Examen 2007-2008 (ENSIACET et ENSAT) File

Formation La PAD 2007-2008

Probabilités et Statistique Examen du 31 mai 2008 (ENSAT et A7)

Documents autorisés : tous les documents de la PAD ; le livre "Modélisation probabiliste et Statistique". Barème : 6 + 6 + 8.

Exercice 1 Risques et compagnie d’assurance (probabilités conditionnelles) Une compagnie d’assurance répartit ses clients en trois classes R1 , R2 et R3 : les risques réduits, les risques moyens et les gros risques. Les effectifs des ces trois classes représentent respectivement 20%, 50% et 30% de la clientèle totale. Une étude statistique a permis d’évaluer que pour une personne donnée de l’une de ces trois classes la probabilité d’avoir un accident dans l’année est de 0.05 pour R1 , 0.15 pour R2 et 0.30 pour R3 . 1) Si on note A l’événement "avoir un accident dans l’année" et, pour 1 6 i 6 3, Ri l’événement "appartenir à la classe Ri " indiquer P (R1 ), P (A|R1 ), P (R2 ), P (A|R2 ), P (R3 ), P (A|R3 ). 2) Quelle est la probabilité qu’un client choisi au hasard ait un accident dans l’année ? En déduire P (Ac ). 3) Si un client donné n’a pas eu d’accident dans l’année quelle est la probabilité qu’il soit dans R1 ? Il faut donc calculer ici P (R1 |Ac ).

Exercice 2 Loi de durée de vie d’un matériel électronique On note X l’instant de première panne d’un composant électronique C compté à partir de la mise en service. Il s’agit donc d’une variable aléatoire réelle (VAR) positive. On introduit la fonction de survie S de ce composant comme étant définie par  1 si x 6 0 S(x) = . P [X > x] si x > 0 1) On suppose que C fonctionne la première fois qu’on l’utilise avec la probabilité 1 − p, 0 6 p < 1, que pour tout z > 0, x > 0 la probabilité que C tombe en panne après l’instant z n’est pas nulle et que celle qu’il tombe en panne après z + x sachant qu’il n’était pas encore tombé en panne avant z est la même que celle d’un composant neuf de même type 1

que C de tomber en panne après x. Ecrire, en terme de probabilité conditionnelle pour la loi de X, la propriété qui découle de cette hypothèse et vérifier qu’ alors (∀ x > 0), (∀ z > 0) S(x + z) = S(x) S(z).

(1)

2) Vérifier que l’égalité (1) est vraie si X admet comme loi de probabilité la loi exponentielle E(λ) de paramètre λ > 0.

Exercice 3 Essais en laboratoire. Le tableau ci-dessous donne les résultats de 10 essais en laboratoire concernant la charge de rupture, en kg, d’un acier en fonction de sa teneur en carbone, en pourcent. On cherche à expliquer la charge de rupture en fonction de la teneur en carbone. On note donc ce nombre avec des variables xi et la charge de rupture avec des variables yi et on cherche une relation y = β0 + β1 x. xi (teneur en carbone) yi (charge de rupture)

70 87

60 71

68 79

64 74

66 79

64 80

62 75

70 86

74 95

62 70

1) Donner l’expression des solutions βb0 et βb1 du problème des moindres carrés en fonction n n n n X X X X 2 des quantités xi , yi , xi , xi yi . i=1

i=1

i=1

i=1

2) Tracer le nuage de points et calculer l’ajustement y = βb0 + βb1 x. On donne 10 10 10 10 X X X X 2 xi = 660 , yi = 796 , xi = 43736 , xi yi = 52832. i=1

i=1

i=1

i=1

3) On note ei = yi − ybi où ybi est la valeur prédite par le modèle estimé à la question 2) : ybi = βb0 + βb1 xi . On note r le coefficient de corrélation linéaire entre la teneur en carbone et la charge de rupture Pi=10 i=1 (xi− x)(yi− y) r= 1/2 . i=10 i=10 P P 2 2 (xi− x) . (yi− y) i=1

i=1

Montrer que l’égalité suivante est vérifiée : Xi=10 i=1

e2i =

Xi=10 i=1

(yi− y)2 (1 − r2 ).

2