Examen partiel du 29 février 2016

Université Paris 13, Institut Galilée Année universitaire 2014–2015

CCS – Probabilités & Statistiques

Examen partiel du 29 février 2016 Durée : 3 heures Matériel autorisé : Une feuille A4 nominative de notes et une calculatrice non graphique. La qualité de la présentation et de la rédaction seront prises en considération (écrire des phrases, bien expliquer et justifier les calculs effectués). Quand un résultat numérique est demandé, on en donnera une valeur approchée. Un barême approximatif (pour une note sur 20 points) est donné ci-dessous à titre d’information. On pourra remarquer qu’il n’est pas nécessaire de réussir tout le sujet pour avoir la note maximale. Attention. Utiliser une feuille différente pour chaque exercice . → Noter “Exercice 1” et “Exercice 3” au début des copies doubles, et “Exercice 2” et “Exercice 4” sur deux feuilles intercalaires.

Exercice 1 – Loi à densité (' 9 points). Soit X une variable aléatoire. On suppose que la loi de X a pour densité la fonction f définie par :   si x < 0 0 pour tout x ∈ R, f (x) = 31 si 0 ≤ x ≤ 1  c si x > 1, x4 où c est une constante. 1. Quelle doit être la valeur de c ? (On utilisera cette valeur ensuite) Représenter f graphiquement. 2. Calculer la fonction de répartition FX de X. La représenter graphiquement.

3. Calculer les probabilités suivantes : P (X = 2), P 12 < X < 2 , P X > 3 X > 1 . 4. Calculer l’espérance de X. 5. Calculer la variance de X. 6. On définit la variable aléatoire Y = X 3 . 6.a) Préciser l’ensemble des valeurs de Y . 6.b) Calculer P (Y ≤ 1). 6.c) Calculer la fonction de répartition de Y . 6.d) En déduire que Y a une densité, et la calculer.

Exercice 2 – Antispam (' 3 points). En France, on estime qu’environ 90 % des e-mails échangés sont des messages indésirables (et non sollicités), en général publicitaires (en anglais, des spams). Dès lors, il est essentiel de disposer d’outils de détection automatisée de ces messages. On constate que le mot “gratuit” est présent dans 60 % des messages indésirables, alors qu’il n’est présent que dans 7 % des messages désirables. On reçoit un message (que l’on suppose tiré uniformément au hasard). On définit les événements I = {le message est indésirable} et G = {le message contient le mot “gratuit”}. 1. Quelles informations l’énoncé donne-t-il sur les événements G et I ? 2. Quelle est la probabilité que le message reçu contienne le mot “gratuit” ? 3. On suppose que le message reçu contient le mot “gratuit”. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un message indésirable ? 1

Exercice 3 – Garantie (' 8 points). La durée de vie d’une imprimante coûtant 200 e suit une loi exponentielle dont l’espérance est de 2 ans. Le vendeur propose de rembourser l’imprimante si elle tombe en panne moins d’un an après l’achat, et de rembourser la moitié du prix si elle tombe en panne entre un et deux ans après l’achat. NB. La question 5 peut se traiter indépendamment des questions 3 et 4. 1. Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ. Rappeler le calcul de E[X]. 2. On note T la durée de vie de l’imprimante, en années. D’après les hypothèses, quelle est donc sa loi ? 3. On note R la valeur du remboursement (R = 0 si l’imprimante ne tombe pas en panne avant 2 ans). 3.a) Calculer la loi de R (c’est-à-dire les valeurs possibles de R, et leurs probabilités). 3.b) Calculer l’espérance et l’écart-type de R. 4. Au total, 500 imprimantes identiques à la précédente ont été vendues. On note T1 , . . . ,T500 leurs durées de vie, R1 , . . . ,R500 les valeurs des remboursements obtenus par les acheteurs, et S = R1 + · · · + R500 la somme des remboursements. On suppose que T1 , . . . ,T500 sont indépendantes. 4.a) Calculer l’espérance de S, et son écart-type. 4.b) Avec l’inégalité de Tchebychev, donner un majorant de la probabilité que S dépasse 60 000 e. 5. Un autre système de remboursement est proposé : R = 2−bT c × 200, où btc est la partie entière du réel t. Autrement dit, pour tout k ∈ N, si T ∈ [k,k + 1[,

alors R =

200 2k

5.a) Calculer la loi de R. 5.b) Calculer l’espérance de R.

Exercice 4 – QCM rempli au hasard (' 4 points). Lors d’un examen sous forme de questions à choix multiple (QCM), des étudiants doivent répondre à 5 questions. Pour chacune, 3 choix sont proposés, dont un seul est correct. Chaque réponse correcte rapporte 1 point, d’où une note sur 5. 1. Un étudiant décide de répondre au hasard en lançant un dé pour chaque question, afin de choisir chaque réponse avec la même probabilité. On pourra noter Ai l’événement {la i-ième réponse est correcte}, pour i = 1, . . . ,5. 1.a) Quelle est la probabilité pour que l’étudiant ait 5 ? 1.b) Quelle est la probabilité pour que l’étudiant ait 3 ? 1.c) Quelle est la probabilité pour que l’étudiant ait au moins 3 ? 1.d) Quelle est l’espérance de sa note ? (Justifier) 2. Dans la classe, une proportion inconnue p d’étudiants ont répondu au hasard, tandis que les autres ont réfléchi pour répondre. On estime que, parmi les étudiants qui ne répondent pas au hasard, 60 % obtiennent au moins 3 sur 5. Au total, 51 % des étudiants ont obtenu au moins 3 sur 5. Déterminer la valeur de p. 3. On suppose maintenant que chaque mauvaise réponse enlève 0,5 point, et les notes peuvent donc être négatives. Que devient l’espérance de la note d’un étudiant qui répond au hasard ?

2