Fonctions - CPGE Brizeux

PCSI Brizeux

Fiche outils

2016-2017

Les fonctions. 1. Fonctions usuelles. Nom Exponentielle Logarithmique népérien Logarithmique népérien Puissance réelle Cosinus

Expression exp 𝑥 log 𝑥 ln 𝑥 = log(exp 1) ln 𝑥 log 𝑥 = ln 10 𝑥𝑎

Réciproque ln 𝑥 exp 𝑥

exp(𝑗𝑥) + exp(−𝑗𝑥) cos 𝑥 = 2

arccos 𝑥

10𝑥

Calcul exp 0 = 1 ln 1 = 0 log 1 = 0 𝑥0 = 1 cos(𝑛𝜋) = 1 𝜋 cos ( + 𝑛𝜋) = 0 2 sin(𝑛𝜋) = 0 𝜋 sin ( + 𝑛𝜋) = 1 2 tan(𝑛𝜋) = 0

arcsin 𝑥 exp(𝑗𝑥) − exp(−𝑗𝑥) 2𝑗 cos 𝑥 arctan 𝑥 tan 𝑥 = Tangente sin 𝑥 exp 𝑥 + exp(−𝑥) acosh 𝑥 Cosinus hyperbolique cosh 0 = 1 cosh 𝑥 = 2 exp 𝑥 − exp(−𝑥) asinh 𝑥 Sinus hyperbolique sinh 0 = 0 sinh 𝑥 = 2 Les fonctions trigonométriques s’expriment avec le complexe 𝑗 tel que 𝑗 2 = −1. Sinus



sin 𝑥 =

Opérations à connaitre : exp(ln 𝑥) = ln(exp 𝑥) = 𝑥 ; log(10𝑥 ) = 10log 𝑥 = 𝑥 exp(𝑥 + 𝑦) = exp 𝑥 × exp 𝑦 ; exp(𝑥𝑦) = (exp 𝑥)𝑦 = (exp 𝑦)𝑥 𝑥 ln(𝑥𝑦) = ln 𝑥 + ln 𝑦 ; ln ( ) = ln 𝑥 − ln 𝑦 ; ln(𝑥 𝑎 ) = 𝑎 ln 𝑥 𝑦 𝑥 log(𝑥𝑦) = log 𝑥 + log 𝑦 ; log ( ) = log 𝑥 − log 𝑦 ; log(𝑥 𝑎 ) = 𝑎 log 𝑥 𝑦 𝑥𝑎 𝑥 𝑎+𝑏 = 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 ; 𝑥 𝑎−𝑏 = 𝑏 𝑥 1 − cos(2𝑥) 1 + cos(2𝑥) sin(2𝑥) cos2 𝑥 = ; sin2 𝑥 = ; cos 𝑥 sin 𝑥 = 2 2 2

2. Dérivée. 2.1. Dérivée première (ou au premier ordre). 𝒅𝒇

La dérivée d’une fonction 𝒇(𝒙) d’une variable 𝒙 se note 𝒅𝒙 et est définie par : 𝒅𝒇 𝜹𝒇 𝒇(𝒙 + 𝜹𝒙) − 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝒅𝒙 𝜹𝒙→𝟎 𝜹𝒙 𝜹𝒙→𝟎 𝜹𝒙 𝛿𝑓 Le rapport 𝛿𝑥 représente un taux de variation globale de la fonction 𝑓 pour l’intervalle 𝛿𝑥. 𝑑𝑓

La dérivée 𝑑𝑥 d’une fonction par rapport à une variable en un point mesure donc le taux local de variation de cette fonction par rapport à la variable. Remarque : il faut différencier une petite variation 𝛿𝑓 de la fonction 𝑓 et sa différentielle 𝑑𝑓 qui en constitue une valeur approchée au premier ordre, infiniment petites soient-elles. La dimension d’une dérivée est celle de la fonction 𝑓 divisée par celle de la variable 𝑥. Dérivées usuelles : Fonction 𝑎 exp(𝑎𝑥) ln 𝑥 𝑥𝑎 cos 𝑥 sin 𝑥 cosh 𝑥 sinh 𝑥 1 Dérivée 0 𝑎 exp(𝑎𝑥) 𝑎𝑥 𝑎−1 − sin 𝑥 cos 𝑥 sinh 𝑥 cosh 𝑥 𝑥

PCSI Brizeux Fiche outils 2016-2017 La dérivée d’une fonction 𝑓 d’une variable 𝑥 qui dépend de la variable 𝑦 se calcule : 𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Si 𝑓(𝑥, 𝑦) est une fonction de deux variables, sa différentielle s’exprime en fonction des 𝜕𝑓 différentielles de 𝑥 et de 𝑦, la notation 𝜕𝑥 exprimant la dérivée de 𝑓 en fonction uniquement de 𝑥. 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑓 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 ; 𝑑(𝑥𝑦) = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

2.2.

Formule de Taylor.

