Hartmut Spiegel Grundlagen der Schulmathematik SS 2005

Prof. Dr. H. Spiegel

Hartmut Spiegel

Schulmathematik SS 2005

Aufg.SWS S 1

Grundlagen der Schulmathematik

SS 2005

Aufgaben zum Thema: Nichtdezimale Stellenwertsysteme 5.3

Ordnen von Zahlen in verschiedenen Systemen

a) Ordnen Sie der Größe nach: (Rechnen Sie dabei so wenig wie möglich!) i) 23145, 20015 , 34215 , 10325 ii) 2110113 , 1111223, 1222223, 2011113 iii) 2103, 1234, 0115, 2436 b) Setzen Sie die Zeichen < oder > ein, so dass wahre Aussagen entstehen. i) 2113  111112 10002  10003 iii) ii) 4378  4469 10004  1007 iv) c) Die Gleichung 212g = 1134 soll richtig sein. i) Welche Ordnungsbeziehung gilt dann sicher zwischen g und 4? g) Bestimmen Sie g. Gibt es mehrere Lösungen? 5.4

Zahlsysteme und Endstellen

Wenn Sie die Zahl 47 ins Dreiersystem, ins Fünfersystem, ins Neunersystem übersetzen, wird die letzte Stelle in allen Fällen eine 2 sein. Konstruieren Sie nun eine mindestens zweistellige Zahl z mit folgender Eigenschaft: Wird z im Vierer-, Fünfer-, Sechser-, Siebener-, Achter- und Neunersystem geschrieben, so ergibt sich jedesmal die Endziffer 3. Schreiben Sie etwas, was die Leserin erkennen lässt, was Sie sich zur Konstruktion der Zahl überlegt haben. 5.5

Umrechnung einer Zahl aus dem Dezimalsystem in andere Systeme

Die Zahl 423 kann wie folgt ins Vierersystem umgerechnet werden: 423:4= 105 Rest 3 105:4= 26 Rest 1 26:4= 6 Rest 2 6:4= 1 Rest 2 1:4= 0 Rest 1 Also ist 42310=122134 Rechnen Sie mit Hilfe dieses Verfahrens (fortlaufende Division durch die Basis und Bestimmung der Reste) nachstehend im Zehnersystem angegebene Zahlen i) 111, 222, 444 ins Zweiersystem ii) 111, 333, 999 ins Dreiersystem iii) 111, 777, 5439 ins Siebenersystem um. (Achtung, hier kann man sich eine Menge Rechenarbeit ersparen! Denn wenn man die erste Zahl einer jeden Teilaufgabe rechnerisch umgewandelt hat, kann man die anderen Ergebnisse ohne Rechnung unmittelbar hinschreiben. Wie? und Warum?) b) Eine Art Umkehrung zum obigen Verfahren stellt folgendes Verfahren dar, eine Zahl vom nichtdezimalen System ins Zehnersystem zu übersetzen. Erklären Sie, warum es funktioniert: 5247= (5 · 7+2) · 7+4 = 263 Verwandeln Sie nach diesem Schema ins Zehnersystem: 347; 6667; 3579; 5168 c) Bestimmen Sie möglichst geschickt jeweils die Basis b : i) 53=125b

ii) 177=1202b

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Aufg.SWS S 2

5.6 Beziehungen zwischen verschiedenen Zahlsystemen Die Gleichung 212b = 1134 soll richtig sein. a) Welche Ordnungsbeziehung ("") gilt dann sicherlich zwischen b und 4? Warum? b) Bestimmen Sie b. Gibt es mehrere Lösungen? 5.7 Umrechnung aus anderen Systemen ins Dezimalsystem Rechnen Sie die nachfolgend gegebenen Zahldarstellungen auf zwei verschiedene Arten ins Dezimalsystem um: a) 4215 b) 31045 c) 243135 d) 1300425 e) 21356 f) 13124 g) 11112 h) 11114 5.8 Umrechnung zwischen binärem und Achtersystem a) Versuchen Sie, das Vorgehen zu verstehen!

