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Calcul numérique Entiers et décimaux relatifs Nombres rationnels (fractions) Opérations sur les rationnels

Les nombres décimaux relatifs Définition : Un nombre décimal relatif est un nombre dont l'écriture est composée ● d'un signe (non obligatoire s'il s'agit d'un +) ● suivi d'un nombre décimal formé d'une partie entière et d'un nombre limité de décimales. Les entiers relatifs sont des nombres décimaux dont la partie décimale est nulle. Un nombre dépourvu de signe est un nombre positif. 21,58, +3,0001, -12,487, 100 , -4 sont des nombres décimaux relatifs.

Distance à zéro d'un nombre décimal relatif. Le nombre qui suit le signe est appelé "distance au zéro" du nombre décimal. On note |a| la distance au zéro du nombre a. Si a = - 2,3 le signe de a est – et sa distance au zéro est | - 2,3| = 2,3. Les distances à zéro de quelques nombres décimaux relatifs : |21,58| = 21,58, |+3,0001|=3,0001 , |-12,487|=12,487 , |100|=100 , |-4| = 4.

Sur la droite des réels: On a pris l'habitude de représenter tous les nombres sur la droite des réels. Plus les nombres décimaux ont de décimales, plus la droite des réels doit être finement graduée pour les situer avec précision. Ici la droite des réels est graduée au dixième. Donc seul le nombre -2,4 correspond exactement à une graduation. Les autres nombres sont vaguement situés entre 2 graduations. Si, par convention, l'unité de mesure est la distance entre 0 et 1, la distance au zéro des nombres correspond tout à fait à la mesure physique de leur éloignement au zéro.

Ordre des nombres décimaux. Plus l'image d'un nombre est située à gauche sur la droite des réels, plus ce nombre est petit. Les nombres que nous avons situés sur la droite des réels, sont, du plus petit au plus grand: - 5,09 < -2,4 < +1,52 < 4,728. On remarque que plus la distance à 0 d'un nombre négatif est grande, plus ce nombre est petit. Pour les nombres positif c'est le contraire, plus leur distance à 0 est grande, plus ils sont grands.

Opérations sur les nombres décimaux On peut ajouter, soustraire, multiplier, diviser deux nombres décimaux. Dans une opération ces deux nombres sont appelés "opérandes" et le signe de l'opération est appelé "opérateur"

Dans chaque cas, le mode opératoire (qui décrit la façon de calculer le résultat de l'opération) donne deux règles qui permettent de calculer, (en fonction du signe et des distances à zéro des opérandes): ● la distance à 0 du résultat ● Le signe du résultat

Addition et soustraction de nombres décimaux relatifs Ecriture d'une addition ou d'une soustraction Dans un premier temps, pour ne pas confondre les opérateurs + ou – de l'opération et le signe + ou – des nombres (ou opérandes) on met les nombres entre parenthèses (sauf, peut être le premier).

Addition (+5) + (-3)

ou

Soustraction (- 5) – (-3) ou

5 + (-3) – 5 – (-3)

Règle d'addition de 2 nombres décimaux relatifs Addition de deux nombres décimaux relatifs. Appelons A le résultat de l'addition.  Calcul de la distance à zéro |A| du résultat de l'addition ● si les 2 nombres sont de même signe on ajoute leur distance à 0 ● si les 2 nombres sont de signes différents on soustrait leur distance à 0  Détermination du signe de A résultat de l'addition C'est le signe du nombre qui a la plus grande distance à 0 .

Opposé d'un nombre décimal relatif a. On le note – a. C'est le nombre a' tel que a +a' = 0 L'opposé de -3,5 est + 3,5. Donc – (-3,5) = +3,5 L'opposé de + 2,8 est – 2,8 Donc – (+ 2,8) = - 2,8  L'opposé d'une addition est l'addition des opposés opposé de [3 +(-4) +(-5)+(+7)] = -3 + (+4) + (+5)+(-7)

Soustraction de deux nombres décimaux relatifs a – b Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Donc (-5) – (+3) = (- 5) + (-3) 7 – (- 4) = 7 + (+4) L'opérateur – devient +. Le nombre suivant l'opérateur – change de signe.

