Experimentalphysik 2 - Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

Ferienkurs

Experimentalphysik 2 Sommer 2014 Vorlesung 1

Thema: Elektrostatik

Technische Universit¨at M¨unchen

1

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

Inhaltsverzeichnis 1

Elektrostatik

3

1.1

Elektrische Ladungen und Coulomb-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Elektrostatisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Leiter im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6

Dielektrika im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Technische Universit¨at M¨unchen

2

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

1

Elektrostatik

1.1

Elektrische Ladungen und Coulomb-Gesetz

Grundlagen: • Es gibt zwei verschiedene Arten von Ladungen: Positive und negative; Unterschied durch . . . . . . Krafteinwirkung aufeinander. . . . Ablenkung in elektrischen und magnetischen Feldern. • Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, solche mit entgegengesetzten Vorzeichen ziehen sich an. • Ladungen sind immer an massive Teilchen gebunden. • Alle in der Natur vorkommende Ladungen Q sind ganzzahlige Vielfache der Elektronenladung1 . • Die Maßeinheit der Ladung: [Q] = 1Coulomb = 1C = 1A s • In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtladung zeitlich konstant. • Ein Ladungstransport stellt einen elektrischen Strom dar. Ein Ladungstransport ist immer mit einem Massentransport verbunden. Coulomb-Gesetz: Die Kraft, die zwischen zwei Ladungen wirkt, wird mit dem Coulomb-Gesetz beschrieben: F~ =

Q1 · Q2 ~r 1 · · 4π0 |~r| r2

(1)

Hierbei ist 0 = 8.854 · 10−12 A2 s4 kg−1 m−3 die Dielektrizit¨atskonstante.

1.2

Das elektrische Feld

Die Kraft, die eine Ladung Q im Nullpunkt des Koordinatensystems auf eine Punktladung q aus¨ubt ist: ~ r) = Q · q · ~r F(~ (2) 4π0 r2 |~r| Das elektrische Feld, dass von der Ladung Q erzeugt wird, ist dann wie folgt definiert: ~ ~ r) = F(~r) = Q · ~r E(~ q 4π0 r2 |~r| 1 Ausgenommen

(3)

sind die Bausteine der Hadronen, die Quarks. Diese existieren aber nicht als freie Teilchen.

Technische Universit¨at M¨unchen

3

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

mit der Dimension [E] = 1V m−1 . Definitionsgem¨aß ist dann die Kraft, die auf die Ladung q wirkt: F~ = q · E~

(4)

Bei mehreren Ladungen Qi an den Orten ri ergibt sich das elektrische Feld durch Vektoraddition: y ~r − ~r1

Q1

~r1

~r

q

~r − ~r2 ~r − ~r3 Q2

~r2

Q3 x

~ r) = E(~

N X

~r − ~ri Qi · 4π0 |~r − ~ri |3

=

i=1

(5)

Kontinuierliche Ladungsverteilung: Außer Punktladungen gibt es auch kontinuierliche verteilte Ladungen mit einer r¨aumlichen Ladungsdichte %(~r). Diese ist als Ladung pro Volumeneinheit definiert. Die Gesamtladung ist somit: Z Q=

%(~r) dV

(6)

V

Die Kraft zwischen der gesamten Ladung Q und q ist dann: ~ r) = F(~

q 4π0

Z V

~ − ~r R %(~r) dV ~ − ~r|3 |R

(7)

Entsprechend ergibt sich f¨ur Fl¨achen bzw. Linien die Flachen- (σ(~r)) bzw. die Linienladungsdichte (λ(~r)): Z Z Q= σ dA bzw. Q = λ dL (8) A

Technische Universit¨at M¨unchen

L

4

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

Feldlinien: Das elektrische Feld kann durch Feldlinien veranschaulicht werden: Die Richtung ist durch die

Abbildung 1: Kugelf¨ormiges Coulombfeld einer positiven und negativen Punktladung. Kraft auf die positive Punktladung definiert. Elektrische Feldlinien zweier gleicher Ladungen Q1 und Q2 = −Q1 (elektrischer Dipol): Das elektrische Feld eines Dipols ist:

Abbildung 2: Elektrisches Feld eines Dipols.

