Exam MEC24B

MEC24B Denis C D ROUX

M´ ecanique des fluides et des solides 2012

Impact d’un jet sur une plaque Une pompe de d´ebit q est connect´ee `a un tuyau d’arrosage propulsant un jet d’eau sur une → − → − − → plaque P . L’´ecoulement du jet est permanent et contenu dans le plan (O, i , j ). La vitesse V → − du jet fait un angle α (> 0) avec la direction i portant la plaque. L’eau sortant du tuyau est suppos´ee de viscosit´e n´egligeable. Les ´epaisseurs des lames d’eau sont consid´er´ees comme faible ce qui permet de n´egliger l’action de la pesanteur terrestre.

Figure 1 – Impact d’un jet sur une plaque Question1 (1 point) ´ Ecrire le th´eor`eme de Bernoulli entre les sections S et S1 et entre S et S2 . Solution: P + 12 ρV 2 = P1 12 ρV1 2 = P2 + 12 ρV22 Question2 (1 point) Si la pression dans les sections S, S1 et S2 est identique, que peut-on dire des vitesses V , V1 et V2 ? Solution: V = V1 = V2 Question3 (1 point) − → Quelle est la direction de la force F exerc´ee par le jet sur la plaque ? Pour cette question on rappelle que la viscosit´e du fluide est suppos´ee n´egligeable. Solution: → − → − F =F j Question4 (1 point) Appliquer le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement au volume de fluide d´efinit par les surfaces S, S1 , S2 et les surfaces libres des jets entre ces surfaces. Il est rappel´e que le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement s’´enonce comme suit : La r´esultante des actions m´ecaniques ext´erieures exerc´ees sur un fluide isol´e est ´egale a ` la variation de la quantit´e de mouvement du fluide. Si S1 et S2 sont deux surfaces par lesquels le fluide respectivement rentre et sort avec des vitesses respectives V1 et V2 , la variation de quantit´e de mouvement est ´egale ` a Qm (V1 − V2 ) ou Qm est le d´ebit massique.

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Solution: → − → − − → − → − F = −ρq V + ρq1 V1 + ρq2 V2 Question5 (1 point) D´eterminer les d´ebits q1 et q2 en fonction des param`etres α, q, ρ et V . Solution: → − En projetant l’´equation vectorielle du th´eor`eme de la quantit´e de mouvement sur l’axe i q q on obtient : q1 = 2 (1 + cos(α)) et q2 = 2 (1 − cos(α)) Question6 (1 point) D´eterminer l’expression de la force F en fonction de ρ, q, V et l’angle α. Solution: F = ρ q V sin(α) Question7 (2 points) Le diam`etre interne du tuyau est de 20 millim`etres et le d´ebit de la pompe est de 2500 litres par heure. Sachant que α = 15◦ , d´eterminer : q1 , q2 et F . Solution: q ≃ 0.7 10−3 m3 /s ; q1 ≃ 1.4 10−3 m3 /s ; q2 ≃ 0.24 10−6 m3 /s ; V = q/s ≃ 2.2m/s et F = 0.4N

Analyse dimensionnelle Un fluide de viscosit´e µ, que l’on souhaite d´eterminer, s’´ecoule dans une conduite cylindrique de diam`etre D avec un d´ebit constant Q. Entre deux points E et S s´epar´es d’une distance L, des capteurs de pression permettent de mesurer la diff´erence de pression ∆P = PE − PS . Question1 (1 point) Donner le nombre de param`etres a-dimensionnels du probl`eme (C’est une question de cours). Solution: N + 1 = 5 et r = 3 donc N + 1 − r = 2 Question2 (1 point) Montrer que l’on peut former deux nombres a-dimensionnels π1 et π2 L’un donnant le d´ebit et l’autre une a-dimensionnalisation des longueurs. Pour cela, on utilisera la m´ethode de Lord Rayleigh en posant : (∆P )b Lc D d (µ)e = Qa . Solution: Qa (∆P )b Lc D d (µ)e = 10 , ce qui donne avec a = 0 : Π1 = L/D et avec a = 1 : π2 = QLµ/(∆P )D 4 Question3 (2 points) La mesure de la diff´erence de pression entre les deux points distants de 20 centim`etres est ´egale `a 2 bars. Le diam`etre int´erieur de la conduite cylindrique est de 4 millim`etres et le d´ebit mesur´e ` a l’aide d’une balance est ´egal `a 38 grammes par minutes. Donner la valeur de la viscosit´e du produit Newtonien s’´ecoulant dans la conduite sachant que le nombre a-dimensionnel π1 = π/128.

