Exercices - Christian Ohn

Université de Valenciennes F.L.L.A.S.H.

Remise à niveau en mathématiques Année 2016–2017

Exercices de géométrie

9. Vrai ou faux ? (a) Un quadrilatère qui a deux diagonales perpendiculaires est un losange. (b) Un parallélogramme qui a deux diagonales de même longueur est un rectangle. (c) Un rectangle dont deux côtés sont égaux est un carré.

Triangles et quadrilatères

(d) Un parallélogramme dont deux côtés sont égaux est un losange. 1. Démontrer que dans un triangle, la somme des angles vaut 180◦ . (Indication : tracer la parallèle à un côté passant par le troisième sommet, puis utiliser des égalités d’angles.) 2. (a) Démontrer que les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes. (Indication : appeler O le point d’intersection de deux des trois médiatrices, et démontrer que O se trouve alors sur la troisième.)

10. Dans la figure suivante, (ABCD) et (DEBF ) sont des parallélogrammes. Que peut-on dire de (AECF ) ? E A

B

(b) Même question pour les trois bissectrices. 3. Où se situe l’orthocentre d’un triangle rectangle ? D

4. Déterminer la nature d’un triangle lorsque

C F

(a) une médiatrice est confondue avec une hauteur.

11. On considère un triangle (ABC) isocèle en A.

(b) une bissectrice est confondue avec une hauteur. (c) le centre de gravité est confondu avec l’orthocentre. 5. Démontrer qu’une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire. 6. Soit (ABC) un triangle avec AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm. (a) Quelle est la nature de ce triangle ?

(a) Soit S le symétrique du point A par rapport à la droite (BC). Quelle est la nature du quadrilatère (ABSC) ? (b) Soit M le symétrique de B par rapport à A, et N celui de C par rapport à A. Quelle est la nature du quadrilatère (M N BC) ? 12. (a) On considère deux cercles concentriques, [AB] un diamètre du premier, [M N ] un diamètre du deuxième. Quelle est la nature du quadrilatère (AM BN ) ?

(b) Calculer son aire. (c) Quel est le point de [BC] le plus proche de A ?

(b) On considère deux diamètres [AB] et [M N ] d’un même cercle. Déterminer la nature du quadrilatère (AM BN ).

(d) Déterminer la distance de A à ce point. 7. Parmi les dessins codés ci-dessous, volontairement imprécis, lesquels représentent un parallélogramme ? (Préciser éventuellement : rectangle, losange, carré.)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

8. (a) Soit (EF GH) un losange, O l’intersection de ses diagonales et A le point tel que (EAF O) soit un parallélogramme. Donner la nature la plus précise possible de (EAF O).

Théorème de Thalès 13. Dans un triangle (ADE), on prend B sur [AD] et C sur [AE] avec AE = 78 cm, AD = 65 cm, AB = 45 cm, CE = 24 cm et BC = 72 cm. Les droites (BC) et (DE) sont-elles parallèles ? Calculer DE. O 14. Dans la figure ci-contre, I est le milieu de [OA], (AB)//(IJ) et (JK)//(BC). DémonI trer que les droites (IK) et (CA) sont paralJ lèles. (On pourra commencer par démontrer K A que J est le milieu de [OB] et que K est le milieu de [OC].) B C 15. Soient (AEF ) un triangle, B le milieu de [AE] et C celui de [AF ]. Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle (ABC) et J celui du cercle inscrit dans le triangle (AEF ). d et AEF d sont égaux. En déduire que les ABI d et AEJ d sont (a) Démontrer que les angles ABC aussi égaux. (b) Démontrer que I est milieu de [AJ]. 16. Soient (M N P ) un triangle, I, J, K les milieux respectifs des côtés [M N ], [M P ] et [N P ], et H l’orthocentre du triangle (IJK).

(b) Même question en supposant que (EF GH) est un rectangle.

(a) Démontrer que (IH) est la médiatrice de [M N ].

(c) Même question en supposant que (EF GH) est un carré.

(b) Démontrer que H est le centre du cercle circonscrit au triangle (M N P ).

1

2

17. On a tracé ci-contre la droite (DE) perpendiculaire à la droite (BD). Les points A, C et E sont alignés. On donne AC = 6 cm, AB = 3, 6 cm, BC = 4, 8 cm et CD = 3, 6 cm. Quelle est la nature du triangle ABC ? Calculer DE et CE.

