devoir de mathematiques

DEVOIR DE MATHEMATIQUES

EXERCICE 1 Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. Partie A On dispose d’un dé cubique A parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges. Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur obtenue. 1) Calculer la probabilité pour qu’à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues soient noires. Appelons N1 et N2 les évènements qui consistent à tirer une boule noire lors du 1er et du 2ème lancer. La probabilité demandée est P(N1
N2). Comme les lancers sont indépendants on sait que P(N1
N2) = P(N1) × P(N2). Le dé ayant 2 faces noires sur 6, on a 2 1 1 1 1 P(N1)=P(N2) = = et P(N1
N2) = × = . 6 3 3 3 9 2) Soit l’événement C : « à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur ». 7 Démontrer que la probabilité de l’événement C est égale à . 18 Les deux faces sont de même couleur si elles sont toutes deux noires ou rouges ou vertes, ces 3 éventualités étant distinctes. En reprenant les notations et le raisonnement de la question 1 on a P(C) = P(N1
N2) + P(V1
V2) +P(R1
R2), donc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 P(C) = ×  ×  × =   = . 3 3 2 2 6 6 9 4 36 18 3) Calculer la probabilité pour qu’à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes. L'évènement « les deux faces sont de couleurs différentes » est le contraire de « les deux boules sont de même couleur », la probabilité demandée est donc : 7 11 P( C ) = 1 - P(C) = 1 = . 18 18 4) A l’issue d’un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, quelle est la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes ? P V1
V 2
C Il faut calculer P C  V1
V 2  = . Or V1
V2
C = V1
V2 , donc P C 1 1 1 P( V1
V2
C) = P(V1
V2) = × = . On en déduit que : 6 6 36 1 36 1 P C  V1
V 2 = = . 7 14 18 Partie B On dispose d’un second dé cubique B équilibré, présentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé B ; - Si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé B et on note la couleur de la face obtenue ; KB 1 sur 5

- Si la face obtenue est noire, on lance le dé A et on note la couleur de la face obtenue . 1) a) Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation. b) Quelle est la probabilité d’obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l’on a obtenu une face verte au premier lancer ? a) V2 2/3 V1 1/3

2/3

N2 V2 1/6

1/3 N1

1/3 1/2

N2 R2

b) Si on obtient une face verte au premier lancer on relance le dé B, la probabilité d'obtenir 2 une nouvelle fois une face verte est donc . 3 4 2) Démontrer que la probabilité d’obtenir deux faces vertes est égale à . 9 La probabilité d'obtenir deux faces vertes est P(V1
V2) = P(V1) × PV1(V2), soit 2 2 4 P(V1
V2) = × = . 3 3 9 3) Quelle est la probabilité d’obtenir une face verte au deuxième lancer ? L'évènement « obtenir une face verte au deuxième lancer » est l'évènement V2. D'après la formule des probabilités totales appliquée à V2 avec la partition (V1, N1), on a 2 2 1 1 4 1 9 1 P(V2) = P(V1) × PV1(V2) + P(N1) × PN1(V2) = ×  × =  = = . 3 3 3 6 9 18 18 2

EXERCICE 2 1) On considère la fonction h définie sur  par h(x) = xex . e x 1 a) Calculer h'(x), puis montrer que h'(x) = . ex La dérivée de e x est e x ×1=ex . On a donc h'(x) = 1ex . 1 1 e x 1 x e = Comme , h'(x) = 1 x = x . ex e e b) Etudier le signe de h'(x) et en déduire les variations de h. Comme ex est positif, h'(x) a le même signe que ex – 1. Or ex – 1 s'annule pour x = 0 (en effet e0 = 1) et la fonction ex est croissante. On en déduit le tableau suivant : KB 2 sur 5

x

0

-

+

ex-1

–

0

+

h'(x)

–

0

+

h(x) 1

2) La loi de Gumbel est une loi de probabilité qui permet de modéliser des valeurs extrêmes de phénomènes naturels comme les crus. Pour la définir on utilise la fonction f définie sur  par f  x =eh  x . Calculer f '(x) et étudier le sens de variation de f. f  x =eh  x donc f est du type eu avec u(x) = - h(x). Comme (eu)' = eu × u', on a h x h  x . f '  x =e ×h'  x=h '  x e Une exponentielle étant toujours positive, f '(x) a le même signe que – h'(x), c'est à dire l'opposé du signe de h'(x) trouvé dans la question précédente. On a donc le tableau de variation suivant :

x

0

-

+

h'(x)