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Solution: µ ≃ 10P a.s

Plaque oscillante Une plaque en aluminium de longueur L, de largeur l et d’´epaisseur e est suspendue par une pivot ”O” non glissante d’axe parall`ele `a sa largeur.

Figure 2 – plaque suspendue par un pivot non glissant Question1 (1 point) Exprimer la vitesse instantan´ee de rotation et la vitesse ”de translation” au point ”G” de → → − − → − la barre par rapport au rep`ere fixe Ro (O, io , jo , ko ). ( − ) → Ω R1 /Ro Regrouper, votre r´esultat dans un torseur cin´ematique que vous ´ecrirez : V = −−−→ V (G)R1 /Ro Solution: ( − ( → ) θ˙ k0 V= = 0 (O)

→ − θ˙ k0 → L ˙ − θ j 2

1

)

. (G)

Question2 (1 point) − → Exprimer la quantit´e de mouvement ou impulsion de la barre P (G)R1 /R0 ainsi que le mo→ ment cin´etique − σ (O)R1 /R0 . ( − ) → P (G)R1 /R0 Regrouper votre r´esultat sous la forme du torseur cin´etique : C = − . → σ (O)R1 /R0 (O)

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. (G)

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Remarque : quel argument la matrice d’inertie de la plaque en ”O” sous  permet d’exprimer  A 0 0   la forme : I(o)R1 /R0 =  0 B 0  ? 0 0 C Solution: ( → ) − m L2 j1 C= → − C θ˙ k0 (O)

Question3 (1 point) → Exprimer l’invariant vectoriel dynamique ´egal au produit : m− γ (G)R1 /R0 ainsi que le moment → − dynamique δ (O)R1 /R0 au point ”O”. ( ) → m− γ (G)R1 /R0 Regrouper votre r´esultat dans le torseur dynamique que vous ´ecrirez : D = . → − δ (O)R1/R0 (O) Solution: ( → ) − → − m( L2 θ¨ j1 − L2 θ˙ 2 i1 D= . → − C θ¨ k0 (O) Question4 (1 point) Exprimer en ”O” le torseur des efforts appliqu´es sur la plaque sous la forme : F =

( − →

F R /R − → 1 0 M R1/R0

Solution: ) ( − → → R0 + m − g . F = −−→ → OG ∧ (m− g ) (O) Question5 (1 point) Appliquer le principe fondamental de la dynamique `a la plaque afin d’en d´eduire les ´equations vectorielles du mouvement. Solution: − → → → R0 + m − g = m− γ (G)T1 /T0 −−→ −−→ → − OG ∧ (m g ) = δ(0)T1 /T0 Question6 (1 point) Calculer la composante de la matrice d’inertie n´ecessaire `a la r´esolution du probl`eme en fonction de la masse ”m” de la plaque et des longueurs ”L” et ”e”. Solution: R C = (x2 + y 2 )ρ dxdydz

Question7 (1 point) − − → − → → − → Exprimer la r´eaction Ro de la liaison pivot dans le rep`ere (O, i0 , j0 , k0 ). Cette r´eaction est-elle constante en fonction du temps ? Solution: − → ¨ ¨ R0 = (−Lθ˙ 2 cos(θ) − L2 θsin(θ)) + g, −Lθ˙ 2 sin(θ) + L2 θcos(θ), 0) − → →− →− ( i0 , j0 , k0 )

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)

. (O)

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Question8 (1 point) Exprimer l’´equation diff´erentielle r´egissant le mouvement de rotation de la plaque. Dans le cas de faibles oscillations, que devient cette ´equation ? Solution: C θ¨ + gL 2 sin(θ) = 0, dans le cas de petites oscillations : sin(θ) ≃ θ Question9 (2 points) La plaque est en aluminium de masse volumique ρ = 2.7gr/cm3 . Elle poss`ede les dimensions suivantes : Lm = 30cm, l = 20cm et e = 3mm. D´eterminer la pulsation des oscillations engendr´ees par une mise en mouvement de la plaque lˆach´ee avec un angle initial de 15 degr´es. Avec notre mod´elisation la plaque s’arrˆetera-t-elle d’osciller ? Pourquoi ? 2 me2 (Remarque : C = mL 3 + 3 ) Solution: p ω = mgL/C ≃ 0.2rad/s soit une p´eriode de T ≃ 30s

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