Espaces vectoriels

⋇ Espaces Vectoriels ⋇ Définition – Sous-espaces vectoriels Définition – Espace vectoriel Soit (𝕂, +, 𝗑) un corps (qui sera dans la pratique ℚ, ℝ ou ℂ), et E un ensemble fini non vide. On dit que E est un espace vectoriel sur le corps 𝕂 (ou plus rapidement un 𝕂-espace vectoriel) si les conditions suivantes sont réalisées : 1. E est muni d’une loi de composition interne, notée +, telle que (E,+) est un groupe commutatif 2. On dispose d’une multiplication externe à opérateur dans 𝕂, notée •, c’est-à-dire d’une application de 𝕂 𝗑 E dans E définie par : 𝕂𝗑E→E (λ,u)↦ λ•u et vérifiant les 4 propriétés suivantes : P1 ∀u ∈ E, 1𝕂•u = u P2 ∀λ ∈ 𝕂, ∀u, v ∈ E, λ•(u+v) = λ•u + λ•v P3 ∀λ, 𝜇 ∈ 𝕂, ∀u ∈ E, (λ + 𝜇)•u = λ•u + 𝜇•u P4 ∀λ, 𝜇 ∈ 𝕂, ∀u ∈ E λ•(𝜇•u) = (λ 𝗑 𝜇)•u * Les éléments de E sont appelés des vecteurs, ceux de 𝕂 des scalaires

Définition – Combinaison linéaire Soit n scalaires α1, α2, …, αn et n vecteurs u1, u2, …, un de l’espace vectoriel E. Le vecteur u = α1u1+α2u2+…+αnun est appelé combinaison linéaire des n vecteurs u1, u2, …un avec les coefficients α1, α2, …αn.

Définition – Espace-vectoriel produit Etant donné deux 𝕂-espaces vectoriels E et F, l’ensemble E 𝗑 F muni des lois produit : l’addition définie par (x’, y’) + (x’’, y’’) = (x’ + x’’, y’ + y’’) la loi externe définie par λ•(x, y) = (λ•x, λ•y) est un espace vectoriel sur 𝕂 appelé espace vectoriel produit

Définition – Sous-espace vectoriel Soit E un espace vectoriel sur 𝕂 et F une partie non vide de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si la restriction à F 𝗑 F de la loi +, et la restriction à 𝕂 𝗑 F de la multiplication externe, munissent F d’une structure d’espace vectoriel. * c’est une sous-groupe de (E,+) stable par la multiplication par un scalaire * L’intersection de deux sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E

Théorème – Caractérisation d’un sous-espace vectoriel F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E ssi F est un sous-ensemble non vide de E, stable par combinaison linéaire. ou encore F est un sous-espace vectoriel de E ssi F ≠ ∅, F ⊂ E ∀ u,v ∈ F, ∀ α ∈ 𝕂, αu+v ∈ F ou encore ssi F ≠ ∅, F ⊂ E ∀ u,v ∈ F, ∀ α ∈ 𝕂, u+v ∈ F et αu ∈ F

Définition – Sous-espace vectoriel engendré Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un K-espace vectoriel E. Le sous-espace vectoriel engendré par A peut être défini comme : - le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A - le sous-ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A Le sous espace vectoriel engendré par la famille (vi)1≤i≤n de vecteurs de E est notée Vect((vi)1≤i≤n). * Si A est finie, le sous-espace vectoriel engendré par A est l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A 19/04/2017

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Homomorphismes d’espaces vectoriels Définition – Homomorphismes d’espaces vectoriels Soient E et F deux 𝕂-espaces vectoriels et u une application de E dans F. On dit que u est un homomorphisme de E dans F si ∀ λ, μ ∈ 𝕂, ∀ x,y ∈ E, u(λx + μy) = λ u(x) + μ u(y) * La composée de deux homomorphismes est un homomorphisme * homomorphisme = application linéaire

Définition – Forme linéaire On appelle forme linéaire sur E une application linéaire de E dans 𝕂

Définition – Noyau et image On appelle noyau de u, noté Ker(u) le sous-ensemble de E ainsi défini : Ker u = {x ∈ E, u(x) = 0} On appelle image de u, noté Im(u) le sous-ensemble de F ainsi défini : Im u = {y ∈ F, ∃ x ∈ E, u(x) = y} * Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E * u est injectif ssi Ker(u) = {0} ssi ∀ x ∈ E, u(x) = 0 ⇒ x = 0 * Im(u) est un sous-espace vectoriel de F

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Indépendance linéaire – Familles génératrices – Bases Définition – Famille libre Soient E un 𝕂-ev, et (vi)1≤i≤n une famille de vecteurs de E. On dit qu’une famille de vecteurs est libre ou constituée de vecteurs p linéairement indépendants si toute combinaison linéaire nulle ∑i=1 λi vi = 0 de ces vecteurs implique λi = 0 pour tout 1 ≤ i ≤ p. * Toute sous-famille d’une famille libre est libre

Définition – Famille liée Une famille de vecteurs qui n’est pas libre est liée. Les vecteurs sont linéairement dépendants. C’est-à-dire qu’il existe p (λ1, …, λn) ∈ 𝕂n différent de (0, …, 0) et tel que ∑i=1 λi vi = 0 * Tout sur-famille d’une famille liée est liée

Définition – Famille génératrice Soient E un 𝕂-ev, et (vi)1≤i≤n une famille de vecteurs de E. (vi)1≤i≤n est dite génératrice si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E. * Toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice

Définition – Base On dit que la famille de vecteurs de E (vi)1≤i≤n est une base de E si elle est à la fois génératrice et libre. Pour qu’une famille de n vecteurs d’un espace vectoriel E soit une base de E, il faut et il suffit que tout vecteur de E admette une décomposition unique suivant cette famille, de la forme u = ∑ni=1 λi vi * Dans un espace vectoriel il existe toujours au moins une base

Proposition Soit u une application linéaire de E dans F. Etant donné une base (e i) 1≤i≤n de E : la famille (u(ei)) 1≤i≤n est génératrice de Im u u est surjective ssi (u(ei)) 1≤i≤n est une famille génératrice de F u est injective ssi (u(ei)) 1≤i≤n est une famille libre de F u est bijective ssi (u(ei)) 1≤i≤n est une base de F

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Somme de sous-espaces vectoriels Somme de n sous-espaces vectoriels Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E. On définit la somme des n sous-espaces vectoriels n

∑ Fi = F1 + F2 + ⋯ + Fn = {v ∈ E, ∃(v1 , v2 , … , vn ) ∈ F1 𝗑 F2 𝗑 … 𝗑 Fn , v = v1 + v2 + ⋯ + vn } i=1

* L’union d’espace vectoriel n’est pas en général un espace vectoriel * ∑ni=1 Fi est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F1 ∪ F2 ∪ … ∪ Fn

Somme directe de n sous-espaces vectoriels Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E. On dit que F1, F2, …, Fn sont en somme directe ssi : ∀(v1, v2, …, vn) ∈ F1 𝗑 F2 𝗑 … 𝗑 Fn v1 + v2 + …+ vn = 0 ⟹ v1 = v2 = …= vn = 0 On note F1 ⨁ F2 ⨁ … ⨁ Fn * v1 + v2 + …+ vn = 0 ⟹ v1 = v2 = …= vn = 0 (peut se formuler : l’application f : (v1, v2, …, vn) ⟼ v1 + v2 + …+ vn est injective) * Les espaces vectoriels de la somme directe sont linéairement indépendants.

Théorème – Propriétes des sommes directes Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E. Les propositions suivantes sont équivalentes : - F1, F2, …, Fn sont en somme directe - Tout élément de ∑ni=1 Fi se décompose de façon unique en une somme d’éléments de F1, F2, …, Fn - ∀i ∈ {1, …, n} Fi ∩ ∑1≤j≤n Fj = 0 j ≠i

- ∀(v1, v2, …, vn) de F1 𝗑 F2 𝗑 … 𝗑 Fn avec tous les vi non nuls, (v1, v2, …, vn) est libre

Définition – Espaces vectoriels supplémentaires Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E. Si E = F1 ⨁ F2 ⨁… ⨁Fn les sous-espaces vectoriels F1, F2, …, Fn sont supplémentaires. * Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel admet au moins un supplémentaire * Tous les sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel, supplémentaire d’un même espace vectoriel sont isomorphes

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Projection et symétrie Définition – Projecteurs Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. L’application p de E dans E qui à tout élément x de E associe l’unique y de F tel que x = y + z avec z ∈ G est appelée projection sur F parallèlement à G. Une telle application est aussi appelée un projecteur.

Proposition Etant donné 2 sous-espaces vectoriels supplémentaires F et G de E, la projection sur F parallèlement à G est linéaire. Son noyau est G Son image qui est aussi l’ensemble des vecteurs invariants est égale à F

Proposition p est un projecteur ssi p o p = p

Définition On dit que p et q sont deux projecteurs associés s’il existe F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E tels que p soit la projection sur F parallèlement à G et p soit la projection sur G parallèlement à F

Proposition Si p et q sont deux projecteurs associés alors p + q = IdE et p o q = q o p = 0

Définition – Symétrie Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. On appelle symétrie par rapport à F parallèlement à G, l’application s de E dans E telle que si x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G on ait s(x) = y – z

Propositions * Une symétrie est un automorphisme (bijectif de E dans E) involutif (s o s = IdE) * Tout endomorphisme involutif de E est une symétrie Plus précisément si s (de E dans E) est involutif c’est la symétrie par rapport à Ker(s - IdE), parallèlement à Ker(s + IdE).

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Dimension finie Définition – Dimension finie On dit que E est de dimension finie, s’il admet une famille génératrice finie (sinon E est de dimension infinie).

Théorème Tout 𝕂-ev de dimension finie admet une base finie. Cette base peut être extraite de toute famille génératrice finie.

Théorème Si E est un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases de E ont le même nombre n d’éléments. L’entier n est appelé dimension de E sur 𝕂, ou plus simplement dimension de E

Théorème de la base incomplète Toute famille libre d’un espace vectoriel E de dimension finie peut être complétée en une base de E

Théorème Soit ℬ une famille d’éléments d’un espace vectoriel E de dimension n. Les propositions suivantes sont équivalentes : ℬ est une base ℬ est une famille libre à n éléments ℬ est une famille génératrice à n éléments

Définition – Rang d’un système de vecteurs Le rang d’une famille finie 𝒳 de vecteurs de E, noté rg 𝒳 est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par 𝒳.

Définition – Rang d’une application linéaire Soient E et F deux 𝕂-ev et u une application linéaire de E dans F. On appelle rang de u que l’on note rg u la dimension de Im u lorsqu’elle est finie.

Théorème du rang Etant donné un espace vectoriel E de dimension finie et une application linéaire u de E dans un espace vectoriel F, on a : dim E = rg u + dim(ker u) = dim(Im u) + dim(ker u)

Théorème Etant donné deux 𝕂-ev E et F de même dimension finie n et u une application linéaire de E dans F, les propositions suivantes sont équivalentes : u est injective u est surjective u est bijective

Proposition dim (F + G) = dim F + dim G – dim (F ∩ G) dim (F⨁G) =

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dim

F

+

dim

G

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