Euklides algoritm - UU Studentportalen

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hed´en

Algebra I, 5 hp

Sammanfattning av f¨orel¨asning 4.

Euklides algoritm Euklides algoritm a¨r en algoritm d¨ar man upprepar divisionsalgoritmen flera g˚ anger, och den anv¨ands f¨or att ber¨akna den st¨orsta gemensamma delaren till tv˚ a tal a och b. F¨orst dividerar man a med b med kvot och rest. D¨arefter divideras b med resten. D¨arefter divideras den f¨orsta resten med den andra resten. Den andra resten med den tredje resten. Den tredje resten med den fj¨arde och s˚ a vidare tills en division g˚ ar j¨amnt upp och resten d¨armed blir noll. Den sista nollskilda resten a¨r lika med SGD(a, b). Exampel 0.1. Vi utf¨or Euklides algoritm p˚ a talen a = 315 och b = 56. 315 = 5 · 56 + 35 56 = 1 · 35 + 21 35 = 1 · 21 + 14 21 = 1 · 14 + 7 14 = 2 · 7 + 0 Som synes blev de successiva resterna 35, 21, 14, 7 respektive 0. Den sista nollskilda resten blev 7, och d¨arf¨or g¨aller det att SGD(315, 56) = 7. Exampel 0.2. Om vi v¨aljer a = 114 och b = 96 s˚ a f˚ ar vi. 114 = 1 · 96 + 18 96 = 5 · 18 + 6 18 = 3 · 6 + 0 De successiva resterna blev 18, 6 och 0, s˚ a SGD(114, 96) = 6. Man kan ¨aven ber¨akna st¨orsta gemensamma delare med hj¨alp av primtalsfaktorisering (det bygger p˚ a aritmetikens fundamentalsats) genom att primfaktorisera de fyra tal som ingick i exemplen ovan, och helt enkelt se efter vad den st¨orsta gemensamma delaren ¨ar. 315 = 32 · 5 · 7 56 = 23 · 7 114 = 2 · 3 · 19 96 = 25 · 3. Det syns tydligt att Euklides algoritm gav r¨att resultat i b˚ ada exemplen.

Aritmetikens fundamentalsats M˚ alet med dagens f¨orel¨asning var att bevisa f¨oljande sats om primtal, allts˚ a tal som inte har n˚ agra icke-triviala delare1 . Sats 0.3 (Aritmetikens fundamentalsats). Varje heltal som ¨ ar st¨ orre ¨ an eller lika med 2 kan skrivas som en produkt av primtal, och s˚ a n¨ ar p˚ a omordning av faktorerna ¨ ar en s˚ adan faktorisering entydig. Beviset av satsen gjordes i fyra steg. Steg 1: Om a ≥ 2 inte ¨ar ett primtal, s˚ a ¨ar den minsta positiva ¨akta delaren till a ett primtal. Steg 2: Varje heltal som ¨ar st¨orre ¨an eller lika med 2 kan skrivas som en produkt av primtal (p˚ a minst ett s¨att). Steg 3: L˚ at a och b vara heltal, och p ett primtal. Om p|ab s˚ a f¨oljer det att p|a eller p|b. Steg 4: Antag att ett heltal a ≥ 2 har tv˚ a primfaktoriseringar: a = p 1 p 2 · · · p m = q1 q2 · · · qn ,

(alla pj och qk ¨ar primtal).

D˚ a g¨aller det att m = n, och att p1 = q1 , p2 = q2 , . . . , pn = qn (i alla fall om de tv˚ a f¨oljderna av primtal p1 , p2 , . . . , pn och q1 , q2 , . . . , qn numreras i l¨amplig ordning). Bevis. (Steg 1): Eftersom a inte ¨ar ett primtal, s˚ a har a ¨akta delare. L˚ at b vara den minsta positiva bland dessa. D˚ a g¨aller det att 1 < b < a. Om nu b inte vore ett primtal s˚ a skulle b ha en positiv a¨kta delare c med 1 < c < b, men d˚ a skulle c a¨ven vara en a¨kta delare till a, och den skulle vara mindre ¨an b. Det ¨ar en mots¨agelse eftersom b var den minsta bland a:s ¨akta positiva delare. Bevis. (Steg 2): L˚ at a vara ett positivt heltal, a ≥ 2. Om a inte redan sj¨alvt ¨ar ett primtal, s˚ a finns det enligt steg 1 ett primtal som delar a. Vi kallar detta primtal f¨or p1 och kvoten f¨or a1 s˚ a att a = p1 a 1 . a ¨ar vi klara, annars anv¨ander vi steg 1 igen och hittar ett primtal som Om a1 a¨r ett primtal s˚ delar a1 . Vi kallar detta primtal f¨or p2 och kvoten f¨or a2 s˚ a att a = p1 p2 a 2 . a ¨ar vi f¨ardiga, annars hittar vi ett primtal p3 som delar a2 och kallar Om a2 ¨ar ett primtal s˚ kvoten f¨or a3 . Vi forts¨atter p˚ a samma s¨att tills vi kommer fram till en kvot ai som sj¨alv ¨ar ett primtal. Anledningen till att vi f¨orr eller senare m˚ aste erh˚ alla en kvot ai som sj¨alv ¨ar ett primtal, ¨ar att vi annars skulle kunna producera en o¨andligt avtagande f¨oljd av heltal som alla ligger mellan 1 och a, n¨amligen f¨oljden a1 > a2 > a3 > a4 > . . . Detta ¨ar f¨orst˚ as om¨ojligt oavsett vilket heltal a som vi b¨orjade med. Bevis. (Steg 3): Vi visade att om p|ab men p - a s˚ a f¨oljer det att p|b. Antag allts˚ a att p inte delar a. Eftersom p ¨ar ett primtal m˚ aste d˚ a SGD(a, p) = 1, och genom ”uppnystning av Euklides algoritm utf¨ord p˚ a a och p” kan vi hitta tv˚ a heltal x och y s˚ adana att xa + yp = 1. 1

