FICHE CALCULATRICE CHE CALCULATRICE : LOI NORMALE

FICHE CALCULATRICE : LOI NORMALE I ] LOI NORMALE CENTREE REDUITE

Calculs directes

1 :normalFdp( : permet de tracer la densité de probabilité, c'est c'est-à-dire f(x) =

1

e

−

x² 2

2π Pour faire le dessin il suffit de faire :

REMARQUE : Permet aussi de tracer la densité de probabilité associée à une loi normale quelconque (cf. fin du document) 2 : normalFRép( : permet de calculer P(a ≤ X ≤ b) lorsque a et b sont des réels tels que a < b et X suit N (0 ;1)

3 : FracNormale( : connaissant c,, permet de trouver la valeur de k telle que P(X ≤ k) = c

On retrouve les instructions relatives à la loi binomiale vue l’année passée : (lignes 0 et A). Les autres instructions utilisent des distributions qui ne sont pas étudiées en classe de terminale (Loi de Student (lignes 4 et 5) Loi du Khi deux (χ²)(lignes ²)(lignes 6 et 7), Loi de Fisher (lignes 8 et 9) Loi de Poisson (lignes B et C) et loi géométrique (lignes D et E)) REMARQUE : La calculatrice ne connaissant pas l’infini, pour faire comprendre à la calculatrice que nous travaillons avec l’infini, on peut utiliser l’astuce suivante : on remplace - ∞ par – 10 99 c'est-à-dire dire et + ∞ par 1099. X suit N (0 ;1).

Une autre astuce pour contourner ce problème est d’utiliser la symétrie de la représentation graphique de f, c'est-à-dire dire sachant que l’aire sous la courbe est 1, 1, on peut en déduire que l’aire sous la courbe sur ] - ∞ ; 0] et 1 l’aire sous la courbe sur [ 0 ; + ∞[[ valent toutes les deux . 2 Ainsi pour calculer P(X ≤ 1,3) on peut faire : 0,5 + P( 0 ≤ X ≤ 1,3). (Les deux dernières décimales décimale peuvent être

différentes,, mais ça suffit largement pour répondre à toutes les questions…)

Question

Calculatrice

Résultat

P (- 1,5 ≤ X ≤ 2,2)

ou

P( X ≤ 1,3)

P(X ≥ 0,22)

On utilise les propriétés de f : P(X ≥ 0,22) = 1 – P(X < 0,22) = 1 – P(X ≤ 0,22) = 0,5 – P(0 ≤ X ≤ 0,22)

Résoudre des équations avec la loi normale centrée réduite EXERCICE 1 : La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite. Les résultats seront arrondis au centième. 1°) Déterminer le réel a tel que P(X ≤ a) = 0,1256 2°) Déterminer le réel b tel que P(X > b) = 0,1256 3°) Déterminer le réel c tel que P(0 ≤ X ≤ c) = 0,1256 4°) Déterminer le réel positif h tel que P( - h ≤ X ≤ h) = 0,95 Dans ce cas là il faut utiliser l’instruction Toujours accessible via le menu distrib :

Cette instruction ction renvoie la valeur du réel t tel que P(X ≤ t) = p où p est un réel de [0 ;1] donné par l’utilisateur. REMARQUE : Lorsque p = 1 ou p = 0 la calculatrice affiche :

Ce qui est légitime étant donné que 10 99 et – 10 99 sont respectives les « + ∞ » et « - ∞ » de la calculatrice calculatrice….

QUESTIO N

TRANSFORMATIONS

1°)

Rien à faire, c’est un calcul direct P(X > b) = 1 – P(X ≤ b) P(X > b) = 0,1256 ⇔ 1 – P(X ≤ b) = 0,1256 ⇔ P(X ≤ b) = 0,8744 On peut aussi réfléchir un peu, et se souvenir que grâce à la symétrie de la densité de probabilité de la loi normale on a, pour tout réel t : P(X ≤ - t) = P(X ≥ t)

2°)

P(0 ≤ X ≤ c) = P( X ≤ c) – P(X ≤ 0) = P(X ≤ c) – 0,5 P(0 ≤ X ≤ c) = 0,1256 ⇔ P(X ≤ c) – 0,5 = 0,1256 ⇔ P(X ≤ c) = 0,6256 Il faut se souvenir, toujours grâce à la symétrie de la densité de probabilité que P( X ≤ 0) = P(X ≥ 0) = 0,5

3°)

4°)

P( - h ≤ X ≤ h ) = P(X ≤ h) – P(X ≤ - h) or P(X ≤ - h ) = P(X ≥ h) = 1 – P(X ≤ h) D’où P( - h ≤ X ≤ h ) = P(X ≤ h) – [1 – P(X ≤ h)] = 2 P(X ≤ h) - 1 P( - h ≤ X ≤ h ) = 0,95 ⇔ 2 P(X ≤ h) – 1 = 0,95 ⇔ P(X ≤ h) = 0,975 REMARQUE : On retrouve la valeur approchée u0,95 ≃ 1,96

