fiche 1 - Université Lille 1

Université de Lille 1 U.F.R. de Mathématiques

L2 Informatique

Année 2015–2016

Fiche no 1 Ex 1. *** Trois boules sont tirées successivement d’une urne contenant des boules blanches et des boules rouges. (a) Préciser l’ensemble fondamental Ω associé à cette expérience aléatoire. (b) Quelle mesure de probabilité choisiriez-vous sur Ω ? Ex 2. *** On définit les événements : A = { la première boule est blanche } , B = { la deuxième boule est blanche } , C = { la troisième boule est blanche } . Exprimer à l’aide des événements A, B, C les événements suivants : D={ E={ F ={ G={ H={

toutes les boules tirées sont blanches } , les deux premières sont blanches } , au moins une boule est blanche } , seule la troisième est blanche } , une seule boule est blanche } .

Ex 3. ** On lance un dé jusqu’à la première apparition du six. Notons : Si = { Le i-ème lancer donne un six} . Écrire à l’aide des événements Si et Sic l’événement A = { La première apparition du six a lieu après le 5-ème lancer } . Est-ce que le même événement que B = { Six n’apparaît pas au cours des 5 premiers lancers }? Ex 4. *** En Probabilités, on énumère assez souvent les issues possibles d’une expérience, mais on ne dresse quasiment jamais la liste de tous les événements observables. Le but de cet exercice est de comprendre pourquoi.

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(a) Si l’ensemble Ω a n éléments, combien l’ensemble P(Ω) des parties de Ω a-t-il d’éléments ? (b) On réalise une expérience simple : un tirage dans une urne contenant 4 jetons numérotés 1, 2, 3 et 4. Donner l’ensemble Ω des issues possibles de cette expérience et l’ensemble P(Ω) correspondant, qui représente la famille des événements observables. (c) On réalise une expérience un peu moins simple : le lancer de deux dés de couleurs différentes. Quel est le cardinal de Ω ? Quel est le cardinal des événements ? Ex 5. *** On lance deux dés à six faces. (a) Décrire l’espace de probabilité associé à cette expérience et donner la probabilité d’obtenir : — Un double ? — Au plus un nombre pair ? — Exactement un nombre pair ? — Deux nombres qui se suivent ? (b) Soit k ∈ {2, . . . , 12}. Calculer la probabilité, notée qk , d’obtenir, avec les deux dés, une somme égale à k. Montrer que la famille de réels {qk , k = 2, . . . , 12} définit une probabilité Q sur l’espace ({2, . . . , 12} , P (2, . . . , 12)). (c) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 6 ? Ex 6. ** On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n personnes et on s’interesse à la position de deux amis particuliers dans cette file d’attente. (a) Décrire l’espace de probabilité associé que vous considérez et calculer la probabilité, notée qr , que deux amis soient distants de r places (i.e. séparés par r−1 personnes). (b) Quelle est la distance la plus probable entre ces deux amis ? Ex 7. *** Dans un lot de pièces métalliques rectangulaires, destinées à un assemblage, on sait que : - 3% ont une longuer qui, s’écartant trop des normes, les rend inutilisables. - 5% ont une larguer les rendant inutilisables. - 2% s’écartent trop de la norme, à la fois par leur longeur et par leur largeur. On prend une pièce au hasard. Quelle est la probabilité pour qu’elle soit utilisable ? Ex 8. *** On veut fabriquer une probabilité sur N en posant P ({n}) = C

e−n n!

pour chaque n ∈ N.

(a) Trouver un nombre C (qui ne varie pas avec n) tel que ceci soit une probabilité. (b) La probabilité ainsi construite porte-t-elle un nom ?

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(c) On tire au hasard un entier N selon cette probabilité : ∀n ∈ N P ({N = n}) = C

e−n . n!

Calculer P(N ≥ 4). Ex 9. *** On lance deux dés et on considère les événements : A : “le résultat du premier dé est impair”, B : “le résultat du second dé est pair”, C : “les résultats des deux dés sont de même parité”. Étudier l’indépendance deux à deux des événements A, B et C, puis l’indépendance mutuelle (indépendance de la famille) A, B, C. Ex 10. *** Pour chacune des assertions suivantes donner soit une preuve, soit un contre-exemple. (a) Si un événement E est indépendant d’un événement F , alors il est indépendant de l’événement complémentaire F c . (b) Si un événement E est indépendant d’un événement F et d’un événement G, alors il est indépendant de F ∪ G. Ex 11. ** Montrer que si A, B et C sont indépendants, A∪B et C sont indépendants. Généraliser. Ex 12. ** Une urne contient 10 jetons jaunes, 5 blancs et 1 rouges. J’ai tiré un jeton de cette urne et je vous annonce qu’il n’est pas rouge. Quelle est la probabilité qu’il soit jaune ? Ex 13. *** Vous avez un bureau mal rangé sur lequel figurent trois piles de papiers. Vous recherchez une lettre. Vous savez que cette lettre a autant de chance de se trouver dans chacune des trois piles. Notons pi (i ∈ {1, 2, 3}) la probabilité de ne pas trouver la lettre dans la i-ème pile, après un examen rapide de cette pile, alors qu’elle y est. Supposons que l’on ait rapidement examiné la première pile et rien trouvé. Quelle est la probabilité qu’elle se trouve en fait dans la j-ème pile (j ∈ {1, 2, 3}) ? Ex 14. ** On suppose que les événements A1 , . . . , A5 sont indépendants. Donner une expression plus simple des probabilités : P (A1 |A3 ), P (A3 |A2 ∩A4 ), P (A1 ∩A3 )|A2 ), P (A1 ∩A2 |A3 ∩ A4 ∩ A5 ).

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