{ { {

101 011 1112 = 5 3 7 8

b) 110 100 110 0102 = _________8. Können Sie hier entsprechend vorgehen? c) 120 112 023 = _________9. Und hier? 5.9 Zahlsysteme und Teilbarkeit Sei z = 9876666543g. Gesucht ist die Basis g eines Stellenwertsystems, in dem die o.a. Zahl durch 2, 3, 4 und 5 teilbar ist. Gibt es mehrere solche g? Hinweis: Denken Sie an die Verallgemeinerung der im Zehnersystem geltenden Quersummenregel auf andere Systeme. 5.10 1001 ist durch 11 teilbar Geben Sie eine schlüssige Erklärung für folgende Tatsache: In jedem Stellenwertsystem mit einer beliebigen Basis b ist 1001 durch 11 teilbar. Hinweis: Der Quotient ist jeweils diejenige Zahl, die als erste Ziffer die größte Ziffer des Systems hat und als zweite Ziffer eine Eins. 5.11 Rechnungen und Aussagen im Achtersystem Korrigieren Sie die fehlerhaften Rechnungen und Aussagen im Stellenwertsystem zur Basis 8 mit kurzen Begründungen. a) 45678 b) 3768 · 638 c) Eine natürliche Zahl, die im 8er-System dargestellt ist, ist -------------------- genau dann durch 7 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 7 + 23718 276408 teilbar ist. 70608 11728 -------------------310328 5.12 Gültigkeit von Gleichungen in verschiedenen Zahlensystemen In welchen Zahlensystemen sind diese Aufgaben jeweils richtig gelöst? Geben Sie zu jeder Gleichung alle möglichen Basiszahlen derjenigen Stellenwertsysteme an, für die die betreffenden Gleichungen stimmen. a) 14+2=21 b) 10101-100=10001 c) 2 · 10=20 d) 11 · 11=1001 Achtung: Sie sollten Ihre Lösungen auch begründen!

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5.13 Gesetzmäßigkeiten in b-Systemen Überprüfen Sie die folgenden Gleichungen: 9 · 9=81, 78 · 78=618, 67 · 67=517, 56 · 56=416 a) Drücken Sie die angedeutete Gesetzmäßigkeit für ein beliebiges b-System aus. b) Berechnen Sie 89 · 89 und 43 · 43 direkt mit dieser Gesetzmäßigkeit und überprüfen Sie dann durch Übertragung ins 10er System. c) Legen Sie schlüssig dar, warum diese Gesetzmäßigkeit allgemein gültig ist. 5.14 Runden in b-Systemen [BR] Möchte man in unserem Zehnersystem eine Zahl an einer Stelle runden, so wird abgerundet, wenn an dieser Stelle eine der Ziffern 0 bis 4 steht, und aufgerundet, wenn dies eine der Ziffern 5 bis 9 ist. Beschreiben Sie eine ähnliche Regel für das Sechser- und für das Siebener-System. Runden Sie auf den nächsten Sechsersechsersechser: 50321246 , 25304125016 Runden Sie auf den nächsten Siebenersiebener: 15325367 , 540613657 5.15* (7.21)

