• Expériences indépendantes. • Variables aléatoires réelles sur un

2016/2017

BCP ST 1B

Colles de mathématiques - Semaine 18 du 27/02/17

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Expériences indépendantes.

Dans un exercice avec des expériences indépendantes, on commence par dénir des événements de la forme Ak : " ....... au k−ième lancer", " ....... au k−ième tirage" ... permettant d'utiliser l'indépendance. Cas particulier de n expériences identiques et indépendantes. (Pas encore la loi binomiale).

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Variables aléatoires réelles sur un univers ni.

Système complet d'événements associés à une variable aléatoire. Dénition de la loi de probabilité d'une variable aléatoire X . (représentation graphique ) Fonction de répartition d'une loi, d'une variable aléatoire, propriétés. (représentation graphique ) Espérance mathématique d'une variable aléatoire (deux dénitions équivalentes ). Linéarité. X

E(X) =

X(ω)P ({ω}) =

ω∈Ω

Théorème de transfert. E(ϕ(X)) =

X

X

x P ([X = x])

x∈X(Ω)

ϕ(x)P ([X = x])

x∈X(Ω)

Variance. Proposition : V (aX + b) = a2 V (X).

Formule de K÷nig-Huygens.

Exemples de lois : Variable certaine, de Bernoulli, uniforme, binomiale et hypergéométrique. Connaître l'espérance et la variance de ces lois. (sauf la variance de l'uniforme et de l'hypergéométrique ) Approximation d'une loi hypergéométrique par une loi binomiale. Inégalité de Markov. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. (Démonstrations ) •

Simulations numériques .

Doivent-être connues : les fonctions du module random suivantes : random()

randint()

choice()

shuffle()

Simulations des expériences classiques : Lancers d'un ou plusieurs dés. Lancers d'une ou plusieurs pièces. Tirages successifs dans une urne avec ou sans remise. Simulations des lois usuelles. ( B(p), U ([[a; b]]) , B(n, p), H (N, n, p)) Simulation d'une loi quelconque

valeurs probabilités

def simulation(valeurs,probabilites): Y = random() F = probabilites[0] i = 0 while F < Y : i += 1 F += probabilites[ i ] return valeurs[ i ]

x0 p0

x1 p1

··· ···

xn−2 pn−2

xn−1 pn−1

# la boucle while cherche le premier i pour lequel # p0 + p1 + ... + pi-1 < Y