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Prof. Dr. Holger Weigand Prof. Dr. Heiko Knospe

15.3.2012

Modulpru ¨ fung Mathematik 1 Aufgabe 1 (a) Die Teilmengen A = [0, 2[ , B = {0, 1, 2, 3} und C = {0, 1, 35 } von R seien gegeben. Wieviele Elemente besitzt die Menge (A ∩ B) × (A ∩ C) ? Elemente.
(b) cos x − π2 = ? (Eine Antwort ankreuzen)

− sin(x)

cos(x)

− cos(x)

1 − sin(x)

sin(x)

x . 1−x Bestimmen Sie die Grenzwerte: (Jeweils eine Antwort ankreuzen)

(c) Gegeben sei die folgende Funktionsgleichung: f (x) =

• lim f (x) = x→∞

−∞

∞

−2

−1

0

unbestimmt divergent

1

−∞

∞

−2

−1

0

unbestimmt divergent

1

• lim f (x) = x→1

−∞

∞

−2

−1

0

unbestimmt divergent

1

• lim f (x) = x→0

−∞

∞

−2

−1

0

unbestimmt divergent

1

• lim f (x) = x→−∞

(d) Die Ebenen E1 : 2x − y + z = 1 und E2 : −2x + y − z = 0 im R3 seien gegeben. Die Schnittmenge von E1 und E2 ist: (Eine Antwort ankreuzen)

leer

ein Punkt

zwei Punkte

eine Gerade

eine Ebene

1

Aufgabe 2 Gegeben sei eine Funktion f von R nach R mit der Funktionsgleichung 2 f (x) = e−x sin(x) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Ableitung von f .

Aufgabe 3 Gegeben sei eine Funktion f von R nach R mit Gleichung und Graph: f (x) = x3 − 3x

(a) Berechnen Sie die beiden lokalen Extrema der Funktion. Es wird der gesamte Rechenweg mit den zugeh¨origen Zwischenschritten verlangt. F¨ ur jeden der beiden Punkte sind x- und y-Koordinate zu berechnen. Hinweis: Das eingezeichnete Gitter ber¨ uhrt den Graphen genau an den Stellen der halben Gitterweite. (b) Bestimmen Sie die Tangente im Punkt (0, 0) durch Berechnung der Tangentengleichung. (c) Durch Betrachtung des Graphen der Funktion sieht man, dass keine globale Umkehrfunktion f –1 existieren kann. Geben Sie ein Intervall I = [a, b] an, mit a < b, sodass die Einschr¨ankung von f auf I eine Umkehrfunktion besitzt. Das muss nicht ein maximal m¨ogliches Intervall sein. Mit Hilfe Ihres Ergebnisses vom Teil (a) und dem Graphen k¨onnen Sie geeignete Zahlen a und b direkt angeben.     1 3 Aufgabe 4 Seien u = −2 und v = 0 Vektoren im R3 . 1 1 Bestimmen Sie zwei verschiedene zu u und v orthogonale Vektoren w1 , w2 (ungleich dem Nullvektor). Aufgabe 5 Bestimmen Sie die systems A · x = b u ¨ber R mit  −2 −2 1 4 2 1 A= 8 6 −1 0 0 0

L¨osungsmenge des linearen Gleichungs 0 −1  −1 0

  0 10  b= 10 0

Verwenden Sie ein systematisches L¨osungsverfahren und dokumentieren Sie die Rechenschritte. 2