Systemabhängige und systemunabhängige Aussagen über Zahlen

Sei b eine natürliche Zahl, b≥2, fest gewählt. Welche der folgenden Aussagen sind im b-System (Stellenwertsystem mit Basis b) immer richtig, ganz gleich, welches b man wählt? Bei den richtigen Aussagen ist keine weitere Begründung erforderlich; bei den falschen Aussagen ist ein Gegenbeispiel anzugeben. (i) Jede Zahl mit einer ungeraden Anzahl von Teilern ist eine Quadratzahl. (ii) Jede Zahl, deren Quersumme im b-System durch 3 teilbar ist, ist selbst durch 3 teilbar (iii) Eine dreistellige Zahl ist kleiner als eine vierstellige Zahl. (iv) Das Quadrat einer geraden Zahl ist eine gerade Zahl. (v) Ist die letzte Ziffer einer Zahl gerade, dann ist auch die letzte Ziffer ihrer Quadratzahl gerade (vi) Eine Zahl wird mit 1000b multipliziert, indem drei Nullen angehängt werden (vii) Eine Zahl wird mit b3 multipliziert, indem drei Nullen angehängt werden. 5.16 Ermitteln von Bündelungszahlen Gegeben sind folgende Gleichungen: 53 = 125a 177 = 1202b 170 = 101c 24 = 222d 1134 = 212e 13214 = 79f a) Was kann man direkt ohne Rechnung über die unbekannten Bündelungszahlen im Vergleich zu den jeweils gegebenen Bündelungszahlen aussagen? b) Bestimmen Sie in jeder Gleichung die Unbekannte. 5.17 Rechnen in verschiedenen Systemen Berechnen Sie jeweils im angegebenen Stellenwertsystem: a) 321032(4) - 20031(4) - 33232(4) b) 24302(5) + 3342(5) + 440134(5) c) In welchem Stellenwertsystem wurden folgende Rechnungen durchgeführt? Geben Sie jeweils alle Möglichkeiten an. (i) 210 + 102 = 312 (ii) 6205 - 3522 = 2463 5.18 Quadratzahlen in verschiedenen Systemen a) Zeigen Sie: Für jedes b>3 ist 12321b eine Quadratzahl. b) Zeigen Sie: Für jedes b>5 ist 123454321b eine Quadratzahl.

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c) Erfinden Sie selbst eine analoge Aufgabe mit einer noch viel längeren Zahl. Warum muss man die Einschränkung für b machen? 5.19 Quersummen im Siebenersystem Prüfen Sie bei nachstehend im Siebenersystem angegebenen Zahlen jeweils die Zahl sowie die Quersumme auf Teilbarkeit durch i) 6: 32437, 6517, 12037 ii) 3: 10117, 23317, 1027 iii) 2: 10127, 10017, 1167 Dem, was Ihnen dabei auffallen kann, liegt eine Gesetzmäßigkeit zugrunde, nämlich eine zu der uns schon gekannten Quersummenregel im Zehnersystem analoge Quersummenregel für das 7-System bzw. g-Systeme bei beliebigem g. Formulieren und beweisen Sie diese. 6.6 Die Waknuks Die Waknuks sind ein Völkchen, das wenig Verbindung zur übrigen Welt hat. Aber irgendwann einmal müssen sie von einem Schiffbrüchigen, der an die Gestade ihrer Insel verschlagen wurde, die vier Grundrechenarten gelernt haben, sogar auch unsere zehn Ziffern (0, 1, …, 9). Ob es an ihrem Lehrmeister lag oder an ihrem schlechten Gedächtnis weiß man nicht. Jedenfalls gebrauchen die Waknuks unsere Ziffern-Zeichen auf ihre eigene Art, d.h. die Waknuk-7 kann irgendeine beliebige, natürlich dann feststehende Ziffer von uns bedeuten, und auch die Zahl der Finger einer Hand wird eindeutig mit einer Ziffer belegt (nicht notwendig unsere Ziffer 5). Die Rechnungen der Waknuks sehen daher in unseren Augen recht merkwürdig aus. Hier sind zum Beispiel vier Rechenaufgaben aus dem Heft eines Waknuk-Schülers. Drei Aufgaben hat er richtig gelöst, nur die Subtraktion ist falsch: 062 5462 35 · 97 732:9=20 643 -6643 199 + 487 2145 552 153 9679 Welches wäre (waknukisch!) die richtige Differenz bei der Subtraktion gewesen? 7.26 Primabellas Zauberkarten * Primabella hat sich neue Zauberkarten ausgedacht. Ihre Zauberkarten sehen so aus:

