Feuille de TD n˚7

Année Universitaire 2013/2014 Statistique

Université de Nice Sophia-Antipolis L2 MI TD de Statistique

Feuille de TD n˚7

Exercice 1 : On considère un échantillon (X1 , . . . , Xn ) indépendant et identiquement distribué de loi de Poisson de paramètre λ. 1. Rappeler l’expression des estimateurs de θ obtenus par la méthode des moments et du maximum de vraisemblance. 2. Ces deux estimateurs sont-ils sans biais? Sinon, modifier celui qui ne l’est pas pour qu’il le devienne. Sont-ils convergents? Quel est le meilleur des estimateurs ? Exercice 2 : On considère un échantillon (X1 , . . . , Xn ) indépendant et identiquement distribué de loi de densité de paramètre a > 0  k+1 k x , si x ∈ [0, a]; ak+1 0, sinon. où k est un paramètre connu strictement supérieur à -1. 1. Montrer que f est une densité de probabilité. La tracer pour k = 0. Interpréter le paramètre a. 2. Calculer son espérance E(X). En déduire un estimateur de a. Cet estimateur est-il sans biais? 3. Calculer la vraisemblance du n-uplet (x1 , . . . , xn ). En déduire que sup Xi est l’estimateur 1≤i≤n

du maximum de vraisemblance. 4. Déterminer la fonction de répartition puis la loi de l’estimateur sup Xi . Calculer son 1≤i≤n

espérance et en déduire un estimateur sans biais de a. Exercice 3 : Soit X une variable aléatoire de densité :  f (x) =

2x θ2

0

si x ∈ [0, θ] sinon.

1. Déterminer un estimateur de θ, par la méthode des moments, construit à partir d’un échantillon (X1 , . . . , Xn ) de X, et étudier ses propriétés. 2. Déterminer un estimateur du maximum de vraisemblance sans biais θˆn de θ, construit à partir d’un échantillon (X1 , . . . , Xn ) de X, et étudier ses propriétés.

1

Exercice 4 : On considère une échantillon (X1 , . . . , Xn ) indépendant et identiquement distribué de loi d’espérance inconnue θ > 0 et de variance finie, dont la densité est définie par :  1 1 (1 − x) θ −1 si x ∈ [0, 1[ θ f (x) = 0 sinon. 1. Montrer que f est une densité de probabilité. 2. Déterminer la vraisemblance du n-uplet (x1 , . . . , xn ). 3. Estimer θ par la méthode du maximum de vraisemblance. 4. On considère la variable Z = ln(1 − X). Déterminer sa fonction de répartition et en déduire que Z suit une loi exponentielle. 5. L’estimateur obtenu est-il sans biais? 6. Calculer la quantité d’information relative à θ contenue dans l’échantillon, autrement dit In (θ). L’estimateur est-il efficace? Exercice 5 : On veut évaluer la proportion p des foyers d’un département qui disposent d’une machine à laver. Ne voulant pas procéder à un recensement complet, on se propose d’estimer cette proportion à partir d’un échantillon de n ménages tirés au hasard et avec remise dans la population du département. 1. Exprimer la variable aléatoire Y représentant le nombre de foyers équipés d’une machine à laver sous forme de somme de variables aléatoires à expliciter. Donner la loi de probabilité de X. En déduire un estimateur convergent noté Xn . 2. On propose Tn = Xn (1 − Xn ) comme estimateur de p(1 − p). Est-il sans biais? 3. Déterminer un estimateur sans biais de p(1 − p). P Yi 4. On tire un nouvel échantillon de taille m noté (Y1 , . . . , Ym ) et on pose Ym = m i=1 m . Quelles conditions doivent vérifier a et b pour que U = aXn + bYm soit un estimateur sans biais de p? 5. En déduire un estimateur sans biais de p meilleur que Xn et Ym .

2