Devoir maison n° 7 Devoir maison n° 7 - corrigé

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Devoir maison n° 7 - corrigé Entraînement à l’épreuve pratique Simulation d’une expérience aléatoire, lois de probabilités Enoncé On dispose d’une roue divisée en trois secteurs identiques numérotés 1, 2 et 3. On suppose qu’après rotation, la roue s’arrête sur l’un des trois secteurs de façon équiprobable. On fait tourner successivement trois fois de suite la roue dans le sens trigonométrique en supposant que chaque résultat est indépendant des deux autres. S désigne la variable aléatoire définie par la somme des trois numéros obtenus. La variable aléatoire D est le numéro obtenu lors de la seconde rotation. 1. Sur un tableur réaliser une simulation de taille 100 de cette expérience. 2. Déterminer pour cette simulation les répartitions des fréquences de la variable aléatoire S. (voir le fichier DM7_épreuve pratique_proba_essai 100.xls) 3. En utilisant les résultats connus sur la répétition d’expériences indépendantes, déterminer les lois de probabilités des variables aléatoires S et D : On peut modéliser cette expérience aléatoire comme la succession de trois expériences aléatoires identiques et indépendantes où l’on notera An (n☻{1;2;3}) l’événement obtenir le chiffre n pour chacune de ces trois expériences. De plus, la roue étant divisé en trois secteurs identiques ┐n☻{1;2;3}, p ( An ) = 1 3 lancé n°1

lancé n°2 A1

A1

A2

A3

A1

A2

A2

A3

A1

A3

A2

A3

lancé n°3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3

issues possibles (A1; A1; A1)

valeurs de S 3 4 5 4 5 6 5 6 7 4 5 6 5 6 7 6 7 8 5 6 7 6 7 8 7 8 9

1

Cette expérience étant la succession de trois expériences identiques et indépendantes, la probabilité pour 3 chaque événement élémentaire est  1  . (ex : p ((A1;A2;A3))= 1 ) 3 3 • Loi de probabilité de la variable aléatoire S : Les valeurs de cette variable aléatoire sont 3;4;5;6;7;8 et 9. Les événements élémentaires étant incompatibles, on a par exemple p(S=4)=p ((A1;A1;A2)∟(A1;A2;A1)∟(A2;A1;A1)) 3 3 1 =p ((A1;A1;A2))+p ((A1;A2;A1))+p ((A2;A1;A1))=3× 1  = =  3  27 9 D’où le tableau ci-dessous : 3 1 27

valeurs si de S p ( S = si )

•

4 1 9

5 2 9

6 7 27

7 2 9

8 1 9

9 1 27

Loi de probabilité de la variable aléatoire D :

valeurs di de D

1 1 3

p ( D = di )

2 1 3

3 1 3

4. La simulation de 2. est-elle cohérente avec les valeurs théoriques obtenues au 3.? Les fréquences correspondent plus ou moins aux valeurs théoriques trouvées à la question 3. Cela est plus significatifs si l’on réalise une simulation de taille 1000. (voir le fichier DM7_épreuve pratique_proba_essai 1000.xls) 5. Les évènements "S=3" et "D=1" sont-ils indépendants? Les événements "S=3" et "D=1" sont indépendants ssi p(S=3 et D=1)=p(S=3)×p(D=1). 3 1 1 1 1 et p(S=3 et D=1) =p ((A1;A1;A1))= 1  = p(S=3)×p(D=1).= × = 27 3 81  3  27 Ainsi p(S=3 et D=1)ý p(S=3)×p(D=1). Donc les événements "S=3" et "D=1" ne sont pas indépendants

Production demandée -

Pour les questions 3 et 5, les réponses sont à justifier. Pour la question 4, une rapide explication de la cohérence est demandée.

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