Ecritures fractionnaires

Ecritures fractionnaires I) Ecritures fractionnaires

Définition :

On considère deux nombres a et b tel que b soit différent de zéro. Le quotient de a par b est le nombre qui multiplié par b, est égal à a. 𝑎 On le note a : b, ou en écriture fractionnaire . 𝑏

𝑎

Remarque : si a et b sont deux nombres entiers, 𝑏 est une fraction. Exemples : 21 1) 7 est le quotient de 21 par 7, il est égal à 3. Une fraction peut être égale à un nombre entier. 3

2) est le quotient de 3 par 8, il est égal à 0,375. 8 Une fraction peut être égale à un nombre décimal. 3)

14 3

est le quotient de 14 par 3. Ce nombre n’est pas un nombre décimal, car la division de 14 par 3 ne s’arrête pas. 14

La valeur exacte du quotient de 14 par 3 est donc 3 . On peut déterminer une valeur approchée de ce quotient : a) valeur par défaut au centième (ou troncature au centième) : 4,66 b) valeur par excès au centième : 4,67 c) arrondi au centième : 4,67 (car le chiffre des millièmes est 6). II) Critères de divisibilité.

Définitions :

On considère deux nombres entiers a et b. * a est un diviseur de b signifie que le reste de la division euclidienne de b par a est égal à zéro. * b est un multiple de a signifie que a est un diviseur de b.

Exemples : 7 est un diviseur de 63. 42 est un multiple de 6. Critères de divisibilité : * Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8) * Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. * Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé uniquement de ses dizaines et de ses unités est divisible par 4. * Un nombre est divisible par 5 si le chiffre de ses unités est 0 ou 5. * Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible par 2 et 3. * Un nombre est divisible par 10 si le chiffre de ses unités est 0. Exemples : 1 898 est un multiple de 2. 355 n’est pas un multiple de 2. 1 980 est un multiple de 3 car 1 + 9 + 8 +0 = 18 et 18 est un multiple de 3. 734 164 est un multiple de 4 car 64 est un multiple de 4. 457 855 est un multiple de 5. 359 400 est un multiple de 6 car il est pair et 3+5+9+4+0+0=21 est divisible par 3. 123 950 est un multiple de 10.

III) Quotients égaux. 1) Définitions. Définition : Deux écritures fractionnaires sont égales si on obtient le numérateur et dénominateur de l’une en multipliant (ou en divisant) le numérateur et le dénominateur de l’autre par un même nombre. Exemples : 42 6 6 6×7 42 et 9 sont deux fractions égales car 9 = 9×7 = 63. 63 11 3

et

121 33

sont deux fractions égales car

11 3

=

11×11 3×11

=

121 . 33

Simplifier une fraction, c’est déterminer une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits.

Définition :

Exemple : Simplifier les fractions suivantes : 75 5×15 15 a) 15 = 5×3 = 3 b)

36 78

=

6×6 6×13

=

6 13

Une fraction irréductible est une fraction qui n’est pas simplifiable.

Définition :

Exemples : 3 a) 5 est une fraction irréductible. 945

b) Simplifier la fraction 1785. 945 5 × 189 189 3 × 63 63 7×9 9 = = = = = = 1785 5 × 357 357 3 × 119 119 7 × 17 17 9

La fraction 17 est une fraction irréductible. 2) Division par un nombre décimal. Règle : Pour diviser un nombre décimal par un nombre décimal, on utilise la propriété des quotients égaux pour obtenir un diviseur entier. Exemples : 3,41 3,41 × 10 34,1 = = 2,7 2,7 × 10 27 67 67 × 2 134 = = 2,5 2,5 × 2 5 Il n’est pas toujours nécessaire de multiplier par 10, 100… pour obtenir un nombre entier ! 3) Fréquences et proportions. Définition : La proportion ou fréquence d’une quantité a par rapport à une autre quantité b non nulle est égale au 𝑎 quotient 𝑏. Exemple : 3 Dans une équipe de handball de 7 joueurs, 3 joueurs sont gauchers. La proportion de gauchers dans cette équipe est 7. 3

La fréquence de gauchers dans cette équipe est 7.