RESULTATS

I ] LOI NORMALE N (μ ; σ²)

Utiliser les paramètres μ et σ Les instructions à utiliser sont les même, la seul différence est qu’il faut préciser la valeur des deux paramètres. En effet, par défaut les instructions normalFRép( : et FracNormale( sont paramétrée pour faire des calculs avec la loi normale centrée réduite. Supposons que X suit N (μ ; σ²) Pour déterminer la valeur de P ( a ≤ X ≤ b) on saisie : normalFrép(a,b,μ μ,σ σ) Et pour déterminer le réel c tel que P ( X ≤ c ) = p (où p ∈ [ 0 ; 1]) on fait : FracNormale(c,μ μ,σ σ) EXERCICE 2 : (calculs directs) Une cantine sert des repas en nombre très important. Soit X la variable aléatoire qui donne le poids en grammes des rations de viande. On suppose que X suit la loi normale N (120 ; 225). Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche. 1°) Quel est le poids moyen d’une ration de viande ? 2°) Quelle est la probabilité pour que le poids d’une ration de viande soit compris entre 110g et 135 g ? 3°) Le 19 septembre, la cantine a servi 850 repas. A combien peut-on évaluer le nombre de rations de viande dont le poids dépassait 130 g ? 1°) X suit N (120 ; 225), on a donc E(X) = 120. Le poids moyen d’une ration de viande est donc de 120g. 2°) On cherche à calculer P( 110 ≤ X ≤ 135)

Avant d’utiliser la calculatrice, il faut commencer par trouver σ. En effet les paramètres de la loi normale sont μ et σ² mais la calculatrice travaille avec μ et σ. σ² = 225 donc σ = 15

3°) On commence par calculer P(X > 130). A la calculatrice on peut directement faire : On peut aussi faire la transformation : P(X > 130) = 0,5 – P( 120 < X < 130) En utilisant la symétrie de la Gaussienne par rapport à la droite d’équation x = μ.

On retrouve : Donc en arrondissant au millième, on trouve que sur 850 repas, on a 850 x 0,252 ≃ 214 repas dont la ration de viande dépassait 130g.

Se ramener à la loi normale centrée réduite REMARQUE : Lorsque X suit la loi N (μ ; σ²), il peut être nécessaire de se ramener à la loi normale centrée réduite. X−µ En effet, par définition X suit N (μ ; σ²) signifie que T = suit N (0 ; 1).

σ

EXERCICE 3 : (Résoudre une équation avec une loi normale) La variable aléatoire X suit la loi normale N (μ ; σ²) avec μ = 90 et σ = 20. Les résultats seront arrondis au dixième le plus proche. 1°) Déterminer le réel k1 tel que P(X < k1) = 0,98. 2°) Déterminer le réel k2 tel que P(X > k2) = 0,6. 3°) Déterminer un intervalle I de centre μ tel que P(X ∈ I) = 0,85. 1°) Il suffit de faire le calcul directement avec la calculatrice : On trouve k1 ≃ 131,1 2°) Il faut commencer par se ramener à une formule du type : P( X ≤ t) = c, afin de pouvoir utiliser la calculatrice. On a : P(X > k2) = 1 – P(X ≤ k2) D’où P(X > k2) = 0,6 ⇔ 1 – P(X ≤ k2) = 0,6 ⇔ P(X ≤ k2) = 0,4 On trouve k2 ≃ 84,9 3°) Parfois la calculatrice ne peut pas nous aider avec une loi normale de paramètres μ et σ² quelconques, il faut donc utiliser la définition afin de se ramener à une loi normale centrée réduite. X − µ X − 90 Par définition X suit N (90 ; 20²) signifie que T = suit N (0 ;1). = 20 σ On cherche un intervalle de centre μ, c'est-à-dire on cherche le réel positif h tel que : P( μ – h ≤ X ≤ μ + h) = 0,85 P( μ – h ≤ X ≤ μ + h ) = 0,85 ⇔ P( 90 – h ≤ X ≤ 90 + h) = 0,85  90 − h − 90 X − 90 90 + h − 90  ⇔ P ≤ ≤  = 0,85 20 20 20  

 −h h  ⇔ P ≤T ≤  = 0,85 20 20    h  ⇔ 2 Φ  - 1 = 0,85  20 

 h  ⇔ Φ  = 0,925  20  On en déduit :

h ≃ 1,44, d’où h = 28,8 donc I = [ 90 – 28,8 ; 90 + 28,8] = [ 61,2 ; 118,8 ] 20

Représentation graphique de la densité de probabilité associée à une loi normale de moyenne μ et d’écart type σ. On utilise la fonction Dans le cas d’une loi normale quelconque : N ( μ ; σ²) on fait : (Dans l’exemple choisi, on a μ = 50 et σ = 2) Attention à bien régler la fenêtre graphique, la courbe doit être symétrique par rapport à x = μ