Enoncés des exercices

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Variables aléatoires Cahier d’exercices no 1 Les énoncés page 2

Les solutions page 5

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Enoncés des exercices Solutions Le mot “écart” désignera l’écart type.

Exercice 1 X est une variable aléatoire de loi Binomiale B(5; 0,4) . 1) Quelles sont les valeurs possibles de X ? 2) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que X soit égale à k, indiquer les valeurs possibles de k. 3) Calculer le plus simplement possible la probabilité pour que X soit au moins égale à 1. 4) Calculer la probabilité pour que X soit au plus égale à 3. 5) Calculer la probabilité pour que X soit égale à moins de 3. 6) Donner l’espérance mathématique, la variance et l’écart de la variable aléatoire X. Y est une variable aléatoire de Poisson de paramètre 2. 7) Quelles sont les valeurs possibles de Y ? 8) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que Y soit égale à k, indiquer les valeurs possibles de k. 9) Calculer la probabilité pour que Y soit au moins égale à 1.Calculer la probabilité pour que Y soit au plus égale à 3.Calculer la probabilité pour que Y soit égale à moins de 3. 10) Donner l’espérance mathématique, la variance et l’écart de Y. Z est une variable aléatoire de loi Normale N (100,10). 11) Donner l’espérance mathématique, la variance et l’écart de la variable aléatoire Z. 12) Calculer la probabilité pour que Z soit au plus égale à 110. Calculer la probabilité pour que Z soit au plus égale à 110.25. Calculer la probabilité pour que Z soit au plus égale à 90.25. Calculer la probabilité pour que Z soit au plus égale à 110.25et supérieure à 90.25. 13) Trouver la plus petite valeur de t pour que Z ne dépasse pas la valeur de t avec une probabilité de 0,95. Trouver la plus petite valeur de s pour que Z soit dans l’intervalle (100  s;100  s) . Avec une probabilité de 0,90(on ne tient pas compte de la nature exacte de l’intervalle : fermé, ouvert, semi- fermé). Solution de l’exercice

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Exercice 2 X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (n, p). 1) Quelles sont les valeurs possibles de X ? 2) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que X soit égale à k, indiquer les valeurs possibles de k. 3) Comment calculer le plus simplement possible la probabilité pour que X soit au moins égale à 1. 4) exprimer en fonction de n l’espérance mathématique, la variance et l’écart de la variable aléatoire X. 5) On suppose n supérieur à 30 et np inférieur à 9, par quelle loi peut-on approcher la loi de X. Quels seront l’espérance mathématique, la variance et l’écart de cette nouvelle loi ? 6) On suppose n supérieur à 30 et np supérieur à 10, par quelle loi peut-on approcher la loi de X ? Quels seront l’espérance mathématique, la variance et l’écart de cette nouvelle loi ? Solution de l’exercice 2 Exercice 3 X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (1000 ; 0,002). 1) Quelles sont les valeurs possibles de X ? 2) Donner l’espérance mathématique, la variance et l’écart de la variable aléatoire X. 3) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que X soit égale à k, indiquer les valeurs possibles de k. 4) Donner une valeur approchée au millième près de la probabilité pour que X soit au moins égale à 1. 5) Par quelle loi peut-on approcher la loi de X. Quels seront l’espérance mathématique, la variance et l’écart de cette nouvelle loi ? Calculer à l’aide de cette approximation la probabilité pour que X soit au moins égale à 1 ; comparer le résultat avec celui obtenu en utilisant la véritable loi. Solution de l’exercice 3

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Exercice 4 Y est une variable aléatoire de loi Binomiale B (1000, 0,50). 1) Quelles sont les valeurs possibles de Y ? 2) Donner l’espérance mathématique, la variance et l’écart de la variable aléatoire Y. 3) Par quelle loi peut-on approcher la loi de Y ? Quelle sera l’espérance mathématique, la variance et l’écart de cette nouvelle loi (on prendra pour écart la valeur entière la plus proche? Calculer à l’aide de cette approximation la probabilité pour que Y soit au plus égale à 516. 4) On choisit une valeur de Y au hasard, quelle est la probabilité pour que cette valeur soit parmi l’ensemble des entiers {485, 486,……, 515, 516} ? On considère avoir atteint notre objectif lorsque Y prend une des valeurs précédentes ; on décide de choisir 5 fois une valeur de Y (les choix seront indépendants les uns des autres), on appelle X le nombre d’objectifs qui seront atteints. 4.1) Quelle est la loi suivie par X ? 4.2) Quelle est l’espérance mathématique la variance et l’écart de X ? 4.3) Quelle est la probabilité pour que la valeur absolue de la différence entre le nombre de fois où l’objectif sera atteint et le nombre de fois où il ne sera pas atteint soit égal à 1 ? Solution de l’exercice 4

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SOLUTIONS DES EXERCICES 1, 2, 3, 4

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Exercice 1 (SOLUTION) 1) Les valeurs possibles de X sont {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 2)P(X  k )  C5k  0.4 k  0.65 k 3)1  0.65 est la probabilité pour que X soit au moins égale à 1. 4) Il faut calculer : P(X  0)  P(X  1)  P(X  2)  P(X  3). On obtient : 0.65  5  0.4  0.6 4  10  0.4 2  0.63  10  0.43  0.6 2 . 5) 0.65  5  0.4  0.64  10  0.4 2  0.63.

