DS5

Contrôle 5, classe de TS2 (3heures) Exercice 1(3 points) La fonction f est solution de l’équation différentielle (1) f’=kf, k étant un réel donné. Répondre par vrai ou faux à chaque affirmation en justifiant : a) Si f et g sont deux solutions de l’équation différentielle (1), alors la fonction f+g est aussi une solution de (1). b) Dans le cas où k=1, la fonction exponentielle est la solution unique de l’équation (1). c) Les seules solutions (dans le cas général) de l’équation différentielle (1) vérifiant f(0)=c ( c étant un réel fixé) sont les fonctions de la forme f(x)=c exp(kx), exp désignant la fonction exponentielle. d) Les fonctions f solutions de (1) sont toutes continues sur . Exercice 2 (4 points) Le directeur d’une fabrique de microprocesseurs constate que 4% de la production journalière est défectueuse. Un responsable qualité propose une vérification systématique des microprocesseurs. Cette vérification n’est pas parfaite, elle ne détecte que 95% des microprocesseurs défectueux et déclare défectueux 2% des microprocesseurs qui ne présentent pourtant aucun défaut. On prend au hasard l’un des microprocesseurs dans une production journalière. On appelle : - M l’événement : « le microprocesseur est défectueux » ; - R l’événement : « le microprocesseur est rejeté après vérification ». La notation pB(A) désignant la probabilité de l’événement A sachant que B est réalisé. Toute réponse doit être justifiée. 1. Préciser les probabilités : p(M), pM(R), pM (R). 2. Calculer la probabilité de l’événement (M et R) ainsi que celle de l’événement ( M et R). Quelle est la probabilité qu’un microprocesseur soit rejeté après vérification ? 3. Calculer la probabilité que le microprocesseur soit défectueux et déclaré bon par la vérification. 4. Calculer la probabilité que le microprocesseur soit bon sachant que la vérification va le déclarer « à rejeter ». Exercice 3 (6 points)  xe Soit la fonction F définie par F ( x)  3 x  ln   1.  xe 1) Quelle est le domaine de définition de cette fonction ? 2) Montrer que le point A(0,1) est le centre de symétrie de la courbe représentative C de F. 3) Montrer que la courbe C possède 3 droites asymptotes. 4) Montrer que l’équation F(x)=0 admet une solution unique x0dans l’intervalle ]e ;+∞[. Donner un encadrement au centième près de x0 en utilisant la calculatrice.

Exercice 4 (7 points)

a a Question préliminaire : a et b sont deux complexes non nuls. Prouvez l’égalité    . b b On se propose de déterminer quels sont les nombres complexes solutions de l'équation (E) : z² - 6z + 12 =0 et de placer, par une construction géométrique, les images de ces nombres dans le plan complexe. 1° )a) Résoudre l'équation (E). On note u et u ses solutions, u étant celle dont la partie imaginaire est positive. b) Calculer le module et un argument de u. En déduire le module et un argument de u . 2° )a) On considère le nombre complexe u - 4. Écrire ce nombre sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.  u b) Prouver qu’un argument du nombre est  . 2 u4 u En déduire un argument de . u4 3° ) Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé, on note A le point d'affixe 4, B le point d'affixe 2 et C le point d'affixe 6. M et N sont les points d'affixes u et u .. a) En interprétant géométriquement les résultats du 2° ), démontrer que les triangles OMA et ONA sont rectangles En déduire que les points O, A, M, N sont sur un même cercle que l'on précisera. b) Démontrer que les points B, C, M, N sont aussi sur un même cercle que l'on précisera. c) Construire les deux cercles ainsi obtenus, et les deux points M et N.