Exercices sur le TD3

Unité d’enseignement : L6S2TC-Exercices TD3

Statistiques

Exercices sur le TD3 Variables aléatoires – Exercice d’introduction Expérience aléatoire :

1 \ 2 1 2 3 1 (1;1) On lance deux dés non truqués, on s’intéresse 2 aux numéros sur les faces supérieures de chacun 3 4 des deux dés 5 6 1) Décrire l’univers  associé à cette expérience aléatoire avec le tableau ci-contre.

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2) Que vaut card  ? 3) On désigne par S la somme des numéros obtenus sur les deux dés. Quel est l’ensemble des valeurs possible pour S ? décrire cet ensemble S est appelée une variable aléatoire, l’ensemble S des valeurs possibles est appelé univers image associé à cette variable aléatoire, on le note S() 4) On considère l’événement « Obtenir une somme égale à 2 », cet événement est alors noté S = 2, calculer P(S = 2) puis de la même façon P(S = 3) jusqu’à P(S = ….). Quand on calcule la probabilité de chaque événement S = 2, S = 3 etc.… on dit que l’on détermine la loi de probabilité de la variable aléatoire S. 5) A chaque événement (S = k) correspond une probabilité P(S = k), on appelle espérance mathématique de la variable aléatoire le nombre noté E(S) défini par :

E ( S )  2  P( S  2)  3  P( S  3)  .....  ...  P( S  ...) Calculer l’espérance mathématique de S. 6) Le nombre suivant noté V(S) est appelé variance de la variable aléatoire : V(S) = [2 – E(S)]² ×P(S = 2) + [3 – E(S)]² ×P(S = 3) + ….. + [k – E(S)]² ×P(S = k) Calculer la variance de S. 7) La racine carrée de ce nombre noté : (S) est appelée écart type de la variable aléatoire S. Calculer l’écart type de S. 8) Calculer la probabilité que la somme S soit inférieure ou égale à x dans chaque cas : (on note cette probabilité F(x) = P(S  x), la fonction F ainsi définie est appelé fonction de répartition de S, elle est définie sur ). a) x < 2 c’est à dire x  ] - ; 2[ b) 2  x < 3 c’est à dire x  [2 ; 3[ c) 3  x < 4 c’est à dire x  [3 ; 4[ d) …. etc… jusqu’à 12  x c’est à dire x  [12 ; +[ 9) Construire la courbe représentative de la fonction F.

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Exercice 1 : Soit X, une variable aléatoire dont la loi est donnée par le tableau suivant : xi -2 -1 0 1 pi 0,2 0,1 0,15 0,05 1°) Calculer E(X), var(X). Donner la fonction de répartition de X. 2°) Déterminer la loi de Y = IXI puis calculer E(Y) et var(Y) 3°) Déterminer la loi de Z = 2X+5 puis calculer E(Z) et var(Z). Exercice 2 : Soient X et Y deux variables indépendantes de lois : X 0 0,5 Y

-1 0,4 Déterminer la loi de X+Y et celle de XY.

2 0,4

3 0,1

1 0,2

2 0,3

2 0,3

4 0,3

Exercice 3 :

Une loterie comporte 20 billets dont 2 gagnants, l’un pour un lot de 100 €, l’autre pour un lot de 60 €. On achète trois billets. A. Calculer les probabilités suivantes en supposant tous les tirages équiprobables. 1°) A: ’’gagner les 2 lots’’ 2°) B: ‘’gagner le lot de 100 € seulement’’ 3°) C: ‘’gagner le lot de 60 € seulement ‘’ 4°) D: ‘’ne rien gagner ‘’. B. 1°) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à tout ensemble de trois billets associe la somme gagnée. 2°) Calculer l’espérance E(X). 3°) Le prix de vente du billet étant fixé à E(X)/3, vérifier que la vente des vingt billets permet d’obtenir la somme mise en jeu. Exercice 4 : On considère le jeu suivant : le joueur paie 3 euros pour jouer. Ensuite, il lance trois dés équilibrés. Pour chaque "Pile" qu’il obtient, il gagne 2 euros On désigne par X le nombre de "Pile" obtenus et par Y le gain (algébrique) du joueur. 1°) Exprimer Y en fonction de X. 2°) Donner la loi de X puis calculer E(X) et V (X): 3°) Déterminer E(Y) et V (Y): Le joueur est-il gagnant en moyenne ? 4°) Expliciter la loi de Y.

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