Technische Universit¨at M¨unchen

5

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

~ r) = E(~

~r − d~  q  ~r − · 3 4π0 |~r| ~3 |~r − d|

(9)

Elektrischer Fluss: • Fl¨ache, die Raum umschließt, in dem sich eine Punkt- oder Raumladung befindet. • Elektrische Feldlinien dieser Ladung durchsetzen die Fl¨ache A. ~ wird durch den nach außen zeigenden Fl¨achennormalenvektor dA ~ cha• Fl¨achenelement dA rakterisiert. ~ ist: Der elektrische Fluss dΦel durch dA ~ dΦel = E~ · dA

(10)

Durch Integration ergibt sich der gesamte elektrische Kraftfluss durch die Fl¨ache A: Z ~ Φel = E~ · dA

(11)

A

Mathematisch kann mit Hilfe des Gaußschen Satzes zeigen, dass f¨ur jede geschlossene Oberfl¨ache gilt: Z Z ~= Φel = E~ · dA divE~ dV (12) A

V(A)

Hiermit ergibt sich f¨ur den gesamten elektrischen Fluss die Beziehung: Z 1 Q % Φel = = % dV = ⇔ divE~ = 0 0 0

(13)

Die im Raum verteilten Ladungen werden als Quellen bezeichnet, wenn % > 0 und als Senken wenn % < 0.

1.3

Elektrostatisches Potential

Wird eine Ladung q im elektrischen Feld von einem Punkt P1 zu einem P2 gebracht, so ist die entsprechende Arbeit: Z P2 Z P2 ~ r) · d~r W= F~ · d~r = q · E(~ (14) P1

P1

Das elektrische Feld ist konservativ, d.h. das Integral ist wegunabh¨angig. Deshalb kann man jeden Raumpunkt ~r eine eindeutig definierte Funktion zuordnen. Diese wird als elektrostatisches Potential bezeichnet: φ(~r) =

∞

Z

~ r) d~r E(~

(15)

r

Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten ~r1 und ~r2 nennt man die elektrische Spannung: Z r2 ~ r) d~r U = φ(~r1 ) − φ(~r2 ) = E(~ (16) r1

Technische Universit¨at M¨unchen

6

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

Potentialgleichung: Ausgangspunkt ist die Definitionsgleichung f¨ur das elektrostatische Potential: Z ∞ ~ r) d~r φ(~r) = E(~ r

~ · φ(~r) = −E(~ ~ r) ⇔∇

(17)

~ · ∇φ(~ ~ r) = −∇ ~ · E(~ ~ r) = − %(~r) ⇔∇ 0 (18) Somit folgt die Poisson-Gleichung: ∆φ = −

% 0

(19)

F¨ur % = 0 ergibt sich die Laplace-Gleichung: ∆φ = 0 f¨ur % = 0

(20)

¨ Aquipotentialfl¨ achen: ¨ Als Aquipotentialf¨ achen werden die Fl¨achen bezeichnet, auf denen das Potential φ(~r) konstant ¨ ist. Die Aquipotentialfl¨ achen stehen immer senkrecht auf den Feldlinien. Daher wird keine Ar-

¨ Abbildung 3: Elektrisches Feld einer Punktladung mit Aquipotentialfl¨ achen. ¨ beit verrichtet, wenn Ladungen auf den Aquipotentialfl¨ achen verschoben werden.

Technische Universit¨at M¨unchen

7

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

1.4

Multipole

Der elektrische Dipol:

z

~ ~ − d/2 ~r1 = R

s +Q

P

s

E~ R E~

~ R

d~

~ ~ + d/2 ~r2 = R

s

E~ ϑ

Ebene z = 0

−Q Der elektrische Dipol wird durch das Dipolmoment charakterisiert: ~p = Q · d~

(21)

~ R) ~ und das Potential φ(R) ~ in einem beliebigen Punkt P(R) ~ erh¨alt Die elektrische Feldst¨arke E( ¨ man durch Uberlagerung der Felder:   Q Q ~ = 1 · φD (R) − (22) 4π0 |R ~ ~ ~ − d/2| ~ + d/2| |R F¨ur R  d gilt: 1 1 1 = · q R ~ ~ ± d/2| ~ ~ |R 1 ± R·R2d +

