Exercises : Random Experiments, Sample Spaces and Probability

CHAPITRE II NOTIONS DE PROBABILITES II.1. Un exemple : le poker Distribuer une main de poker (5 cartes sur 52) revient à tirer au hasard 5 cartes parmi 52. On appelle expérience aléatoire une telle expérience dont l’issue est soumise au hasard. Une main ainsi effectivement tirée au hasard est une réalisation de l’expérience, appelée une épreuve ou expérience élémentaire. Pour permettre l’analyse des mains distribuées on doit d’abord identifier l’ensemble des mains possibles. L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelé ensemble fondamental de l’expérience aléatoire ou univers des possibles, ou espace des épreuves, (anglais : sample space), dénoté par Ω ou E ou S. Pour le poker c’est l’ensemble de toutes les mains possibles. Il s’agit bien entendu ici de l’ensemble de tous les sous-ensembles à 5 éléments d’un ensemble à 52 éléments. Le nombre d’épreuves possibles est alors donné par le coefficient binomial C552 (voir Ch. I), i.e. card E = C552 = 2 598 960. Un événement aléatoire A est représenté par un sous-ensemble, également noté A, de l’ensemble fondamental. Par exemple, l’événement aléatoire A = « la main est un brelan » est décrit par l’ensemble de toutes les mains contenant trois cartes de même hauteur et deux autres cartes de hauteurs différentes. Les opérations logiques sur les événements vont être des opérations (booléennes) sur les parties d’un ensemble. Par exemple, l’événement aléatoire Ac = « la main n’est pas un brelan » va être décrit par le complémentaire de A dans l’ensemble fondamental. Ceci indique pourquoi les notions de théorie des ensembles sont importantes. Pour attribuer une probabilité à l’événement A = « la main est un brelan » on fait l’hypothèse que chaque main à la même probabilité ! Ainsi pour chaque événement A, la probabilité de A doit être naturellement donnée par la somme de probabilités des mains qui constituent A, ce qui s’écrit : Probabilité (A) = card A/card E = nombre de cas favorable/ nombre de cas possibles Il y a 54912 mains qui sont un brelan. On peut ainsi calculer la probabilité d’avoir un brelan Probabilité (A = « la main est un brelan ») = 54 912/2 598 960 ≅ 0.0211.

Dans cette approche axiomatique on a attribué a priori une probabilité pour chaque main de poker. Dans des expériences réelles avec des cartes ou des simulations numériques on observe que la fréquence d’apparition de A dans une longue série d’expérience converge vers cette probabilité. Plus précisément, on répète l’expérience aléatoire (indépendamment) N fois. La fréquence d’apparition d’un événement A est définie par : νN(A) = nombre de fois où A est réalisé/nombre total d’expériences Ici, on distribue, par exemple, 1 million de fois les cartes et on compte la fréquence des brelans. Dans la loi des grands nombres nous démontrerons que limN→∞νN(A) = Probabilité (A) pour la probabilité définie ci-dessus. Ceci pourrait constituer une définition de « type fréquentiste » de la probabilité de A.

II.2. La définition du modèle probabiliste II.2.a. L’ensemble fondamental Dans une expérience aléatoire, on commence par recenser l’ensemble de tous les résultats possibles de l’expérience. Cet ensemble non vide noté E (ou quelquefois Ω ou S) est l’ensemble fondamental ou l’univers des possibles ; ses éléments ω sont appelés épreuves. L’ensemble fondamental E peut-être fini, dénombrable ou infini non-dénombrable. Exemples : 1. 2. 3. 4. 5.

6.

7.

On jette un dé : E = {1,2,3,4,5,6}, card E = 6. On jette une pièce : E = {P, F}, card E = 2. On jette 3 dés : E = {(k1, k2, k3) : kj ∈ {1,2,3,4,5,6} pour j = 1,2,3} = {1,2,3,4,5,6}3, card E = 63 = 216. On jette 4 pièces : E = {P, F}4 = 24 = 16. On tire 5 cartes parmi 52 (Poker) : E = ensemble de toutes les parties à 5 éléments d’un ensemble à 52 éléments = ensemble de toutes les mains possibles, card E = C552 = 2 598 960. On tire k boules (sans remise) dans une urne qui en contient n ≥ k boules numérotées 1 à n. E = ensemble de toutes les parties à k éléments d’un ensemble à n éléments, card E = Ckn . On tire k boules (avec remise) dans une urne qui en contient n boules numérotées 1 à n. E = ensemble de toutes les tuples à k éléments d’un ensemble à n éléments, card E = nk.