–

0

+

f '(x)

+

0

–

e-1 f(x)

EXERCICE 3 Partie A Soit f la fonction définie sur  par f (x) = e x . On appelle Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal O , i , j  . 1) a) Déterminer l’équation de la tangente T2 à Cf au point M2 d’abscisse 2. b) Démontrer que la tangente T2 coupe l’axe (Ox) au point P2 d’abscisse 1. Tracer T2 sur le graphique n°1 a) L'équation de la tangente en un réel a est : y = f '(a)(x – a) + f(a). Ici a = 2 et f(x)= e x , donc f '(x)= e x . L'équation de T2 est y = e2(x – 2) + e2. b) Comme P2 est sur l'axe (Ox), son ordonnée est égale à 0. Comme P2 est sur T2 son abscisse est solution de 0 = e2(x – 2) + e2. Ce qui donne x = 1. On a donc P2(1, 0). 2) Soit N2 le projeté orthogonal de M2 sur (Ox), démontrer que  N 2 P 2=i . N2 étant le projeté orthogonal de M2 sur (Ox), ses coordonnées sont (2, 0). On en déduit que KB 3 sur 5

les coordonnées de  N 2 P 2 sont xP2 – xN2 = 1 – 2 = -1 et yP2 – yN2 = 1 – 2 = -1, ce qui montre   que N 2 P 2=i . 3) Soit M (a ; e a ) un point quelconque de Cf . a) Démontrer que la tangente Ta à Cf au point M coupe l’axe (Ox) au point P d’abscisse a – 1 . b) Soit N le projeté orthogonal de M sur (Ox), démontrer que  NP=i a a a) L'équation de Ta est y = e (x – a) + e . Comme P est sur l'axe des abscisses, yP = 0. Comme P est sur Ta, xP est solution de 0 = ea(x – a) + ea, donc xP = a – 1. b) Comme N le projeté orthogonal de M sur (Ox), N a pour coordonnées (a, 0). Les coordonnées de  NP sont xP – xN = a – 1 – a = -1 et yP – yN = 0 – 0 = 0, ce qui montre que   NP=i . Graphique n°1 (partie A)

Graphique n°2 (partie B) 8

M2

6

M 4

2

o -4

o

N

P

4

Partie B Soit g une fonction dérivable sur  telle que g' (x) ≠ 0 pour tout x de  . Soit Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormal O , i , j . Pour a un nombre réel, on considère : - M le point de Cg d’abscisse a. (on rappelle que M(a ; g(a)) - N le projeté orthogonal de M sur (Ox) - P le point d’intersection de la tangente Ta en M à Cg et de l’axe des abscisses Le graphique n°2 ci-dessus illustre la situation de cette partie B. 1) a) Déterminer l’équation de la tangente Ta . g  a ;0 . b) Démontrer que P a pour coordonnées a g ' a a) L'équation de Ta est y = g'(a)(x – a) + g(a). b) P est sur l'axe (Ox) donc yP = 0.





P est sur Ta donc xP est solution de 0 = g'(a)(x – a) + g(a), ce qui donne x P=a 2) a) Déterminer les solutions de l’équation différentielle :

g a  . g '  a

'= y { yy 0=2

b) Existe-t-il une fonction g vérifiant g(0) = 2 et  NP=i ? a) Les solutions de l'équation différentielle y' = y sont les fonctions f de la forme f(x) = Ce-x. Comme y(0) = 2, on a f(0) = 2, donc Ce0 = 2 et C = 2. Le système proposé n'a donc qu'une KB 4 sur 5

seule solution qui est la fonction f(x) = 2e-x.





g  a ; 0 et N a pour coordonnées (a ; 0), les g ' a g a g a ; 0 . Pour que  =1 , coordonnées de  NP sont NP=i , il faut et il suffit que g ' a  g '  a y '= y soit g'(a) = –g(a). Comme g(0) = 2, cela montre que g doit être solution de et donc y 0=2 que g(x) = 2e-x. b) Comme P a pour coordonnées a





{

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