Exempel: Linjärkombination

Exempel: Linj¨ arkombination Givet vektorerna "

−1 1

v1 =

#

"

och

v2 =

#

2 1

s˚ a illustreras linj¨ arkombinationerna y = x1 v 1 + x 2 v 2 f¨ or skiftande v¨ arden p˚ a x1 och x2 av

3v + v — 2 2 1

3v1 w

3v2 2v2

2v1

u

v1

v2 0

v1 — v2 —v2

— 2v1 + v2

—v1

— 2v2

— 2v1

Best¨ am v¨ arden p˚ a x1 och x2 s˚ a att "

|

−7/2 2

#

{z =w

}

"

= x1

−1 1

#

| {z } =v 1

"

+ x2

2 1

#

| {z } =v 2

Vektorekvationer Vektorekvationen x 1 a 1 + x2 a 2 + · · · + x n a n = b som talar om vilka linj¨ arkombinationer av a1, a2, . . . , an som ger vektorn b, har samma l¨ osningar som ekvationssystemet vars ut¨ okade matris ¨ ar 

 a1 a2 . . . an b .

Speciellt g¨ aller att b endast kan bildas av linj¨ arkombinationen om ekvationssystemet ¨ ar l¨ osbart.

Linj¨ ara h¨ oljet Definition Om v 1, v 2, . . . , v p alla tillh¨ or Rn, s˚ a ben¨ amns m¨ angden av alla linj¨ arkombinationer av v 1, v 2, . . . , v p f¨ or det linj¨ ara h¨ oljet av vektorerna v 1, v 2, . . . , v p med beteckning Span{v 1, v 2, . . . , v p}.

Dvs det linj¨ ara h¨ oljet ¨ ar alla vektorer som kan skrivas p˚ a formen c1 v 1 + c2 v 2 + · · · + c p v p . Observera att 0 alltid ing˚ ar i det linj¨ ara h¨ oljet.

Exempel Linj¨ ara h¨ oljet av tv˚ a vektorer i R3, dvs Span(u, v):

x3

5u 3u u v

2v

3v

x1 x2

Matris-vektor-multiplikation Om A ¨ ar en m × n-matris (dvs m rader och n kolonner), med kolonner a1, a2, . . . , an, dvs A=

h

a1 a2 . . . an

i

ar vektorn och x ∈ Rn ¨    x= 

x1 x2 ... xn

    

s˚ a definierar vi produkten Ax enligt: 



x  1    x  Ax = a1 a2 . . . an  ..2   .  xn = x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n dvs som en linj¨ arkombination av kolonnerna i A med elementen i x som vikter.

Matrisekvationen Ax = b Sats 3: Matrisekvationen Ax = b har samma l¨ osningar som vektorekvationen x 1 a 1 + x2 a 2 + · · · + x n a n = b och d¨ armed ocks˚ a samma l¨ osningar som det linj¨ ara ekvationssystem som har ut¨ okad matris 

 a1 a2 . . . an b

Sats 4: Existens av l¨ osning L˚ at A vara en m × n-matris. D˚ a ¨ ar de f¨ oljande p˚ ast˚ aendena ekvivalenta, dvs om ett ¨ ar sant s˚ a¨ ar alla sanna 1. Ekvationen Ax = b har l¨ osning f¨ or alla h¨ ogerled b ∈ Rm 2. Det linj¨ ara h¨ oljet av kolonnerna i A ¨ ar lika med m¨ angen av alla vektorer av den dimensionen, dvs om A = [ a1 a2 . . . an ] s˚ a ¨ ar Span{a1, a2, . . . , an} = Rm 3. A har en piv˚ aposition p˚ a varje rad.

Sats 5: R¨ akneregler f¨ or Ax Om A ¨ ar en m × n-matris, u, v ∈ Rn och c ∈ R, d˚ a g¨ aller 1. A(u + v) = Au + Av 2. A(c u) = c(Au)

Homogena ekvationssystem Ett linj¨ art ekvationssystem ¨ ar homogent om h¨ ogerledet endast best˚ ar av nollor, dvs A x = 0.

Exempel:   









2 −4 −3 x1 0     4 −6 −5   x2  =  0  −2 0 1 x3 0

vilket ¨ ar samma som   

2x1 − 4x2 − 3x3 = 0 4x1 − 6x2 − 5x3 = 0   −2x + x3 = 0 1

Homogena ekvationssystem har alltid den triviala l¨ osningen x = 0. Icke-triviala l¨ osningar existerar om och endast om det finns fria variabler.

Inhomogena ekvationssystem Sats 6: L¨ osningsm¨ angd Om A x = b ¨ ar ett l¨ osbart ekvationsar en l¨ osning, system, och xp ¨ s˚ a ges alla l¨ osningar av x = xp + xh, d¨ ar xh ¨ ar alla l¨ osningar till det homogena ekvationssystemet A x = 0.