Somme de plusieurs nombres décimaux relatifs Une somme est une suite d'additions et de soustractions. Dans une somme toute soustraction peut être transformée en addition. +3 + (- 4) – (+7) – (-2) = +3 + (-4) + (-7) + (+2) - 2 – [(+2) + (-3)] = - 2 + [(-2) + (+3)]

A = (-2,5)+(+3,4) signes différents donc |A| = 3,4 – 2,5 = 0,9. Le signe de A est celui de 3,4 donc + En résumé A = + 0,9

A = (-8,3) + (-5,4) Mêmes signes donc |A| = 8,3 + 5,4 = 13,7 Le signe de A est celui de -8,3 donc – En résumé A = - 13,7 Le moins au début d'une expression se lit "opposé de" - (+2,1) = - 2,1 - (-5,6) + (+1,9) = 5,6 + (+1,9) - [ -2 + (+3) + (-4)] = +2 + (-3) + (+4) (5,4) – (-3,1) = (5,4) + (+3,1) = +8,5 (-7,01) – (+2,3) = (-7,01) + (-2,3) = - 9,31 (-2,7) - ( - 4,8) = (-2,7) + (+4,8) =+ 2,1

+5 – [(-2) – ((-4)] = +5 – [(-2) + (+4)] = +5 + [(+2) + (-4)] On commence par transformer les soustractions en additions dans les parenthèses, puis on s'occupe des soustractions de parenthèses.

Ecriture simplifiée d'une somme Ecriture simplifiée d'une addition de nombres relatifs. Par convention, une suite de nombres relatifs ne comportant aucune parenthèse est une suite d'additions de ces relatifs dont on a supprimé les opérateurs + ne conservant que le signe des nombres.

+2 – 3 + 5 – 7 (écriture simplifiée) équivaut à +2 + ( - 3) + (+5) + (-7)

Ecriture simplifiée d'une somme de nombres relatifs. Toute soustraction pouvant être transformée en addition, toute somme peut être transformée en une suite d'additions puis bénéficier d'une écriture simplifiée.

+2 +(+4) – (-5) +(-3) = +2 +(+4) +(+5) +(-3) = +2 +4 +5 - 3

inversement -3 +(-7) +( -5) + (+4) équivaut à – 3 – 7 – 5 +4 (écriture simplifiée)

Parenthèses de nombres. On appelle "parenthèses de nombres" les parenthèses qui contiennent un nombre unique et qui permettent de distinguer le signe de l'opération (ou opérateur) du signe du nombre.

Règle pour supprimer l'opérateur et les parenthèses de nombres, ce qui débouche sur l'écriture simplifiée. Si a est la distance à zéro d'un nombre relatif On remplace +(+ a ) par + a +(- a) par – a - (+a) par – a - (- a) par +a La règle des signes est la même que pour le produit ou le quotient. (+ si même signes, - si signes différents)

+3 –(+4) + (+5) – (-7) + (-2) = 3 –4 +5 +7 –2 + 4 – (-2 +(-3) )+ (4) = + 4 – (-2 – 3 ) +4 On peut ainsi trouver facilement l'écriture simplifiée d'une somme.

Ancienne écriture 3 + (-4) + [2,1 – (+5)] – [(-4) + (+5)] – (+4) Ecriture simplifiée 3 –4 + (2,1 –5) – (-4 +5) -4 Les opérandes d'une somme s'appellent des termes. En écriture simplifiée, les opérateurs, qui devraient être des + sont absents.

Technique de calcul des sommes de nombres relatifs En principe, quand on met une opération ente parenthèses, cela signifie qu'on doit commencer les calculs par elle et remplacer le contenu des parenthèses par le résultat trouvé. Mais on verra plus loin que lorsque les parenthèses contiennent une somme, on peut procéder autrement. Propriétés de l'addition des nombres relatifs Dans une addition de 3 nombres ou plus, on peut commencer par additionner n'importe quelle paire de nombres, le résultat reste le même. Dans une addition de 2 nombres, on peut inverser l'ordre des opérandes, le résultat reste le même. Parenthèses de sommes ou d'opposition. Ce sont les parenthèses contenant des opérations associant

4 – 5 – (8 -11) = 4 – 5 – ( - 3) = 4–5 +3=2

2 – 3 +5 = 4 2 + (-3 +5) = 2 + 2 = 4 (2 – 3) + 5 = -1 + 5 = 4 5 – 7 = -7 + 5 = - 2 - 8 + 11 = 11 – 8 = 3

plusieurs nombres, précédées et suivies par un opérateur + ou – sauf en fin d'expression. Le contenu de la parenthèse constitue en fait le terme d'une somme. .