= d2 4R2

 ~ · d~ 1  1R · 1∓ + . . . R 2 R2

(23)

Somit erh¨alt man die N¨aherung f¨ur das Potential des Dipols in großer Entfernung: ~ = φD (R)

~ ~ ~p · R Q d~ · R p · cos ϑ = · 3 = 3 4π0 R 4π0 R 4π0 R2

(24)

F¨ur das elektrische Feld erh¨alt man: ~ r) = ~ R) ~ = −∇φ(~ E(

 ~ 1  R ~ 3p · cos ϑ − p ~ 4π0 R3 |R|

(25)

Dipol im homogenen Feld:

F+

−Q s

+Q s

F−

Liegen beide Ladungen +Q und −Q ¨ auf einer Aquipotentialfl¨ ache so ist die potentielle Energie eines Dipols null, da X F~ = 0

Bei beliebiger Lage des Dipols in einem homogenen elektrischen Feld bewirken die Kr¨afte F~1 und F~2 ein Drehmoment: ~ = ~p × E~ D (26) Technische Universit¨at M¨unchen

8

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

Somit ergibt sich f¨ur die potentielle Energie des Dipols im homogenen a¨ ußeren elektrischen Feld: Z Z Z ~ · sin ϑ dϑ = −|~p| · |E| ~ · cos ϑ = −~p · E~ E pot = F~ d~s = D dϑ = |~p| · |E| (27) Das Drehmoment dreht den Dipol, bis die potentielle Energie minimiert ist. Die potentielle Energie ist minimal, wenn ~p und E~ parallel sind. (Die potentielle Energie wird maximal, wenn ~p und E~ antiparallel sind.) Dipol im inhomogenen elektrischen Feld: Im inhomogenen Feld wirkt auf den Dipol die Kraft: ~ ~ ~
E~ ~ − E(~ ~ r) = Q · d~ · dE = ~p · ∇ F~ = Q · E(~ r + d) d~r

(28)

Diese richtet ihn in Feldrichtung aus und zieht in in Richtung wachsender Feldst¨arke.

1.5

Leiter im elektrischen Feld • Leiter in einem elektrischen Feld. • Auf die frei beweglichen Ladungstr¨ager wirkt die Kraft F = q · E. • Die Kraft verschiebt die Ladungen bis sich aufgrund der ver¨anderten Ladungsverteilung ein Gegenfeld aufgebaut hat. • Das Gegenfeld kompensiert kompensiert gerade das a¨ ußere Feld. • Diese Ladungsverschiebung: Influenz. • Desshalb ist das innere vom Leiter ist feldfrei. • Die Ladungen sitzen auf der Oberfl¨ache.

Kondensatoren: Ein Kondensator ist eine Anordnung aus zwei entgegengesetzt geladenen Leiterfl¨achen. Das elektrische Feld im Raum zwischen den Leiterfl¨achen ist . . . • . . . ∝ zur Ladung Q • . . . ∝ zur Spannung U =

R

~ ~s Ed

Dehalb gilt die Beziehung: Q=C·U Die Proportionalit¨atskonstante C heißt Kapazit¨at [C] = 1 C V−1

Technische Universit¨at M¨unchen

9

(29)
= 1F .

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

a) Plattenkondensator: + + + +

&

+ + E = 2σ0

-

-

-

-

Q+

Q−

⇒

- E = − 2σ0

E=

σ 0

F¨ur den Plattenkondensator gilt: U = E·d =

σ ·d 0

σ=Q/A

=

Mit C = Q/U folgt dann: C = 0

d ·Q A0

(30)

A d

(31)

b) Kugelkondensator: F¨ur einen Kugelkondensator gilt: U = φ1 − φ2 =

Q Q Q R1 R2 − = · 4π0 R1 4π0 R2 4π0 R2 − R1

Mit C = Q/U folgt: C = 4π0

(32)

R1 R2 R2 − R1

(33)

c) Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren: Schaltet man mehrere Kondensatoren parallel, so herrscht an allen Kondensatoren dieselbe Spannung 2 . Die Ladungen addieren sich und da Q ∝ C gilt: C=

X

Ci

f¨ur die Parallelschaltung

(34)

i

Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren werden die Ladungen getrennt, sodass auf zwei benachbarten, durch einen Leiter verbundenen Platten entgegengesetzt gleiche Ladungen sitzen. Die Spannungen verhalten sich additiv. Daher folgt f¨ur die Gesamtkapazit¨at: 1 X 1 = f¨ur die Reihenschaltung (35) C Ci i

Die Energie des geladenen Kondensators: Die Arbeit, die aufgebracht werden muss, um eine Ladung dQ zu verschieben ist: dW = U · dQ = 2 Sonst

Q dQ C

(36)

w¨urde Ladung fließen, bis die Spannung ausgeglichen ist.

