F040 méthodes de calcul de probabilités

méthodes de calcul de probabilités Exemple Une urne contient 9 boules discernables , dont 4 rouges et 5 blanches . On tire 3 boules parmi les 9 . Calculer la probabilité d'avoir dans un tirage exactement deux boules blanches . a) tirage simultané des 3 boules .(convient quel que soit le nombre de couleurs) 9 Nombre de façons de tirer 3 boules parmi 9 : 3   5 Nombre de façons de tirer 2 blanches parmi 5 : 2   4 Nombre de façons de tirer 1 rouge parmi 4 : 1   4 × 5 1 2 La probabilité d'avoir 2 boules blanches est donc 9 3

b) tirage successif des 3 boules avec remise .(2 couleurs) 5 4 On appelle S : "obtenir une boule blanche" . p(S) = et p( S ) = 9 9 Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 3 boules associe le nombre de boules blanches tirées . X suit une loi binomiale de paramètre 3 et 5 . 9 2 3 La probabilité d'avoir 2 boules blanches est p(X = 2) = 2 × 5 × 4 9 9

b bis) tirage successif des 3 boules avec remise (2 couleurs) Nombre de façons d'obtenir un tirage du type (B,B,R) : 52 × 41 …………………….. 3 Nombre de façons de placer les deux boules blanches parmi les 3 boules : 2 Nombre de façons de tirer 3 boules parmi 9 : 93 ……………………….. 3 × 52 × 41 2 La probabilité d'avoir deux boules blanches est donc   3 ………………… 9

sans remise (5 × 4) × 4 9×8×7 3 × 5 × 4 × 4 2 9× 8 × 7

b ter) comment faire avec plus de deux couleurs ? avec remise sans remise Une urne contient 15 boules discernables , dont 4 rouges , 5 blanches et 6 noires . On tire successivement avec remise 6 boules parmi les 15 . Calculer la probabilité d'avoir dans un tirage 2 boules blanches , 3 boules rouges et 4 boules noires . Nombre de tirages du type (B,B,R,R,R,N,N,N,N) : 52 × 43 × 64 …………… (5×4)(4×3×2)(6×5×4×3) 9! Nombre de façons de placer les couleurs : 2! 3! 4! Nombre de façons de tirer 9 boules parmi 15 : 159 ……………….. (15 × 14 × ….. × 7)

La probabilité est donc

9! × 52 × 43 × 64 9! × (5 × 4)(4 × 3 × 2)(6 × 5 × 4 × 3) 2! 3! 4! 2! 3! 4! ….. 159 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7