Föreläsning 1

Flerdimensionell analys (FMA430) Anders Källén

Föreläsning 1 Innehåll: Grundläggande strukturer Kapitel 1 och 2 1) Grundläggande begrepp 2) Att rita mängder och ytor 3) Polära och rymdpolära koordinater

Efter dagens föreläsning måste du - gå hem och repetera både endim-kursen och kursen i linjär algebra – fast det har du väl redan gjort - kunna några nya mängd-begrepp - veta vad polära koordinater är i olika dimensioner

om referensstrålen är den positiva x-axeln. Notera att 0 ≤ θ < 2π. Problemet med vinkeln är detsamma som att beskriva enhetscirkeln m.h.a. en vinkel. 3. I rummet blir problemet detsamma som att beskriva punkter på en enhetssfär i form av två vinklar, alltså samma problem som att beskriva lägen på jordytan. Detta görs i form av latitud och longitud. Dock har man i matematiken valt att införa en variant av detta som kallas rymdpolära koordinater där latitud mäts inte från ekvatorn utan från nordpolen:

Några nya begrepp - En omgivning av en punkt är innehållet i en cirkelskiva (intervall, klot, etc) med punkten som medelpunkt. - En inre punkt i en mängd M är en punkt sådan att det finns omgivning till den som ligger helt i M - En mängd är öppen om alla punkter i den är inre punkter. - En mängd är sluten om dess komplement är öppet - En punkt är en randpunkt till en mängd M om varje omgivning till den innehåller både punkter från M och från dess komplement. - En mängd är kompakt om den är både sluten och begränsad. Anmärkning En mängd är sluten om alla randpunkter tillhör mängden och öppen om ingen punkt på randen ligger i mängden Exempel Vilka egenskaper har mängden {( x, y); 4x2 + 9y2 ≤ 1}? Mängen {( x, y); 4x2 + 9y2 > 1}? Är mängden {( x, y); 1 ≤ y < 2} öppen eller sluten? (Vad gäller för mängden av rationella tal?)

Vi ser att x = r sin θ cos φ,

Att rita mängder och ytor Exempel Rita mängden {( x, y); 0 ≤ x ≤ y ≤ 1} och mängden {( x, y); | x | + |y| ≤ 1}. Exempel Rita skålen z = x2 + y2 , 0 ≤ z ≤ 1. Hur beskriver du innehållet i skålen?

y = r sin θ sin φ,

z = r cos θ.

Vinklarna varierar enligt: 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π. Exempel Beskriv i rymdpolära koordinater kroppen som ges av q

x 2 + y2 ≤ z ≤

q

4 − x 2 − y2 .

Exempel Skissera ytan z = x2 − y2 . Tänk på kartor och deras nivåkurvor! Ytan kallas en sadelyta - varför?

Skissera också kroppen i xyz-rummet. Svaret (första uppgiften) är 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/4, 0 ≤ φ ≤ 2π.

Polära och rymdpolära koordinater

Att fundera på till nästa gång

Att ange en punkts läge i cartesiska koordinater kräver att vi först lagt ut ett koordinatsystem (helst ON-system). Inklusive en fixpunkt, origo. Ett annat sätt att ange en punkts läge i förhållande till en fixpunkt (origo) är att ange 1. Avståndet till punkten (betecknat r och alltid ≥ 0). Detta görs i princip likadant i alla dimensioner. 2. Riktningen till punkten. Detta är mer komplicerat – vi vill göra det i form av vinklar och de måste då mätas relativt något. Så här gör vi i olika dimensioner: 1. I en dimension ligger punkten antingen till höger (+1) eller vänster (−1) om origo. En punkt till höger beskrivs som +r och en punkt till vänster som −r. 2. I planet, lägg ut en referensstråle från origo (riktningen till polstjärnan - fast i planet). Alla riktningar från origo kan anges som vinkeln (moturs - konvention) relativt denna. Vinkeln betecknas θ och x = r cos θ, y = r sin θ

Fundera på följande om relationen mellan en funktion av en variabel och en funktion av två variabler: - Grafen av funktionen f ( x ) är kurvan y = f ( x ). Vad är grafen av funktionen f ( x, y)? - Tangenten till grafen y = f ( x ) i punkten ( a, f ( a)) är en rät linje. Vad är motsvarigheten för en funktion av två variabler? - Vad mätte differentialen d f ( a)? Vad borde motsvarande “sak” vara för funktionen f ( x, y)?