F037 Indépendance

Indépendance A et B sont indépendants si et seulement si PA(B) = P(B) ou PB(A) = P(A) ou P(A ∩ B) = P(A) × P(B) Les variables aléatoires définies sur Ω X et Y sont indépendantes lorsque pour tout i et j - les événements (X = xi) et (Y = yj) sont indépendants , - P(X = xi et Y = yj) = P(X = xi) × P(Y = yj) Soit E une expérience aléatoire consistant à réaliser n épreuves E1 , .., En ayant pour modèle (Ω1,P1) , (Ω2,P2) ,…., (Ωn,Pn) . Dire que les n épreuves sont indépendantes , c'est modéliser E par la loi de probabilité P définie pour chaque résultat (a1,….,an) , avec ai résultat de Ωi , par P(a1,a2,..,an) = P1(a1) × P2(a2) × …× Pn(an)

§ Un sac contient 3 jetons rouges numérotés 1,2,3 , 2 jetons jaunes numérotés 1,2 et un jeton bleu numéroté 1. On tire au hasard un jeton du sac . On désigne par R,U,D les événements : "le jeton est rouge" , "le numéro est 1" , "le numéro est 2". Les événements R et U sont-ils indépendants ? Et les événements R et D ?

§ On suppose que chacun des moteurs d'un bi-moteur tombe en panne avec une probabilité égale à 0,0001 et ceci de façon indépendante de l'autre moteur . Quelle est la probabilité que l'avion arrive à bon port sachant qu'il peut voler avec un seul moteur ?

§ Sur le trajet d'un automobiliste se trouvent trois feux tricolores de circulation . Ces feux fonctionnent de façon indépendante . Le cycle de chacun d'eux est réglé de la façon suivante vert 35 secondes , orange 5 secondes et rouge 20 secondes . Quelle est la probabilité pour que sur son trajet , l'automobiliste rencontre exactement deux feux verts ?

§ Une étude statistique a montré que dans une série de 5 tirs au but , un joueur pris au hasard marque : 5 buts avec une probabilité de 0,2 4 buts avec une probabilité de 0,5 3 buts avec une probabilité de 0,3 Chaque joueur à l'entraînement , effectue deux séries de 5 tirs au but . On admet que les résultats d'un joueur à chacun des deux séries sont indépendants . Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre de buts marqués au cours d' un entraînement .

§ On lance un dé parfaitement équilibré . On considère les variables aléatoires X et Y définies sur {1;2;3;4;5;6} par : X prend la valeur 1 si le résultat est pair , − 1 sinon . Y prend la valeur 2 si le résultat est 2 ou 5 , 1 sinon a. Compléter les lois de X et Y dans les tableaux suivants xi 1 yj 1 2 −1 P(X = xi) P(Y = yj) b. Calculer les 4 probabilités P(X = −1 et Y = 1) , P(X = − 1 et Y = 2) , P(X = 1 et Y = 1) , P(X = 1 et Y = 2) Les présenter dans le tableau grisé suivant . On parle de loi de probabilité du couple (X,Y) yj 1 2 Les variables aléatoires X et Y sontxi elles indépendantes ? P(X = −1) −1 Vérifier les 4 conditions en vous P(X = 1) aidant du tableau et en complétant les 1 marges P(X = − 1) , …….. P(Y = 1) P(Y = 2)

§ On dispose d'un dé tétraédrique dont les probabilités de sortie des faces sont proportionnelles aux numéros 1,2,3,4 qu'elles portent et d'un dé cubique équilibré dont trois faces portent le numéro 1 , deux faces le numéro 2 et une face le numéro 3 . L'expérience E consiste à lancer les deux dés . 1. On modélise le lancer du dé tétraédrique , Ω1 = {1;2;3;4} Déterminer la loi de probabilité P1 de l'expérience et compéter le tableau suivant ti 1 2 3 4 P1({ti}) 2. On modélise le lancer du dé cubique , Ω2 = {1;2;3} Déterminer la loi de probabilité P2 de l'expérience et compléter le tableau suivant cj 1 2 3 P2({cj}) 3. Si on considère l'expérience consistant à lancer les deux dés , l'univers des possibles est Ω = {(1,1) , (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) (4,1) (4,2) (4,3)} On suppose les deux lancers indépendants , on choisit donc pour modéliser cette expérience la loi de probabilité P définie par , pour tous les indices i et j , P({ti,cj}) = P1({ti}) × P2({cj}) a. Par exemple , calculer la probabilité P({4;1}) d'obtenir 4 pour le tétraèdre et 1 pour le cube. b. Déterminer la loi de probabilité P sur Ω . On pourra compléter et utiliser le tableau suivant cj 1 2 3 Loi P1 ti 1 2 3 4 Loi P2 4. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 5 ?