Règle pour supprimer l'opérateur et les parenthèses de somme ou d'opposition Quand les parenthèses contiennent une somme: 3 + (5 – 2 ) + ( - 4 – 7) = ● Si les parenthèses sont précédées d'un + 3 +5 – 2 –4 –7 On supprime l'opérateur +, on supprime les parenthèses et on écrit les nombres contenus dans les parenthèses avec leur signe. ● Si les parenthèses sont précédées d'un – On supprime l'opérateur - , on supprime les parenthèses et on - (4 – 7) – ( 2 – 5) – ( - 4 + 3) = remplace tous les nombres contenus dans les parenthèses par -4+7 -2+5 +4 – 3 leur opposé avec leur nouveau signe.

Comment procéder pour calculer une somme de nombres relatifs? ● On cherche l'écriture simplifiée de la somme en supprimant d'abord les parenthèses de nombres, ensuite les parenthèses de somme ou d'opposition. (s'il y en a). ● Une fois que l'écriture est simplifiée sans parenthèses, on regroupe les nombres négatifs et les nombres positifs entre eux. ● On fait la somme des nombres positifs d'une part et la somme des nombres négatifs d'autre part. ● La somme de l'unique nombre négatif et de l'unique nombre positifs restant est le résultat cherché.

Calculer - 2 + [-3 – (-4) ] – [5 – (+4)] = suppression parenthèses de nombres - 2 + (-3 + 4) – ( 5 – 4) = Suppression des parenthèses de sommes -2–3+4–5+4= Regroupement des négatifs/ positifs -2–3–5+4+4= Calcul négatifs , positifs - 10 + 8 = Résultat -2

Vers l'écriture simplifiée des produits Les opérandes d'une multiplication s'appellent les facteurs. Ces facteurs peuvent être des sommes ou d'autres opérations complexes. L'opérateur X n'est pas toujours présent dans l'écriture d'un produit. Les facteurs d'un produit peuvent être ● Des nombres isolés (-3)x(+5) 3x(-5) 3x5 -3x5 (+3)x5 (-3)x5 ● Des sommes ou des expressions complexes encadrées par des parenthèses. 5x(-3+2) (-5+4)x2 (-5+4)x(-2) -5x(3+4) (3+4)x(-2+3) -(2+3)x(4+5)

Ecriture simplifiée d'un produit On peut simplifier l'écriture du produit en mettant ses 2 facteurs entre parenthèses et en supprimant l'opérateur x de la multiplication car celui-ci va s'avérer gênant quand on va utiliser la lettre x pour remplacer un nombre quelconque. Quand le premier facteur est un nombre isolé, il n'est même pas utile de le mettre entre parenthèses. Par contre quand un facteur est une somme ou une expression complexe, les parenthèses qui la délimitent en tant que facteur sont indispensables. Voici les produits précédents réécrits en écriture simplifiée: ● Les 2 facteurs sont des nombres

-3(5) ou (-3)(5)

3(-5) ou (+3)(-5)

3(5) ou (3)(5)

● L'un au moins des facteurs est une somme (ou une expression complexe:

5(-3 + 2) (- 5 +4)(2)

(-5+4)(-2)

-5(3+4)

(3+4)(- 2 + 3)

-(2+3)(4+5)

Prenez modèle sur eux.

Vers l'écriture fractionnaire des divisions Dans une division, le premier opérande s'appelle le dividende N (c'est le nombre qu'on divise). Le second s'appelle le diviseur D (c'est lui qui divise). Le diviseur ne peut pas être nul. Le résultat de la division s'appelle le quotient Q. Le résultat de la division n'est pas toujours exact. Dans ce cas on peut calculer un quotient approché (q) et il est lié aux opérandes par la relation: N = Dq + r (où r est le reste). La division peut s'écrire en ligne grâce à un opérateur noté : ou /

(- 4) : (+2,1) ou

(- 4) /(+2.1)

Ecriture simplifiée d'une division Désormais nous préférons écrire une division sous forme d'une fraction

