina tankar för såväl andra elever som för mig. (Ä 5) • Med tiden insåg jag att de aktiva lektionerna gav mig och eleverna mer än vad matteboken gjorde. (K 7) • att jag slutat titta på vad eleverna gjort … och har ändå en bättre bild av vad eleverna kan. (K 5) • Jag lever ständigt med mina ”matteglasögon” på mig numera (F 1)

• Använder mer konkretion – Laborativa material • Bråkplattor • Kapsyler, påskspelet

– Illustrationer • Ex huvudräkning 7,5 * 7,5 är inte 7*7 + 0,5*0,5

• Stannar längre vid varje uppgift • Bearbetar prov på nytt sätt – Elever rättar varandras prov – Jobbar igenom provet tillsammans istället för att läraren har genomgång

Utvärderingen - Verksamheten • Förskolepedagogerna beskriver olika situationer där lärande uppstått. Det handlar om lustfyllt och laborativt arbete i konkreta situationer och om att utmana barnens tankar. • En del av dokumentationerna har jag tagit med mig till avdelningsplaneringen, … tror bestämt att en smittspridning har påbörjats. (F 4) • Små korta anteckningar om varje elev utgör en bra utgångspunkt inför utvecklingssamtalen. Dessutom vet jag säkert vad varje elev förstår och kan (K 2) • Tidigare började jag alltid ett nytt område med en genomgång. Numera letar jag efter öppna uppgifter som utgår ifrån elevernas kunskaper och som leder in dem i det nya området. (K 2) • Det ständiga malandet av färdighetsträning har fått ge vika … . Mina elever jobbar mer praktiskt med matematik och framförallt mer problemlösande. (Ä 4) • Färdighetsträningen (som givetvis måste finnas kvar) får ge vika för andra typer av uppgifter exempelvis aktiviteter, kluringar och öppna uppgifter. (Ä 5)

Sammanfattning • Lärande i matematik bygger inte på enskilda färdigheter som sätts ihop till komplex kompetens • Kompetens utvecklas i komplexa situationer, först i begränsad kontext – Begränsning kan vara antal, tydlig struktur etc – Trådarna utvecklas genom flätning

• Stor individuell variation • Utveckling av matematiskt tänkande är ingen självklarhet – Läraren och verksamheten är viktig – Fokus på struktur hjälper barn utveckla sitt tänkande – Lärande av begreppslig förståelse tar tid – ingen pollett som trillar ner

9