II.2.b. La notion d’événement Un événement aléatoire A est représenté par un sous-ensemble, également noté A, de l’ensemble fondamental. Un ω ∈ A est un résultat possible. Si ω est une épreuve et ω ∈ A on dit que l’ événement se réalise dans l’épreuve ω. L’ensemble vide ∅ est appelé événement impossible et l’ensemble fondamental E est un événement appelé événement certain. Exemples : 1. 2.

On jette un dé. L’ événement «Le résultat est pair » est représenté par l’ensemble A = {2,4,6} Poker: L’ événement «La main est un full» est représenté par l’ensemble A ={{c1,c2,c3,c4,c5} ∈ E dont la main {c1,c2,c3,c4,c5} est un full}

On utilise parfois simultanément le langage de la théorie des ensembles et celui des probabilités. Le dictionnaire suivant donne la correspondance entre les notions fréquemment utilisées. Théorie des ensembles A sous-ensemble A = ∅ ensemble vide A = E ensemble fondamental A⊂B A ∩ B intersection A ∪ B réunion Ac complémentaire de A A \ B différence A ∆ B différence symétrique A ∩ B = ∅ ensembles disjoints (Ai)i∈I partition de E

Probabilités A événement A événement impossible E événement certain A entraîne B A et B, conjonction de A et B A ou B, au moins un de A et B Contraire de A A et contraire de B Exactement un événement de A ou B A et B sont des événements incompatibles (Ai)i∈I système complet d’événement

Remarque (à éviter en première lecture) : Pour permettre l’analyse d’une expérience aléatoire on doit considérer a priori une classe A d’événements. Dans les cas élémentaires comme dans l’exemple du poker, cette classe A est la plupart du temps égale à l’ensemble de tous les sous-ensembles de E, notée ℘(E), i.e. tout sous-ensemble peut être considéré comme événement. En particulier, tout A à un élément, A = {ω}, est appelé événement élémentaire. Dans le cas général, cette classe A d’événements doit satisfaire les propriétés suivantes: Elle contient E et elle est stable par complémentation et par réunion dénombrable. Un tel A est appelé tribu sur l’ensemble fondamental E. Dans le cours présent nous ne discutons pas cette partie de la construction du modèle probabiliste.

II.2.c. La notion de probabilité Cas discret (fini ou dénombrable) Si E est fini, de cardinal N , i.e. E = {ω1, ω2,.., ωN}, toute probabilité sur E est déterminée par la donnée de N nombres réels pi compris entre 0 et 1 et de somme 1 : p1 + p2 +…+pN = 1. En effet, si on pose pi = probabilité que ωi soit réalisé, il est clair que ces deux propriétés sont satisfaites et que l’on peut calculer la probabilité de tout événement A par la formule très simple P( A) =

∑

i:ωi ∈A

pi

On vérifie sur cette formule les propriétés fondamentales suivantes de P : 1. P(A) ∈ [0,1] 2. P(E) = 1 3. Si A et B sont des événements incompatibles, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Ces trois propriétés vont servir d’axiomes dans le cas général où E n’est pas fini. L’exemple fondateur de la théorie est le cas équiprobable (pour E fini) : tous les résultats possibles (i.e. tous les ωi ) ont la même probabilité pi = 1/N = 1/card E. C’est le cas d’une distribution uniforme discrète. Donc dans ce cas équiprobable la probabilité d’un événement A est donnée par : P(A) = card A/card E = nombre de cas favorable/ nombre de cas possible

Exemple 1 : On jette un dé honnête. Donc l’ensemble fondamental est E = {1,2,3,4,5,6} et P({i}) = 1/6 pour i = 1,2,3,4,5,6. L’ événement «Le résultat est pair », donné par A = {2,4,6}, a pour probabilité P(A) = ½. Exemple 2: (Galilée, 1564-1642) On compte la somme des valeurs de trois dés jetés simultanément. Il y a six configurations différentes qui permettent d'obtenir 9 ou 10: •

pour 9 : (6,2,1), (5,3,1), (5,2,2), (4,4,1), (4,3,2) et (3,3,3),

•

pour 10 : (6,3,1), (6,2,2), (5,4,1), (5,3,2), (4,4,2) et (4,3,3).