−4 +2,1

Dans ce cas le dividende est appelé "numérateur" et le diviseur est appelé "dénominateur". L'écriture fractionnaire, est sans équivoque et plus simple car elle nous permet de faire l'économie de parenthèses lorsque le numérateur ou le dénominateur sont des sommes ou des expressions complexes. En écriture simplifiée, nous supprimerons les signes du dénominateur et du numérateur et les remplacerons par un signe unique que nous mettrons devant la fraction. Ce signe sera - si les deux nombres sont de signes différents et + si les deux nombres sont de même signes. 𝟒 Notre fraction s'écrira donc − en écriture simplifiée. 𝟐,𝟏

Opérations littérales Opération Dans une opération, un ou plusieurs opérandes peuvent être remplacés par des lettres. Opposé Si, par exemple, a figure un nombre, -a figure son opposé. Si a = 8 → - a = -8 et si a = - 8 → -a = 8. Règles d'écriture. Etudiez bien le tableau suivant qui indique quelles sont les règles d'écriture des opérations, en écriture normale puis, éventuellement en écriture simplifiée, lorsque leurs opérandes sont a, b ou leurs opposés: (-a)+b -a+b (-a) – b -a–b

a+(-b) a –b a – (-b) a+b

(-a) + (-b) -a – b (-a) – (-b) -a+b

ab

(-a)b - ab

a(-b) - ab

(-a)(-b) ab

division

𝐚 𝐛

−a 𝐚 =− b 𝐛

a 𝐚 =− −b 𝐛

−a 𝐚 = −b 𝐛

élévation à la puissance b

ab

(-a)b

a-b

(-a)-b

Distance à zéro

|a|

|- a|

addition

a+b

soustraction

a –b

multiplication

Les règles de simplification de l'écriture sont les mêmes que pour les nombres (règle des signes et suppression des parenthèses) L'opérateur X disparait. On accole les facteurs en évitant toute confusion avec la somme grâce aux parenthèses. Les opérandes étant bien séparés par le trait de fraction, les parenthèses sont inutiles. b doit être différent de 0. Si le 1er opérande comporte un signe – on le met obligatoirement entre ( ). b est un entier. Plus simple à écrire que "distance à zéro de a" ou "distance à zéro de – a"

L'écriture normale et l'écriture simplifiée (en bleu) sont admissibles, mais on préfèrera autant que possible l'écriture simplifiée. Les règles de simplification de l'écriture d'une multiplication ou d'une division entre deux lettres représentant des nombres (par exemple a et b ou leurs opposés) sont les mêmes que celles qui permettent de supprimer les parenthèses de nombres: 1) on cherche le signe qui doit figurer devant la partie littérale du produit ou du quotient Si les signes précédant les lettres sont différents, ce signe est – . Si ces signes sont les mêmes, le signe résultant est +. 2) on met le signe résultant devant la multiplication ou la fraction 3) à la suite de son signe, on écrit la multiplication ou la fraction en débarrassant éventuellement ses facteurs, dénominateur, numérateur, des parenthèses qui les entourent. Les écritures simplifiées possibles (en bleu) sont: (−a) a (−a) a

a(-b) = - ab

(-a)(-b)= ab

b

(aux lettres prés qui peuvent être différentes).

Remarque concernant la distance à zéro: On peut écrire | - 8 | = 8 mais pas | - a| = a. Tout dépend du signe de a si a est positif, - a est négatif et | - a |= a si a est négatif, -a est positif et | - a |= - a Autrement dit |- a| = a ou –a selon le signe de a .

=−

b

(−b)

=

b

Calcul du produit de deux nombres décimaux relatifs. Produit de deux nombres décimaux relatifs a x b ● La distance à zéro du produit est le produit des distances à 0 des facteurs. | a b| = ( |a | )( |b | ) ● Le signe du produit est + si les facteurs sont de même signes ● le signe du produit est – si les facteurs sont de signes différents

(+2)x(+3,5)= +7 (-4,1)x(+2,8) = - 11,48 (-2,7)x(-2,3) = + 6,21 (-5)x(+4,2)= - 21

(mêmes signes) (signes différents) (même signes) (signes différents)

Produit d'un nombre par une somme Pour multiplier un nombre (a) par une somme (b+c) on distribue en tant que facteur le nombre sur tous les termes de la somme, chaque produit étant séparé du précédent par un opérateur + . Puis on effectue les produits, on passe à l'écriture simplifiée et on réduit la somme obtenue. a(b+c) = ab + ac 4(-5+3) = 4(-5) + 4(+3) = -20 +12 = -8 -3(4 – 2 ) = (-3)4 + (-3)(-2) = -12 +6 = - 6