Technische Universit¨at M¨unchen

10

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

Somit gilt f¨ur die Gesamtarbeit: W=

Z

Q

0

Q Q2 dQ = C 2C

(37)

Mit Q = C · U ergibt sich dann die Energie des elektrostatischen Feldes: 1 Wel = C · U 2 2

(38)

Die Energiedichte des elektrischen Feldes ist wie folgt definiert: wel =

1.6

Wel V

(39)

Dielektrika im elektrischen Feld

Dielektrika = isolierender Stoff. • Dielektrikum zwischen die Platten eines Kondensators: ⇒ Spannung sinkt um den Faktor  • Da Q = const ⇒ C um Faktor  gr¨oßer Die Kapazit¨at des Plattenkondensators ist dann: C Di =  · CVac = 0

A d

(40)

: Dielektrizit¨atszahl

Dielektrische Polarisation:

+Q

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

-Q

• Im elektrischen Feld verschieben sich die Ladungen im Dielektrikum • Da die Ladungstr¨ager nicht frei sind: Nur Verschiebung innerhalb des Atoms bzw. Molek¨uls • Die Atome bzw. Molek¨ule werden zu elektrischen Dipolen (Induzierte Dipole) Technische Universit¨at M¨unchen

11

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

• Vorgang: Polarisierung • Induziertes Dipolmoment jedes Atoms: ~p = q · d~ • Polarisation: Vektorsumme der Dipolmomente aller Atome pro Volumeneinheit: X ~= 1 ~pi P V i

(41)

Polarisationsladungen: Ladungsverschiebung im elektrischen Feld ⇒ Ladungen Qpol an den Stirnfl¨achen des Dielektrikums: Polarisationsladungen Die Fl¨achendichte ist: N ·q·d·A N Q pol = V = |~p| = P (42) σ pol = A A V Im Dielektrikum u¨ berlagern sich das a¨ ußere Feld E = σ f rei /0 und das durch Polarisation entstandene entgegengerichtete Feld E = σ pol /0 : E~ Di =

~ σ f rei − σ pol P = E~ vak − 0 0

(43)

Außerdem gilt: 1 E~ Di = E~ vak 

(44)

~ = ( − 1) 0 E~ Di P | {z }

(45)

Somit folgt dann mit (43) und (44):

=χ

χ wird als Suszeptibilit¨at bezeichnet. Weiterhin wir die Dielektrische Verschiebung definiert: ~ = 0 E~ Di = o E~ vak D

(46)

Gespeicherte Energie und Dielektrikum: F¨ur die Energiedichte gilt: welD =

WelD C · U2  · 0 2 1 = = E = E·D V 2·A·d 2 2

(47)

⇒ die Energiedichte sinkt mit Dielektrikum

Technische Universit¨at M¨unchen

12

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

Die Gleichungen des elektrostatischen Feldes in Materie: Ohne Dielektrikum:

~ · E~ = % ∇ 0

(48)

In Materie kommen zu den freien Ladungen noch die entgegengesetzten Polarisationsladungen % pol dazu: ~ · E~ Di = 1 (% f rei + % pol ) ∇ 0  ~ ~ · E~ vak − P = 1 (% f rei + % pol ) ⇔∇ 0 0 mit (48) und: Z Z Z Z ~P ~ ·P ~= ~ = ~ dV = − σ pol dV ⇒ ∇ ~ = −% pol ∆Q pol = σ pol dA PdA ∇ A

A

V

und (46) folgt dann: ~ ·D ~ = % f rei ⇒ ∇

Technische Universit¨at M¨unchen

13

(49)

Fakult¨at f¨ur Physik