Fo7 - Kallor till Magnetfalt

Källor till magnetfält Emma Björk

Magnetfältets källor • B-fält från en laddad partikel i rörelse • B-fält från ledarsegment med längd dl • B-fält från lång rak ledare fås genom integrering • Kraft mellan två strömförande ledare • B-fält från strömslinga • Magnetiska material • Begreppet magnetiskt flöde ΦB

Magnetfält från punktladdning i rörelse µ 0 q v sin φ B= 4π r2 =

4

̅× ̂

Endast laddningar i rörelse ger B-fält! Jämför med E-fältet: 1 = ̂ 4

Magnetfält från ledarelement med ström I dQ = nqAdl

µ 0 dQ vd sin φ dB = 4π r2 n q Avd = I

µ 0 Idl sin φ dB = 4π r2 r r µ0 Idl × rˆ dB = 4π r 2

(magnetic field due to an infinitesimal current element)

Ofysikaliskt fall! Strömmen kommer ur intet och försvinner lika fort! Är dock bra startpunkt för integrering.

Biot Savarts lag

=

4

̅× ̂

Integrera detta för att få fram magnetfältet för en godtycklig ledare:

=

4



̅× ̂

Magnetfält från rak ledare • Ledaren har , längd 2a och ström I • Genom att addera bidragen från varje litet ledarelement erhålles Bfältet från den raka ledaren. B=

µ0 4π

Idl sin φ ∫ r2

r = x2 + y2 x

sin φ = sin(π − φ ) =

µ0 I B= 4π =

∫

xdy

a

−a

(x

2

+ y2

x2 + y2

)

3

= ... 2

µ0 I 2a riktning enl. figur. 2 2 4π x x + a

Magnetfält från oändligt lång rak ledare Oändligt lång rak ledare med ström I

µ0 I 2a B= 4π x x 2 + a 2 a >> x B=

µ0 I 2πx

Högerhandsregel 3: Tummen i strömmens riktning, fingrarna pekar i magnetfältets riktning.

Kraft mellan två parallella ledare • Två parallella ledare med ström I och I’

• Den ena ledare alstrar ett B-fält som den andra påverkas av, och vice versa.

µ0 I B= 2π r µ0 I I ′L F = BI ′L = 2π r F µ0 I I ′ Per enhetslängd får vi : = L 2π r

Definitionen av Ampere Ampere är en grundenhet i SI-systemet, och definieras med hjälp av kraften mellan två strömförande ledare enligt:

En Ampere är den konstanta ström som, om den går i var och en av två parallella ledare med oändlig längd och på en meters avstånd från varandra i tom rymd, får varje ledare att utsättas för en kraft av exakt 2×10-7 Newton per meter längd.

Magnetfält från strömslinga

Bx =

(

µ 0 Ia 2

)

3

=

(

µ0 µ

)

3

2 x +a 2π x + a 2 I centrum av spole med N varv : Bx =

2

Nµ 0 I 2a

2

2

2

2

Ideal lång solenoidspole n varv/m

Toroidspole N varv.

r

Inne i den av lindningar omslutna volymen i en toroidspole på I centrum av solenoidspo len : B = µ 0 nI Utanför spolen : B ≈ 0

avstånd r från centrum : µ NI B= 0 2π r Utanför spolen : B ≈ 0

Tabell i ert formelblad

Magnetiska material • Att vissa material är magnetiska kan förstås om vi gör en (förenklad) modell av en atom som en + laddad kärna med – laddade elektroner som snurrar runt kärnan. Detta kan ge upphov till en cirkulerande ström, dvs. en liten magnetisk dipol. • En sådan slinga har ett magnetiskt dipolmoment µ = IA.

Om nettoströmmen = 0 är materialet

diamagnetiskt

Om nettoströmmen ≠ 0 är materialet

paramagnetiskt

eller

ferromagnetiskt

I ett paramagnetsikt ämne är de små ”strömslingorna” normalt slumpmässigt orienterade, så vi får ingen nettomagnetism. Om vi lägger på ett B-fält utsätts de för ett vridmoment enligt: τ = µ ×B Detta vridmoment orienterar atomerna så att vi får ett nettomoment per volymsenhet som vi kallar M. Resulterande fält

M =

µ tot

Pålagt fält

V B = B0 + µ 0 M B = B0 K m

B0 K m = B0 + µ 0 M Magnetisk succeptibilitet

B0 ( K m − 1) = µ 0 M χm=Km-1

Ersätt µ0 med µ = Km µ 0 i tidigare formler om vi inte har vakuum. Förväxla ej detta µ med µ =IA!!!

Ferromagnetism •

I ferromagnetiska ämnen finns domäner där dipolerna är riktade åt samma håll.

•

Om ett yttre fält läggs på växer de domäner till som är orienterade längs fältet vilket ger mycket höga värden på Km, 1000-10.000 (paramagnetiska ämnen har Km = 0.2 -60).

•

Ofta kvarstår en viss orientering sedan det yttre fältet stängts av vilket ger en permanentmagnet.

Hos ferromagneter är relationen mellan det pålagda och det resulterande fältet olinjär och har stark hysteres.

Elektriska fallet

Magnetiska fallet

E0 E= K

B = B0 K m

K är den relativa dielektricitetskonstanten (eng. dielectric constant). K alltid > 1

Km är den relativa permeabiliteten Paramagntism: Km >1 Ferromagnetism Km >> 1 Diamagnetism Km < 1

Dvs. om vi har ett medium minskar alltid Efältet jämfört med i vakuum.

Dvs. i två av fallen ökar Bfältet jämfört med i vakuum

Byt ε0 mot ε i formlerna och räkna som vanligt!

Byt µ0 mot µ i formlerna och räkna som vanligt!

B

Magnetiskt flöde

• En magnet ger upphov till ett magnetiskt fält som ges av en vektor , , . Vi kallar detta ett vektorfält. (Exakt samma resonemang kan användas om de elektriska E-fältet. • Jämför med hastighetsfördelningen ̅ strömmande vätska.

, ,

i en

Vattenflöde med konstant hastighet v

• Vattenflödet [m3/s] genom A är

cos !

• Beräkna ytan med vektorn ̅, där beloppet är arean av ytan och riktningen r vinkelrät mot ytan (observera att vi kan välja två riktningar). • Vattenflödet kan då anges som skalärprodukten ̅ · ̅

Tillämpa samma resonemang som för vattenflöde på vektorfältet , , och kalla flödet av detta fält ΦB Φ# =

· ̅

Om ytorna är släta och fältet homogent (dvs. samma storlek och riktning i varje punkt) erhålls flödet enkelt som en skalärprodukt.

Figuren från kap. 22 visar flödet av det elektriska fältet. Exakt samma resonemang gäller för B-fältet. Byt bara E mot B ovan.