Produit d'une somme par une somme Pour multiplier une somme par une autre somme (a+b)(c+d) on distribue en tant que facteurs successivement tous les termes de la première somme sur tous les termes de la seconde somme, chaque produit étant séparé du précédent par un opérateur +. Puis on effectue les produits, on passe à l'écriture simplifiée et on réduit la somme obtenue. (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd (4 -7) (-3 +4) = 4(-3) + 4(+4) + (-7)(-3) + (-7)(4) = -12 +16 +21 – 28 = - 3

Propriétés du produit. Lorsqu'on fait un produit d'au moins 3 facteurs, on peut commencer par faire le produit de n'importe quelle paire de facteurs. Modifier l'ordre des facteurs d'un produit ne change pas son résultat.

(+5)x(-3)x(4) = - 60 [(+5)x(-3)]x(4) = -15x4 = -60 (+5)x[(-3)x(4)]=5x(-12)=-60 abc=bac=cba (3)(4)(5)=(5)(3)(4)=(4)(5)(3)

Calcul du quotient de deux nombres décimaux relatifs. Quotient de deux nombres décimaux relatifs a : b ● La distance à zéro du quotient est le quotient de la distance à 0 du premier nombre par la distance à 0 du second. | a : b| = |a | : |b | ● Le signe du produit est + si les 2 nombres sont de même signes ● le signe du produit est – si les 2 nombres sont de signes différents.

Quotient d'une somme par un nombre Le quotient d'une somme de plusieurs nombres par un diviseur est égal à la somme des quotients de ces nombres par le même diviseur. 24+6−9 3 24 3

=

21

6

9

3

3

3

a+b−c a b c = + − D D D D

=7

+ − =8+2−3=7 Attention !

N a+b−c

n′ est pas égal à

N a

N

N

b

c

+ −

(-2,7) : (- 0,9) = +3 (10,5) : (2,5) = 4,2 (-1,44) : (+2,4) = - 0,6 (12) : (-8) = - 1,5

(mêmes signes) (mêmes signes) (signes différents) (signes différents)

Les fractions Définition 𝐚 Ici on s'intéresse aux fractions de la forme où a et b sont des nombres relatifs 𝐛 (b étant non nul). Ces fractions sont à la fois une division et l'écriture exacte du nombre caractérisant le résultat de la division de a par b (autrement dit du quotient de a par b). 2 Par exemple 5 est à la fois la division de 2 par 5 et le nombre 0,4 résultat de la division. 𝐚 𝟎

n'existe pas puisque la division par 0 n'a aucun sens. 𝟎 𝟖

est égale à 0 puisque la division de 0 par n'importe quel nombre non nul donne 0.

On peut considérer un entier relatif ou un décimal relatif comme des fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers relatifs. En effet, on a par exemple 15 150 − 28803 28803 15 = 1 ou 10 et - 28,803 = 1000 ou −1000 Règle des signes: La fraction

a b

est le résultat de la division de a par b. Donc

5

a b

est…

● un nombre positif si a et b sont de même signes ● un nombre négatif si a et b sont de signes différents En conséquence, au moment de donner un résultat contenant une fraction, on supprime les signes du numérateur et du dénominateur et on place le signe donné par la règle des signes devant la fraction ou devant le nombre quotient.

5

−5 3

+3 = 3 −5 −3

= +3 = 3

5

5

5 −3

= −3

5

5

= −3

(−3)+(+8) (−2)x(+4) 5

= −8

Comparer une fraction privée de son signe à 1 On compare le dénominateur et le dénominateur Si le dénominateur est le plus grand la fraction est plus petite que 1

2 5

Si le numérateur est le plus grand, la fraction est plus grande que 1 Si numérateur et dénominateur sont égaux, la fraction est égale à 1

5 5

= 0,4 plus petit que 1 5 2

=

= 2,5 plus grand que 1 2 2

=1

+5

= −8

Multiplication et division de fractions Pour multiplier une fraction par un nombre On multiplie le numérateur de la fraction par ce nombre a b

c=

ac

2

b

3

x5=

2x5 3

=

−3

10

4

3

x(−7) = +

21 4

Pour multiplier une fraction par une fraction Le numérateur du produit est le produit des numérateurs. Le dénominateur du produit est le produit des dénominateurs. a c ac = b d bd