Soit S la somme obtenue, peut-on en déduire que P(S=9) = P(S=10) ? On ne peut pas en déduire que P(S=9)=P(S=10) car les configurations ne sont pas équiprobables. Il faut tenir compte de l'ordre et donc des permutations possibles de chaque configuration. Ainsi (3,3,3) ne "compte qu'une fois" alors que (5,2,2) "compte triple" et (5,3,1) "compte six fois". On obtient ainsi: P(S=9) = 25/216 et P(S=10) = 27/216

Cas général L’ensemble fondamental E n’est plus supposé fini ou dénombrable. On ne définit pas la probabilité de chaque ω de E. On définit plutôt directement la probabilité de tous les événements. Ceci demande en général la construction d’une tribu A (voir Ch. II.2.b.). Définition : Une distribution de probabilité (une loi de probabilité, une mesure de probabilité) est une application P qui associe à tout événement A un nombre P(A), appelé probabilité de A. P doit satisfaire les axiomes suivants : A1 : P(A) ∈ [0,1] A2: P(E) = 1 A3: Si (Ai) sont des événements incompatibles deux à deux, i.e. Ai ∩ Aj = ∅ si i ≠ j, alors ∞

∞

i =1

i =1

P(∪ Ai ) = ∑ P( Ai ) Nous appelons espace probabilisé tout couple (E, P) ou E est un ensemble fondamental et P est une distribution de probabilité sur E. Là aussi, si on veut être plus précis, il faut ajouter la tribu A, donc un espace probabilisé est le triplet (E, A, P). Un événement de probabilité 1 est dit presque sûr (en abrégé – p.s.).

II.3. Propriétés d’une distribution de probabilité Dans la suite du cours nous allons adopter une approche axiomatique qui consiste à déduire des axiomes précédents les propriétés des distributions de probabilités. II.3.a. Propriétés élémentaires Donnons une liste de propriétés élémentaires d’une distribution de probabilité. Théorème : Soient (E, P) un espace probabilisé et A, B, (Ai) des événements quelconques. P satisfait les propriétés suivantes : 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 2. P(E) = 1 3. P(∅) = 0 4. Si A et B sont incompatibles, i.e. A ∩ B = ∅, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 5. P(Ac) = 1 - P(A) 6. Si A entraîne B, i.e. A ⊆ B, alors P(A) ≤ P(B) et P(B \ A) = P(B) - P(A) 7. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), et par conséquent P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) ∞

∞

i =1

i =1

8. Soit (Ai)i∈ IN une suite d’événements, alors P(∪ Ai ) ≤ ∑ P( Ai ) (inégalité de Boole) ∞

9. Soit (Ai)i∈ IN une suite croissante, i.e. Ai ⊆ Ai+1, alors limi→∞ P( Ai ) = P(∪ Ai ) . i =1

∞

10. Soit (Ai)i∈ IN , une suite décroissante i.e. Ai ⊇ Ai+1, alors limi→∞ P( Ai ) = P(∩ Ai ) . i =1

II.3.b. Probabilités de réunions d’ensembles : Règle d’inclusion-exclusion La règle d’inclusion-exclusion s’applique à une suite (Ai) 1 ≤ i ≤ N d’événements pour lesquels on connaît a priori les probabilités des conjonctions d’événements. On peut ainsi calculer la probabilité de A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ AN ,i.e. la probabilité que « au moins l’un des Ai est réalisé » . Théorème (Formule d’inclusion-exclusion) : Soient (E, P) un espace probabilisé et (Ai) 1 ≤ i ≤ N une suite d’événements. Alors, la formule d’inclusion-exclusion s’écrit : 1. dans le cas de deux événements P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 ∩ A2) 2. dans le cas de trois événements P(A1 ∪ A2 ∪ A3) =

P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1 ∩ A2) - P(A1 ∩ A3) - P(A2 ∩ A3) + P(A1 ∩ A2 ∩ A3)

3. dans le cas général N  N P  ∪ Ai  = ∑ P ( Ai ) − ∑ P ( Ai1 ∩ Ai2 ) + ∑ P ( Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ) + ... i1