FICHE 4 : VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES 2 LOIS

FICHE 4 : VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES 2 LOIS USUELLES 1) LOI UNIFORME EXERCICE -On lance deux dés ordinaires non pipés un rouge et un bleu. Soit X le numéro du bleu et Y la variable aléatoire qui vaut 0 si le rouge donne un résultat pair et 1 sinon. Donner les tableaux donnant les lois de probabilité de chacune. Ces variables sont-elles indépendantes ? CORRECTION+ définitions de cours Film : loi uniforme

2) LOI DE BERNOULLI – LOI BINOMIALE EXERCICE -Plantage-replantage : On plante dans un pot une graine pour laquelle la probabilité de germer au bout d’une semaine est a = 0.7. Au bout d’une semaine si la graine n’a pas germé, la graine n’est plus bonne et on replante une nouvelle graine. Soit S la variable aléatoire qui vaut 1 si on obtient une plante au bout de 2 semaines et 0 sinon. Donner la loi de S, son espérance et sa variance. On dispose de 10 pots comme précédemment, on appelle X le nombre de plantes obtenues en deux semaines. Donner la loi de X, son espérance et sa variance. CORRECTION+ Propriétés de cours Film :loi binomiale-propriétés POUR S’ENTRAINER Dans un jeu de 52 cartes, on prélève cinq cartes avec remise, et on compte le nombre X de piques obtenus. Donner la loi de X, son espérance et sa variance.

3) LOI HYPERGEOMETRIQUE EXERCICE Une assemblée comporte 8 hommes et 9 femmes. On prélève au hasard un groupe de 6 personnes (donc sans remise) dans cette assemblée. Soit X le nombre de femmes du groupe. Donner la loi de X, son espérance et sa variance. CORRECTION+ définitions de cours Film :loi hypergéométrique POUR S’ENTRAINER Dans un jeu de 52 cartes, on prélève cinq cartes sans remise, et on compte le nombre X de piques obtenus. Donner la loi de X, son espérance et sa variance.

4) LOI GEOMETRIQUE EXERCICE -Plantage-replantage (suite) : On plante dans un pot une graine pour laquelle la probabilité de germer au bout d’une semaine est a = 0.7. Au bout d’une semaine si la graine n’a pas germé, on replante une nouvelle graine, si au bout de 2 semaines elle n’a toujours pas germé, on recommence encore… et ce jusqu’à obtenir un succès. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de graines que l’on a dû planter pour avoir enfin le succès. Donner la loi de X, son espérance et sa variance. CORRECTION+ définitions de cours Film :loi géométrique POUR APPROFONDIR ET S’ENTRAINER Dans un groupe de militants d’un parti politique, 10% ont décidé de voter blanc aux prochaines élections. Un journaliste arrive et interroge des personnes au hasard, l’une après l’autre, jusqu’à ce qu’il obtienne une personne décidée à voter blanc, alors il s’arrête, il a ce qu’il désirait. Soit X le nombre total de personnes que le journaliste a interrogées. Donner la loi de X et le calcul de son espérance. En moyenne, combien le journaliste doit-il interviewer de gens pour avoir ce qu’il veut ? Quelle est la probabilité pour que X soit strictement supérieur à 5 ? On suppose cette fois que le groupe est suffisamment important pour que les tirages puissent être supposés indépendants.

5) LOI DE POISSON EXERCICE On compte le nombre X de voitures passant sur une petite route entre 19h et 19h15. On pense que l’on peut modéliser X par une loi de poisson de paramètre 12. Donner la loi de X, son espérance et sa variance. Quelle est la probabilité que X dépasse 5 ? CORRECTION+ définitions de cours Film :loi de poisson POUR S’ENTRAINER Approcher une loi binomiale par une loi de poisson : Un voyagiste dispose de 100 places dans un avion. Il sait que pour chaque voyageur la probabilité de ne pas se présenter au départ est de 3%. S’il vend 103 places alors qu’il n’en dispose que de 100, quelle est la probabilité qu’il se trouve en situation de surbooking ?