Elektromagnetiska Vågor

Elektromagnetiska vågor (Kap. 32)

Hur elektromagnetiska vågor uppstår Laddning i vila:symmetriskt radiellt fält, Konstant hastighet: osymmetriskt radiellt fält samt ett magnetfält.

Konstant acceleration: krökta flödeslinjerna och en elektromagnetisk vågpuls börjar uppstå.

1) 2) 3)

t= 0 är laddningen i vila konstant acceleration fram till t = t1, konstant hastighet.

En e.m. vågpuls emitteras: amplituden är vinkelberoende. Den är starkast vinkelrätt mot färdriktningen och försvinner längs färdriktningen.

Det elektromagnetiska spektrumet

En oscillerande elektrisk dipol strålar ut e.m.vågor

Elektromagnetisk strålning: accelererade laddningar.

Oscillerande dipol

En källa för radiovågor är en dipolantenn. koordinatsystem

den utsända vågen

En oscillerande elektrisk dipol strålar ut e.m.vågor

Maxwells ekvationer

Elektriska fältlinjerna kröks

i sina integrala former

Gauss lagar

Amperes lag OBS: Det finns ett tillhörande magnetiskt fält, med det har inte ritats in!

Faradays induktionslag

(OBS: Ekvationerna gäller i vakuum. I ett (homogent) material byts !0 resp. µ0 mot ! resp. µ.)

Konstruktion av en plan elektromagnetisk våg:

Konstruktion av en plan elektromagnetisk våg:

Vilka villkor sätter Maxwells ekvationer?

Testa Gauss lagar…

Gauss lagar är visst uppfyllda: det totala E- och B-flödet genom ytorna försvinner (eftersom ingen laddning är innesluten).

Vi konstruerar en plan vågfront med konstanta fältstyrkor som rör sig åt höger (i +xriktningen) med en viss okänt hastighet c

$ E " dA =

I varje punkt bakom vågfronten har E- och B-fält samma styrka och samma riktning!

Qinnesl =0 #0

$ B " dA = 0

Gauss lagar

E = (0, E,0) B = (0,0,B)

!

Uppfyller en sådan konstruktion Maxwells ekvationer?

! Skulle lagarna också uppfyllas ifall vågen hade fältkomponenter längs x-axeln? (Visa själv att det inte skulle det…)

Konstruktion av en plan elektromagnetisk våg:

Konstruktion av en plan elektromagnetisk våg:

Testa Faradays lag…

Testa Amperes lag…

#

d% E " dl = $ B dt

Faradays lag

Först integrerar vi E-fältet motsols runt rektangeln efgh:

# E " dl = $Ea

! Michael Faraday

– Ea = – Bac E=cB

% B " dl = µ #

0 0

Det elektriska flödet ändras i den vita rektangeln med: !

Det magnetiska flödet ändras i vita rektangeln med: d" B = B(ac # dt)

!

d$E dt Först integrerar vi B-fältet motsols runt rektangeln efgh: Amperes lag (utan ström iC):

Insättning ger: µ0!0Ec = B

# B " dl = Ba d"E = E(ac # dt)

!

!

dvs. i och med att E = cB

måste c =

!

1 µ0"0

Vy längs y-axeln

Numeriskt värde: c =3.00 108 m/s

! E- och B-fält är alltså proportionella till varandra!

!

Vy längs z-axeln

Konstruktion av en plan elektromagnetisk våg:

Konstruktion av en plan elektromagnetisk våg:

Testa Amperes lag…

Sammanfattning… Vi har visat att..

Vy längs y-axeln

•Elektromagnetiska vågor är transversella: E- och B-fält står vinkelrätt mot varandra och är vinkelrätt till utbredningsriktningen som definieras av vektorprodukten E x B (högerhänt system) •E = cB •Vågens hastighet är konstant = c i vakuum = 3 108 m/s •Inget medium är nödvändigt: Det som oscillerar är E- och B-fälten! •E-fältet definierar vågens polarisationsriktning (linjär polarisation)

B=µ0!0E c2=1/µ0!0

Vågekvation för en plan elektromagnetisk våg som utbreder sig längs x-axeln

Maxwells ekvationer i sina differentella former

"2 E y (x,t) "2 E y (x,t) = #0µ0 "x 2 "t 2

Maxwells ekvationer kan också skrivas om till differentiell form:

$ " # E = (divE ) = %0 " # B = (divB ) = 0

!

! !

" # E = (rotE ) = $

"2 Bz (x,t) "2 Bz (x,t) = # 0 µ0 "x 2 "t 2

%B %t

" # B = (rotB ) = c 2$0 J + $0

!

%E %t

där

!

