Exercice 1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes

Université Claude Bernard - Lyon 1

2016-2017

Master mathématiques appliquées, statistique

Probabilités

TD 4 : Conditionnement

Exercice 1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson de paramètre respectivement λ et µ. 1. Calculer la loi de X + Y . 2. Pour tout entier naturel n, identifier la loi de X sachant {X + Y = n}. Expliciter E(X|X + Y ). Exercice 2. Une usine a produit n robots. Chacun d’eux est défectueux avec une probabilité φ. On fait passer un test à chaque robot. Si le robot est défectueux, alors le test détecte le défaut avec une probabilité δ, sinon aucun défaut n’est détecté. Soit X le nombre de robots défectueux et Y le nombre de robots détectés comme défectueux. On suppose que les robots et les tests sur les robots sont indépendants. 1. Montrer que la probabilité qu’un robot soit défectueux sachant que le test n’a pas détecté de défaut est φ(1 − δ) . 1 − φδ 2. Soit Z le nombre de robots defectueux pour lesquels le test n’a pas détecté de défaut. Quelle est la loi conditionnelle de Z sachant Y ? 3. Montrer que (n − Y )φ(1 − δ) E[X|Y ] = Y + . 1 − φδ Exercice 3. Soit (X, Y ) un couple aléatoire de densité   1 1 2 2 f (x, y) = exp − (x − 2xy + 2y ) . 2π 2 1. Déterminer la densité de Y . 2. Expliciter E(X|Y ). Exercice 4. Calculer la densité conditionnelle et l’espérance de Y sachant X quand la densité de la loi jointe est : 1. f (x, y) = λ2 e−λy pour 0 6 x 6 y < ∞. 2. f (x, y) = xe−x(y+1) pour x, y > 0. Exercice 5. Soit (X, Y ) un couple de densité f : (x, y) 7→ 1x2 +y2 ≤1 /π. 1. Déterminer la loi de X. 2. Déterminer la loi de Y sachant {X = x}. 3. En déduire E(Y |X).

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Exercice 6. Soit (X, Y ) un couple aléatoire gaussien centré de matrice de covariance C   2 1 C= 1 3 1. Déterminer les densités de (X, Y ) et X. 2. En déduire, pour tout réel x fixé, la loi conditionnelle de Y sachant {X = x}. 3. Expliciter E(Y |X). 4. Déterminer un réel λ tel que cov(Y − λX, X) = 0. 5. Avec ce choix de λ, montrer que Y − λX est indépendant de X et en déduire E(Y |X).

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