A

Solides

D

25. On a peint la moitié d’un cube comme indiqué sur le dessin.

C

B

E C C′

18. Dans la figure ci-contre, les cercles C et C ′ ont pour centre O. Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

A O C

En découpant ce cube suivant certaines arêtes et en mettant à plat, un élève a obtenu le patron 1. La face complètement peinte du cube est représentée. Colorier les parties des carrés de ce patron qui correspondent aux faces du cube à moitié peintes.

D B

Démonstrations de quelques propriétés de base 19. Le but de cet exercice est de démontrer que les trois hauteurs d’un triangle (ABC) sont concourantes. À cet effet, on trace la parallèle à chaque côté passant par le sommet opposé, de sorte à obtenir un autre triangle plus grand (A′ B ′ C ′ ), avec A sur [B ′ C ′ ], B sur [A′ C ′ ] et C sur [A′ B ′ ].

Refaire le même travail pour les patrons ci-dessous, obtenus en découpant le cube peint suivant d’autres arêtes.

(a) Quelle est la nature des quadrilatères (BCAC ′ ) et (BCB ′ A) ? (b) En déduire que A est le milieu du segment [B ′ C ′ ]. Que représente la hauteur de (ABC) issue de A pour le triangle (A′ B ′ C ′ ) ? (c) Conclure. 20. Le but de cet exercice est de démontrer que les trois médianes d’un triangle (ABC) sont concourantes en un point situé aux deux tiers sur chacune d’elles. On note A′ , B ′ , C ′ les milieux de [BC], [AC], [AB]. (a) Les droites (AA′ ) et (BB ′ ) se coupent en un point G. Soit I le symétrique de G par rapport à A′ et J celui de G par rapport à B ′ . Déterminer la nature de (AGCJ) et de (BGCI), puis celle de (ABIJ). (b) Démontrer que AG = 2 GA′ et BG = 2 GB ′ ; en déduire les valeurs de

AG AA′

et de

BG . BB ′

(c) Conclure.

26. (a) Voici un patron de cube : 3

4

1

2

5

6

7

14

13

10

9

8

12

11

21. Démontrer que les six caractérisations d’un parallélogramme sont équivalentes, en montrant les implications suivantes : (P1 ) ⇒

(P12 ) ⇒ (P5 )

⇑

⇓

(P4 ) ⇐

(P3 )

⇐ (P2 )

b = C) b sont 22. Démontrer que les deux caractérisations d’un triangle isocèle (AB = AC et B équivalentes. (Indication : considérer un «autre» triangle (A′ B ′ C ′ ) défini par A′ = A, B ′ = C, C ′ = B, et utiliser des critères d’égalité.) 23. Démontrer l’équivalence (AA′ )//(BB ′ ) ⇐⇒ les critères de similitude des triangles.

OB OA

=

OB ′ OA′

du théorème de Thalès, en utilisant

Quels sont les sommets du patron qui se recollent quand on reconstitue le cube ?

24. Démontrer les deux théorèmes de la droite des milieux, en utilisant le théorème de Thalès.

3

4

(b) On veut construire une boîte en forme de parallélépipède ouvert. Il doit donc manquer une face. En revanche, le fond, c’est-à-dire la face opposée à l’ouverture, doit être doublé pour être plus solide. Parmi les propositions suivantes, indiquer les bons patrons.

28. Un dé est donné. (Il s’agit d’un dé usuel, les six faces sont marquées de 1 à 6 points). Voici cinq représentations de ce dé, mais attention : deux d’entre elles sont erronées, les trois autres sont correctes. Quelles sont les représentations erronnées ?

III I

II

IV 27. On a représenté ci-dessous, d’une part le patron d’un cube dont les faces comportent des dessins géométriques, d’autre part 5 représentations en perspective de ce cube. On se demande quelles représentations sont correctes.

Cocher la ou les affirmation(s) correcte(s) :

29. Voici huit représentations d’un même dé (dont les six faces sont marquées de 1 à 6 points).

Parmi ces huit représentations, deux sont fausses et les six autres correctes. Parmi les affirmations suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

(a) Aucune des représentations n’est correcte.

(a) Il est possible de déterminer quelles figures sont fausses sans regarder les figures 5 à 8.

(b) La représentation 5 n’est pas correcte.

(b) Parmi les figures 2 et 4, l’une au moins est fausse.