8 5 ( ) 3 7

8x5

−3 −5 15 ( )=+ 2 7 14

40

= 3 x 7 = 21

Inverse d'un nombre non nul Le produit d'un nombre par son inverse doit donner 1 comme résultat. L'inverse d'un nombre a ≠0 est le nombre a' tel que le produit aa' =1. 𝟏

● l'inverse de a est ● l'inverse de

𝐚 𝐛

est

1

3

(en effet 3 x 3 = 3 = 1 )

𝐚 𝐛

(en effet

𝐚

3 5

5

inverse de 4 1 = 1 : 4 = 0,25

inverse de − 5

2 5

− = - 2,5

4

2

inverse de 0,25 1 =4

1

inverse de 3 =3

0,25

15

x 3 = 15 = 1 )

0 est le seul nombre qui n'a pas d'inverse. L'inverse de 1 est 1. Un nombre et son inverse ont le même signe. Si a >1 son inverse est plus petit que 1 (et vice versa) L'inverse d'un produit est le produit des inverses.

1 1 1 1 = ( )( ) abc a b c

Pour diviser une fraction (ou un nombre) par une fraction (ou un nombre) Il suffit de multiplier la première fraction (ou nombre) par l'inverse de la seconde (ou du nombre) 2 2 3 2 7 14 Diviser c'est multiplier par l'inverse. 2 5 10 : = 5 x 3 = 15 3 a = x = 5 7 a

● Diviser par un nombre

b

:𝐜 =

b

c

𝐚 𝟏

a

𝐛 𝐜

b𝐜

= ( )=

4 5

Quand on divise une fraction par un nombre il devient facteur du dénominateur. ● Diviser par une fraction

a 𝐍

: =

b 𝐃

a b N D

𝐚 𝐃

a𝐃

𝐛 𝐍

b𝐍

= ( )=

3

4∶7= 4x

7

= 3

3

2 3

28 3

5

3 3 1 3 − :5 = − x = − 7 7 5 35

2 3 5

4

2

12

1

2

= 3 x 5 = 15 5

= 2x 3 =

10 3

Pour calculer une fraction d'une quantité Il suffit de multiplier la quantité par la fraction 3

3

Par exemple pour calculer les 3 cinquièmes de 20 ( 5 de 20 ) il suffit de multiplier 20 par 5 . Le résultat est

20 x 3 5

=

60 5

= 12 .

Si on divise 20 euros en 5 parts égales, chaque part fait 4 euros et 3 parts (soit les 3/5 de 20) font 12 euros.

● On peut remplacer la fraction par le nombre quotient qu'elle représente ( 80

4 5

● Un pourcentage est aussi une fraction de dénominateur 100 : 80% = 100 = 0,8 80% de 10 =

80 100

x 10 =

800 100

=8

ou 80% de 10 = 0,8 x 10 = 8.

4

= 0,8 et 5 de 10 = 0,8 x 10 = 8)

Addition et soustraction de fractions Ecritures fractionnaires de 1. a Toutes les fractions de la forme a sont égales à 1. Simplifier une écriture fractionnaire a Quelquefois, dans une fraction, b on peut écrire a et b sous forme d'un produit de facteur où apparaît un facteur commun k (a=a'k et a a′ b=b'k). Dans ce cas on peut simplifier par k et écrire que = b b′ Car

a b

a′ k

= b′ k =

a′ k ( ) b′ k

a′

donc

=

a k ( ) b k

=

𝐚

a 𝐩

𝐚𝐩

7

𝐧 𝐩

n 𝐛

𝐧𝐛

= p (𝐛) = 𝐛𝐩 ont un même dénominateur.

Le produit des dénominateurs constitue un dénominateur commun acceptable. Le plus petit multiple commun des 3 dénominateurs est le plus petit dénominateur commun.