" 0 µ0 =

1 c2

Vågekvationen kan enkelt härledas formellt m.h.a. Maxwells ekvationer (läs själv ! i UP: Kap. 32 sid. 1221f.):

! Sinusformade (harmoniska) elektromagnetiska vågor Vågorna som E- och B-fälten bildar hänger alltså ihop och är i fas!

Exempel

Storleksordningar ":

Storleksordningar fältsyrkor:

Våglängd 220V-nätet: ???

CO2- laser med "=10.6µm

Våglängd FM-radio: ???

E-fältamplitud: ~106 V/m B-fältamplitud: 0.005 T

Hur beräknar man intensiteten?

Hur påverkar materia elektromagnetiska vågor ? I materia ändras fashastigheten till: µr!1 #!r: 6"8

Energiflöde och Poyntingvektorn

c v= µr"r

dU "u dV

OBS:! för oscillerande fält har andra värden än för konstanta fält för dielektriska material (isolatorer) som glas ! annars) (men kan varierar stort

Energi-innehållet i en volymenhet av strålen

För en plan harmonisk elektromagnetisk våg gäller:

u = 12 " 0 E 02 + 2 µ1 0 B02

! med

E B= c

dV = Ac" dt

blir det

u = "0E

2 0

! Strålens energiflödesdensitet blir:

#c/v=n kallas materialets brytningsindex.

!

S=

S =c

Diamant har brytningsindex n=2.42. Hur stor är natriumljusets vakuumvåglängd och dess våglängd i diamant, samt ljusets fashastighet i diamant?

!

!

! 1 dU 1 dU = Ac A dt A dV dU = c" 0 E 02 dV

Vågens intensitet (irradians) är tidsmedlevärdet av dess effekt per ytenhet som strålen täcker:

!

I = S = 12 c" 0 E 02

Den riktade energiflödesdensiteten kallas för r S= Poyntingvektor och kan skrivas som:

1 µ0

r r E"B

!

En elektromagnetisk våg överför rörelsemängd strålningstryck Stjärnatmosfärens kollaps motverkas av strålningstrycket

!

Stående elektromagnetiska vågor Vågen rör sig i –x riktningen. E-fältet negativt och B-fältet positivt E y,in (x,t) = "E 0 cos(kx + #t)

OBS: De här mäter däremot INTE strålningstrycket!

Bz,in (x,t) = B0 cos(kx + "t)

Vågen reflekteras. Inducerar oscillationer i elektroner i materialet. En reflekterad våg i +x riktningen tar ut den inkommande vågens elektriska fält i spegelytan.

! !

E y,refl (x,t) = E 0 cos(kx " #t)

En volymenhet av strålen innehåller rörelsemängd: dU = c" dp dU dp dp = c2 = c2 = c" prad Energiflödesdensiteten hänger ihop med strålningstryck: S = c dV dV cA" dt ! S prad = strålningen helt absorberad c ! !

!

prad = 2

S c

strålningen helt reflekterad

Bz,refl (x,t) = "B0 cos(kx " #t) ! !

Superposition ger en stående våg (E alltid = 0 i x =0): E y,tot (x,t) = E 0 (cos(kx + "t) # cos(kx # "t)) = 2E 0 sin(kx)sin("t) Bz,tot (x,t) = "B0 (cos(kx + #t) + cos(kx " #t)) = "2B0 cos(kx)cos(#t)

! !

E är alltid = 0 i punkter x = 0, "/2, ", 3"/2,… B är alltid = 0 i punkter x = "/4, 3"/4, 5"/4,… E och B är alltså 90o ur fas med varandra.

dvs. nodplan i E dvs. nodplan i B

spegelyta

Stående elektromagnetiska vågor

Sammanfattning, Elektromagnetiska Vågor

t.ex. i en laser

•Ett tidsberoende elektriskt fält medför att ett tidsberoende magnetiskt fält uppstår runt omkring det första (och vice versa) - en elektromagnetisk våg uppstår. •Elektromagnetiska vågor är transversella vågor där E- och B-fält är vektorer som står vinkelrätt på varandra.

Två ledande plan (speglar) blir nodplan för E. Avståndet L mellan planen……………"n = 2L/n

(n = 0 1, 2, 3,…)

Frekvenserna…………………………..fn = c / "n = n c/2L

(n = 0 1, 2, 3,…)

Man får en serie med (longitudinella) normalmoder . Hur långt ifrån varandra är noderna i en mikrovågsugn (f=2.45 GHz)?

1 Ljushastigheten (i vakuum): c = µ0"0 Energiflödestäthet& Poyntingvektor !

S=

E "B µ0

=cB

Ljushastigheten i ett dielektrikum: vljus