6) 2 ; 1.2 ; 1.2 . 7) Tous les entiers positifs (zéro compris).

2k  2 8) e , les valeurs possibles de k sont tous les entiers (zéro compris). k! 19 9) 1  e  2 ; e  2 ; 5e  2 3 10) 2 ; 2 ; 2 . 11) 100 ; 100 ; 10. 12) 0.8413. 0.84614 par défaut, 0.84850 par excès.10.83398 par défaut. 0.84850+0.833981.  t  100  13) On cherche la plus petite valeur de t telle que P (Zt)=    0.95 .  10  t  100 On trouve :  1.65 , donc : la plus petite valeur de t telle que 10 P(Z  t )  0,95 est 116.5 .

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Quelques informations Lorsque la loi de Z est Normale de moyenne m est d’écart  : P(a  Z  b )= P(a  Z  b )= P(a  Z  b )= P(a  Z  b ) =P(Z  b ) P(Z  a ) (Car P (Z = z)=0). On s’intéresse aux plages [m t ; m + t] pour n’importe quel choix de t positif : P(m t  Z  m + t )= P(Z  m + t )  P(Z  m t )=t)  t) (t)(1(t))=2(t). Exemple P(m    Z  m +  )= 2(1)=20.84131=0.6826.

Si on s’intéresse aux plages [m a ; m + a] pour n’importe quel choix du réel a positif : P(m a  Z  m + a )= a)  a)=2(a). Exemple Si Z est de loi Normale de moyenne 100 et d’écart 10 : P(95  Z  105 )= 0.5)  0.5)=2(0.5)=20.6915 1=0.383. Suite de la question 13 On cherche s tel que : P (100 s  Z  100 + s )= s10)  s10)=2(s10) 0.90. On obtient (s10)0.95, on trouve s10=1.65, donc 16.5 est la plus petite valeur de s qui vérifie la propriété demandée. Enoncé de l’exercice Haut du document

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Exercice 2 (SOLUTION) 1) Les valeurs possibles de X sont tous les entiers inférieurs à n+1(zéro compris). 2) 3) 4) 5)

P( X  k )  Ckn pk (1  p)n  k . k=0,1,….. , n. P(X1)=1(1p)n. E(X)=np ; V(X)=nppE (p)p ; n  p  (1  p) . La loi de Poisson de paramètre np . L’espérance mathématique de cette

nouvelle loi est np , la variance est aussi np donc l’écart type est np . 6) La loi normale de paramètres (np, n  p  (1  p) ) L’espérance mathématique de cette nouvelle loi est np , la variance est np(1  p) et l’écart np(1  p). Enoncé de l’exercice

Enoncés des exercices Exercice3 (SOLUTION) 1) Les valeurs possibles de X sont : 0, 1,2,……,999, 1000. 2) E(X)=2, V(X)=20.998=1.996, (X)=1.4128. k 3) P( X  k )  C1000  0.002k  0.9981000  k 4) 0.865. 5) On peut approcher la loi de X par la loi de Poisson de paramètre 2. L’espérance mathématique de cette nouvelle loi est 2 sa variance est 2 son écart est à peu près 1.414. A l’aide de cette loi la probabilité pour que X soit au moins

égale à 1 est : 1  e  2 =0.865.Ces deux résultats ne se distinguent pas au millième près. Enoncé de l’exercice 3

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Exercice 4 (SOLUTION) 1) Y admet les valeurs entières 0,1,…, 999, 1000. 2) E(Y)= 500, V(Y)=250, écart : presque 15.8 soit 16. 3) La loi normale de moyenne 500 et d’écart approximativement 16.La probabilité pour que Y soit au plus égale à 516 est : 0.8413. 4) La probabilité demandée est : 20.8413=0.6826. 4.1) La loi binomiale de paramètres (5, 0.6826) 4.2) E(Y)= 3.413, V(Y)=1.0833, l’écart type de Y est1.0408. 4.3 P(Y=2) +P(Y=3)=100.682620.6826)3+100.682630.6826)2=0.469 Enoncé de l’exercice 4