La dérivée seconde d’une fonction 𝑓 d’une variable 𝑥 se note : 𝑑 𝑑𝑓 𝑑 2 𝑑2 𝑓 ( )=( ) 𝑓= 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Etant donné une fonction 𝑓(𝑥) au moins 𝑛 fois dérivable en 𝑥, le développement de Taylor permet d’écrire : 𝑑𝑓 𝛿𝑥 2 𝑑 2 𝑓 𝛿𝑥 𝑛 𝑑 𝑛 𝑓 (𝑥 )) + 𝑅𝑛 𝑓(𝑥0 + 𝛿𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) + 𝛿𝑥 ( (𝑥0 )) + ( 2 (𝑥0 )) + ⋯ + ( 𝑑𝑥 2! 𝑑𝑥 𝑛! 𝑑𝑥 𝑛 0 𝑅𝑛 est le reste du développement. Dans la pratique, le développement dépassera rarement l’ordre 2.  Interprétation graphique. Une première évaluation de 𝑓(𝑥0 + 𝛿𝑥) consiste à annuler 𝛿𝑥 car 𝛿𝑥 ≪ 𝑥0 . 𝑓(𝑥0 + 𝛿𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0 ) Une évaluation plus fine de 𝑓(𝑥0 + 𝛿𝑥) consiste à linéariser cette quantité, conformément au développement de Taylor au premier ordre. 𝑑𝑓 𝑓(𝑥0 + 𝛿𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + 𝛿𝑥 ( (𝑥0 )) ⇔ 𝑦 = 𝑎 + 𝑥𝑏 𝑑𝑥 Géométriquement, ce développement au premier ordre revient à assimiler le voisinage de la courbe représentative de 𝒇(𝒙) en 𝒙𝟎 à sa tangente au point considéré (valable pour une fonction continue). Une évaluation encore plus complète de 𝑓(𝑥0 + 𝛿𝑥) permet de préciser la parabole qui épouse le mieux la courbe 𝑓(𝑥) en 𝑥0 . 𝑑𝑓 𝛿𝑥 2 𝑑 2 𝑓 (𝑥 )) ⇔ 𝑦 = 𝑎 + 𝑥𝑏 + 𝑥 2 𝑐 𝑓(𝑥0 + 𝛿𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + 𝛿𝑥 ( (𝑥0 )) + ( 𝑑𝑥 2! 𝑑𝑥 2 0  Développements limités. On en déduit les développements limités au premier ordre suivants tel que 𝑥 ≪ 1 : (1 ± 𝑥)𝑎 ≈ 1 ± 𝑎𝑥 ; exp 𝑥 ≈ 1 + 𝑥 ; ln(1 + 𝑥) ≈ 𝑥 Les développements limités du second ordre concernent les fonctions trigonométriques. 𝑥2 cos 𝑥 ≈ 1 − ; sin 𝑥 ≈ tan 𝑥 ≈ 𝑥 2

3. Primitive et intégrale. Soit 𝑓(𝑥) une fonction continue définie sur l’intervalle [𝑥1 ; 𝑥2 ] ayant pour primitive la fonction 𝐹(𝑥) telle que : 𝑑𝐹 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

PCSI Brizeux Fiche outils L’intégrale de cette fonction sur cet intervalle est donnée par :

2016-2017

𝒙𝟐

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙𝟐 ) − 𝑭(𝒙𝟏 ) 𝒙𝟏

Cette intégrale représente l’aire sous la courbe représentative de 𝑓(𝑥) limitée à cet intervalle. Une intégrale représente en définitive la limite d’une somme d’aires 𝑓(𝑥)𝛿𝑥 de rectangles élémentaires lorsque la largeur 𝛿𝑥 de ces rectangles tend vers 0. C’est là l’origine du symbole , déformation de la lettre S signifiant somme. 𝒙 Autrement dit, la quantité ∫𝒙 𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 est la somme de 𝒙𝟏 à 𝒙𝟐 de toutes les aires 𝟏 élémentaires 𝒇(𝒙)𝒅𝒙.  Valeur moyenne. La valeur moyenne d’une fonction 𝒇, de période 𝑻 est définie par : 𝒕𝟎 +𝑻

𝟏 〈𝒇(𝒕)〉 = ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 𝑻 𝒕𝟎

Valeur moyenne des fonctions trigonométriques : 〈cos(𝜔𝑡)〉 = 〈sin(𝜔𝑡)〉 = 〈cos(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡)〉 = 0

;

〈cos2 (𝜔𝑡)〉 = 〈sin2 (𝜔𝑡)〉 =

1 2

4. Représentation graphique d’une fonction. Une fonction 𝑓(𝑥) a un comportement asymptotique au voisinage d’un point ou en l’infini lorsqu’elle se rapproche d’une autre fonction réputée « simple » et « connue », servant alors de référence. Une fonction 𝑓(𝑥) possède un extrémum local, minimum ou maximum, en un point où sa dérivée est nulle. Parfois, la représentation graphique d’une fonction 𝑓(𝑥) est plus simple en utilisant l’échelle logarithmique. Dans cette échelle, on trace log 𝑓(𝑥) en fonction de log 𝑥. Le quadrillage en échelle logarithmique laisse apparaitre les puissances de dix sur chaque axe. Les subdivisions qui marquent les entiers successifs 1, 2, 3, … , 8 et 9 ne sont pas séparées de la même distance, car c’est le logarithme décimal de cet entier qui intervient. En échelle logarithmique, la loi de puissance 𝒂𝒙𝒃 est représentée par une droite de pente 𝒃. 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒃 ⇔ 𝐥𝐨𝐠 𝒇 = 𝒃 𝐥𝐨𝐠 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠 𝒂 ⇔ 𝒀 = 𝒃𝑿 + 𝑨

5. Développements en série de Fourier d’une fonction périodique. Toute fonction 𝒇(𝒙) de période 𝑻 et continue sauf en un nombre fini de points admet un développement en série de Fourier. ∞ 𝒕 𝒇(𝒙) = 𝑨𝟎 + ∑ 𝑨𝒏 𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝝅𝒏 + 𝝋𝒏 ) 𝑻 𝒏=𝟎

En tout point où 𝑓(𝑥) est continue, on peut aussi écrire : ∞ 𝑡 𝑡 𝑓(𝑥) = 𝐴0 + ∑ 𝑎𝑛 cos (2𝜋𝑛 ) + 𝑏𝑛 sin (2𝜋𝑛 ) 𝑇 𝑇 𝑛=0