−7

= −7

18523 30

7

6

3

2 5

10

2

3 5

15

3

2

−5

3

−5

= x

2 3 et 𝟑 𝟓

=+

2 3

10 15

2 3

=7

6

6x1

2

= x =

3x5x2

42

7x7

−102

=3x5x3 =

45

irréductible

−102

= 18523

42

3

et

= 5

− 63 =− 7x9 = − 9

2

Réduire au même dénominateur. En compliquant judicieusement 2 fractions (ou plus), on peut toujours les réduire au même dénominateur. a n et 𝐩 avec p ≠ b n'ont pas le même dénominateur. 𝐛 Mais 𝐛 = b (𝐩) =𝐛𝐩

3

49

ak b k

5

12 3x4 4 = = 15 3x5 5

a′

= b′ (1) = b′

Compliquer une écriture fractionnaire. k Multiplier une fraction par 1 ou k ne change pas sa valeur. a b

3

1=3=

1

= 6x7 = 2 18

= x

3 18

2 3

= x

0,5 0,5

7

=

=

36 54

1 1,5

1 4 6 , et 2 3 5 dénominateur commun 2 x 3 x 5 =30

dénominateur commun 3 x 5 = 15

1

2 2 𝟓 10 = x = 3 3 𝟓 𝟏𝟓

4 3

3 3 𝟑 9 = x = 5 5 𝟑 𝟏𝟓

2

compliqué par

compliqué par 6 5

3x5

3x5 2x5 2x5 2x3

compliqué par

2x3

Pour additionner ou soustraire des fractions On les réduit d'abord au même dénominateur, puis on fait la somme de leurs numérateurs 2 7 2x5 7x3 10 21 31 + = + = + = 3 5 3x5 5x3 15 15 15

Additionner ou soustraire des écritures fractionnaires Pour additionner, soustraire des fractions il faut d'abord les réduire au même dénominateur. Ensuite pour calculer une somme de fractions … le numérateur du résultat est la somme des numérateurs le dénominateur du résultat est le dénominateur commun a b a+b a b a−b +D= D ou −D = D D D

2 7 10 21 11 − = − = − 3 5 15 15 15

Pour comparer des fractions On les réduit d'abord au même dénominateur, puis on compare leurs numérateurs. Comparer des fractions Autant il est difficile de comparer la grandeur de fractions de même signe ayant des dénominateurs différents, autant cela devient évident quand on les réduit au même dénominateur.

2

<

5

vrai ou faux? 3 8 2 16 5 15 Je ne sais pas. Or = et = C'est donc faux

2 3

3

=

16 24

24

8

24

est le plus grand.

Exposants

et puissances

Précaution d'écriture Pour élever un nombre négatif à une puissance, on le met entre parenthèses (-3)2 =(-3)(-3)=+9 – 3n est l'opposé de 3n. L'élévation à la puissance porte sur 3 et non sur – 3. – 32 = opposé de (3)2 = - 9 Signe de an Si a est un nombre positif, alors an est positif. 23 = (2)(2)(2)= 8 26 =(2)(2)(2)(2)(2)(2= 64 n Si a est un nombre négatif et si n est pair, a est positif. (-2)2 =(-2)(-2) = +4 (-3) 4=(-3)(-3)(-3)(-3) =+81 n Si a est un nombre négatif et si n est impair, a est négatif. (-2)3 =(-2)(-2)(-2) = - 8 Propriétés

an x ap = an+p

(an)p = anp

n+p facteurs a

p fois n facteurs a

23x22 =25

(23)2 = 26

𝐚 𝐚𝐧 ( )𝐧 = 𝐧 𝐛 𝐛

𝐚𝐧 𝟏 = 𝐚𝐧−𝐩 = 𝐩−𝐧 𝐩 𝐚 𝐚

n facteurs a/b 𝟑 𝟑𝟐 ( )𝟐 = 𝟐 𝟓 𝟓

fraction simplifiée 𝟑𝟔 𝟏 = 𝟑𝟒 = −𝟒 𝟐 𝟑 𝟑

an x bn = (a x b)n n facteurs axb 25 x 35 = 6 5

Pour an, on imagine n facteurs a 1 1 Pour a- 3 on imagine a3 soit a(a)(a) Pour an x ap, on imagine n facteurs a, suivis de p facteurs a , en tout n+p facteurs a . Pour (an)p, on imagine p fois n facteurs a, en tout np facteurs a. Pour (ab)n on imagine n facteurs ab autrement dit n facteurs a et n facteurs b. Pour

𝐚𝐧 𝐚𝐩

on imagine n facteurs a au numérateur et p facteurs a au dénominateur.

Après simplification ● si n >p il ne reste des facteurs qu'au numérateur (n – p positif) . ● Si n