(c) La représentation 1 est correcte.

(c) La figure 4 est fausse.

(d) La représentation 2 est correcte.

(d) Parmi les figures 1, 2 et 3, aucune n’est fausse.

(e) Il y a deux représentations qui sont correctes.

(e) Les faces portant respectivement 6 points et 1 point sont opposées sur le dé en question.

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6

30. Un polyèdre possède 32 faces : 20 hexagones réguliers et 12 pentagones réguliers, disposées exactement comme sur un ballon de football (si ce n’est, bien sûr, que les faces du polyèdre sont planes).

Graphiques 32. Pour sa sortie du dimanche, un cycliste décide de monter la côte située près de chez lui et de redescendre aussitôt par la même route, dès qu’il est arrivé au sommet. Dans la montée, il roule à 20 km/h, dans la descente à 60 km/h. Voici quatre graphes différents censés représenter la distance parcourue par le cycliste en fonction du temps écoulé depuis son départ. (Il ne s’agit donc pas du graphe de la distance qui sépare le cycliste de son point de départ en fonction du temps écoulé depuis le départ.)

(a) Déterminer le nombre d’arêtes de ce polyèdre. (b) Déterminer le nombre de sommets de ce polyèdre. 31. On se propose de recouvrir un assemblage de trois cubes, formant un bloc en forme de "L" (voir le modèle présenté en perspective ci-dessous).

A. Cochez les affirmations vraies.

Les figures géométriques A, B, C, D et E sont découpées dans du papier, et on se demande lesquelles permettent de recouvrir le bloc selon les règles suivantes : — On découpe suivant les segments (extérieurs) en trait plein, uniquement. — On peut plier uniquement suivant des segments (intérieurs) en traits pointillés, mais on n’est pas obligé de plier selon tous ces traits. — Chaque face du solide doit être recouverte une et une seule fois. — Les carrés grisés ou noircis sur les figures doivent correspondre aux carrés noircis ou grisés sur le modèle. Quelles sont les figures qui permettent de recouvrir entièrement le modèle ?

(a) Le graphe A est correct. (b) Le graphe B est correct. (c) Le graphe C est correct.

(d) Le graphe D est correct. (e) Aucun des graphes n’est correct.

B. Cochez les affirmations vraies. (a) Sur l’ensemble de parcours, la vitesse moyenne du cycliste est de 40 km/h. (b) Sur l’ensemble de parcours, la vitesse moyenne du cycliste est strictement supérieure à 40 km/h. (c) Sur l’ensemble de parcours, la vitesse moyenne du cycliste est strictement inférieure à 40 km/h. (d) Sur l’ensemble de parcours, la vitesse moyenne du cycliste est égale à 30 km/h. (e) Il manque des informations pour déterminer cette vitesse moyenne.

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33. Un cycliste habite sur une route rectiligne en très longue pente. Il démarre de chez lui à 6h30 et termine sa promenade chez lui à 8h30. En montée, il roule à vitesse constante, en descente également, mais plus rapidement. On considère pour simplifier que, lorsqu’il fait demi-tour, cela se passe instantanément. Voici cinq graphes qui représentent dans le désordre — l’altitude du cycliste en fonction du temps (entre 6h30 et 8h30) — la distance parcourue par le cycliste en fonction du temps (entre 6h30 et 8h30) — la distance entre le cycliste et son domicile en fonction du temps (entre 6h30 et 8h30) — la distance entre le cycliste et le sommet de la montagne en fonction du temps (entre 6h30 et 8h30) — la vitesse du cycliste en fonction du temps (entre 6h30 et 8h30) Attribuer à chaque graphique les données qu’il représente. 34. Deux coureurs à pied quittent en même temps une ville A et se rendent à une ville B par une route rectiligne. Leur course est caractérisée par le graphique ci-dessous, qui indique pour chacun des coureurs la distance qu’il a parcourue en fonction du temps écoulé depuis son départ, et jusqu’à son arrivée en B :

Cocher la ou les affirmation(s) correcte(s) : (a) L’un des coureurs a parcouru plus de kilomètres que l’autre. (b) L’un des coureurs court à vitesse constante. (c) L’un des coureurs court toujours plus vite que l’autre. (d) L’un des coureurs arrive avant l’autre en B. (e) Les deux coureurs ont la même vitesse moyenne.

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