Uppnystningen av Euklides algoritm spelade en central roll i beviset – det finns en separat fil om det i filarean.

Multiplicera denna likhet med b: xab + ypb = b. Nu ser vi att p uppenbarligen ¨ar en delare i v¨anstra ledet eftersom p delar b˚ ada termerna d¨ ar (h¨ar anv¨ander vi antagandet att p|ab). Allts˚ a m˚ aste p ¨aven vara en delare i det h¨ogra ledet – h¨oger och v¨ anster led a¨r ju lika med varandra! D¨armed a¨r beviset f¨ardigt. Genom upprepad anv¨andning av steg 3 inser man att om ett primtal p delar en produkt av k stycken tal, s˚ a m˚ aste p dela ˚ atminstone en av de k faktorerna: p|a1 a2 · · · ak ⇒ ∃i ∈ {1, 2, 3, . . . , k} : p|ai . Vi kallar detta f¨or steg 3b. Vi illustrerar med tre faktorer: Antag att p|abc. Eftersom abc = a(bc) kan ses som en produkt av tv˚ a faktorer, f˚ ar vi enligt steg 3 att p|a eller p|bc. Om p - a s˚ a g¨aller p|bc vilket enligt steg 3 medf¨or att p|b eller p|c. I vilket fall delar allts˚ a p minst en av a, b och c. Bevis. (Steg 4): Vi vet redan fr˚ an steg 2 att varje heltal a ≥ 2 kan skrivas som en produkt av primtal, och nu ˚ aterst˚ ar det att visa att denna faktorisering ¨ar entydigt best¨amd av a – dvs. att det inte finns flera olika s¨att att primfaktorisera a. Antag d¨arf¨or att vi har tv˚ a stycken primfaktoriseringar av a (om de har olika m˚ anga faktorer, s˚ a kallar vi primtalen i den ”l¨angsta” faktoriseringen f¨or qi och primtalen i den ”kortare” f¨or pj , s˚ a att n ≥ m nedan): a = p1 p2 · · · pm , och a = q1 q2 · · · qn . Eftersom p1 ¨ar en faktor i a, ¨ar p1 en faktor i q1 q2 · · · qn , och det f¨oljer av steg 3b (vi kan anv¨anda agot i ∈ {1, 2, . . . , n}. Ifall det skulle visa sig steg 3b eftersom p1 ¨ar ett primtal) att p1 |qi f¨or n˚ att i 6= 1, s˚ a g¨or vi en omnumrering av q1 , q2 , . . . , qn s˚ a att det som f¨ore omnumreringen hette ar qi efter omnumreringen ist¨allet heter q1 . Det leder till att p1 |q1 och eftersom b˚ ade p1 och q1 ¨ primtal s˚ a f¨oljer det att p1 = q1 . Om vi f¨orkortar a med p1 (som ocks˚ a a¨r lika med q1 ) f˚ ar vi f¨oljande: p2 p3 · · · pm = q2 q3 · · · qn . Nu upprepar vi precis samma procedur, och drar slutsatsen att (eventuellt efter ytterligare en omnumrering av q2 , q3 , . . . , qn ) att p2 = q2 . Efter att ha utf¨ort proceduren m g˚ anger kan vi dra slutsatsen att p1 = q1 , p2 = q2 , . . . , pm = qm , och det som ˚ aterst˚ ar ¨ar endera ekvationen 1 = 1 (om n = m) eller ekvationen 1 = qm+1 qm+2 · · · qn (om m < n). I det f¨orsta fallet ¨ar vi klara, och det andra fallet kan inte intr¨affa eftersom en produkt av (fler ¨an noll) primtal inte kan vara lika med 1.