Exercice 1 [preuve des conjectures] : On note ( un) la suite donnant

Exercice 1 [preuve des conjectures] : On note (un ) la suite donnant la somme disponible au mois numéro n. Donc u0 = 5000. 1) Calculer u1 , u2 , u3 2) Exprimer un+1 en fonction de un . 3) Exprimer vos conjectures avec un . 4) On pose vn = un − 2572. Montrer que la suite (vn ) est géométrique. 5) En déduire un en fonction de n. 6) Démontrer enfin vos conjectures.

Exercice 2 : Notons T le taux de dépense de cette personne et S son salaire. T est sous forme de fraction entre 0 et 1 et non en pourcentage : T = 0, 7 et S = 1800, 4 ci-dessus. (un ) est alors la suite définie par un+1 = t × un + S, et, (vn ) est telle que vn = un + a où a est un réel que l’on déterminera plus tard. 1) Quel est le lien entre t et T ? 2) Déterminer la valeur de a pour que (vn ) soit géométrique de raison t. 3) Exprimer un en fonction de n, S et t et en déduire lim un . n→+∞

4) Ce modèle est-il plausible ?

Exercice 3 : Dans une localité, on suppose que chaque jour, il fait soit sec, soit humide. On fait l’hypothèse que : 5 • s’il fait sec un jour, alors il fera encore sec le lendemain avec la probabilité . 6 2 • s’il fait humide un jour, alors il fera encore humide le lendemain avec la probabilité . 3 Un certain dimanche (choisi jour 0), il fait sec. On s’intéresse à l’évolution météorologique des jours suivants. Pour tout entier n ≥ 0, on note sn la probabilité pour que le jour n, il fasse sec, et hn la probabilité pour que le jour n, il fasse humide. 1) Comment peut-on estimer la probabilité qu’il fasse sec un jour donné (par exemple, 10 jours) ? même question pour un jour très loin dans le futur (par exemple, 80 jours) ? 2) Modéliser le passage du jour n au jour n + 1. 3) Exprimer sn+1 et hn+1 en fonction de sn et hn . 4) Avec votre calculatrice ou un ordinateur, calculer s10 et s80 . Comparer ces nombres à votre conjecture du 1).

Exercice 4 : Lire l’énoncé de l’exercice 55 page 127 de votre livre : faire le graphe, donner la matrice de transition et répondre uniquement la question 1). Comment peut-on conjecturer la réponse à la question 2) ?

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Exercice 5 : Lire l’énoncé de l’exercice 60 page 128 de votre livre. Faire le 1). Comment peut-on conjecturer la probabilité qu’Alexis ait la balle à long terme ? Exercice 6 : Lire l’énoncé de l’exercice 75 page 130 et faire le 1). Exercice 7 : L’énoncé figure page 116 de votre livre (problème 5). Compléter éventuellement le graphe et écrire la matrice de transition de ce graphe. Faire les questions du 1) de la partie A. Sur quelle page a-t-on le plus chance de « tomber » quand on clique au hasard et en partant de l’un des sites choisis au hasard ? Exercice 8 [Bac Liban 2016] : Solution page ?? Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l’état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. Pour tout entier naturel n, on note an la probabilité que l’automate se trouve dans l’état A après n secondes et bn la probabilité que l’automate se trouve dans l’état B après n secondes. Au départ, l’automate est dans l’état B. 0, 7 0, 3

A

B

0, 2

0, 8 On considère l’algorithme suivant : Variables : Initialisation : Traitement :

Sortie :

a et b sont des réels a prend la valeur 0 b prend la valeur 1 Pour k allant de 1 à 10 a prend la valeur 0, 8a + 0, 3b b prend la valeur 1 − a Fin Pour Afficher a Afficher b

Répondre par Vrai ou Faux aux deux affirmations ci-dessous : Affirmation 1 : En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10 . Affirmation 2 : Après 4 secondes, l’automate a autant de chances d’être dans l’état A que d’être dans l’état B.

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