9 12 15

links rechts 10 11 18 19 20 13 14 21 22 23 16 17 24 25 26 Karte 1

3 12 21

links rechts 4 5 6 7 8 13 14 15 16 17 22 23 24 25 26 Karte 2

1 10 19

links rechts 4 7 2 5 8 13 16 11 14 17 22 25 20 23 26 Karte 3

Sie bittet ihre Freundin Susi, sich eine Zahl zwischen 0 und 26 auszudenken. Dann legt sie ihr nacheinander die drei Karten vor und bittet sie, ihr zu sagen, wo auf welchen Karten die Zahl zu finden ist. "Meine Zahl befindet sich auf Karte 1 in der rechten Hälfte; auf Karte 2 ist sie nicht drauf, und auf Karte 3 ist sie in der linken Hälfte!" Primabella überlegt einen Augenblick und sagt dann souverän: "Deine Zahl ist die 19!" "Das ist doch kein Trick!", sagt Susi, "Auf der ersten Karte kamen noch sechs Zahlen in Frage, nämlich die Zahlen von 18 bis 26. Von denen fehlen die Zahlen 18, 19 und 20 auf der zweiten Karte, und von denen ist nur die 19 links auf der Karte drei!" "Kluges Kind!", antwortet Primabella, "Es gibt auch einen anderen, schnelleren Weg! Im Geiste habe ich mir deine Antworten folgendermaßen notiert: "2" für deine Antwort zur ersten Karte, "0" für die der zweiten und schließlich "1" für deine dritte Antwort. Insgesamt also "2 0 1". Dann wusste ich sofort, dass du die 19 meinst!" Susi staunt: "Das verstehe ich aber nicht!"

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"Pass auf", sagt Primabella, "der Trick beruht auf der Verschlüsselung der Zahlen in einem anderen Zahlendarstellungssystem ..." Als Primabella ihre lange Erklärung beendet hat, nickt Susi verstehend und meint: "Ach so, dann hättest du also die 13 mit "1 1 1" und die 25 mit "2 2 1" verschlüsselt, ´ne?" a) Susi hat den Trick jetzt durchschaut. Sie will sich aber zunächst nur notieren, was sie tun muss, um auf Primabellas Art die gesuchte Zahl zu ermitteln. Schreiben Sie bitte diese Gebrauchsanweisung auf. b) Susi hat während der Erklärung von Primabella viele Zwischenfragen gestellt. i) Auf welchem Zahlensystem basiert der Trick? ii) Warum steht die Zahl 13 auf allen Karten auf der linken Seite? ii) Warum haben die Karten eine rechte und eine linke Hälfte? iii) Warum stehen nicht immer alle Zahlen, die erraten werden können, auf jeder Karte? iv) Warum ist die Zahl 26 die größte Zahl, die man mit den Karten verschlüsseln kann? Versuchen Sie, Susis Fragen zu beantworten. c) Susi bastelt sich nun selbst Zauberkarten. Sie verwendet vier Karten. i) Welches ist die größte Zahl, die sie jetzt herausfinden kann? ii) Wo und auf welchen der vier Karten von Susi befinden sich die folgenden Zahlen: 40; 23; 60; 27? Hier reicht eine Antwort ohne Begründung! 7.27 Subtraktion von Spiegelzahlen im Sechsersystem Im Folgenden seien alle Zahlen im Stellenwertsystem zur Basis 6 dargestellt. a) Bilden Sie mehrmals die Differenz zwischen einer zweistelligen Zahl und ihrer Spiegelzahl. (Beispiel: 42-24=14) Durch welche Zahl ist jede solche Differenz teilbar? Begründung! b) Begründen Sie die gefundene Regel auf eine deutlich andere Weise. 7.28 Bevölkerungsexplosion auf der Venus? Mathematisch gesehen ist an der Zahl Zehn nichts Besonderes. Wir hängen an ihr nur deswegen so stark, weil wir zufällig zehn Finger haben. Hätten die Menschen nur vier Finger, so würden sie sicherlich zählen 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 … usw. statt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … usw. Und statt unseres 3+5=8 würden sie sagen 3+11=20. Derartige Überlegungen könnten sich als recht beschwerlich für Raumfahrer herausstellen, falls man gewisse spintisierenden Schriftstellern glauben wollte. So hat z.B. einer von ihnen behauptet, die Venus-Leute hätten keine Hände und Finger, sondern eine Anzahl von "Fühlern, die aus ihren hochgewölbten Stirnen hervorsprießen". Wenn dem so ist, dann wäre es wahrscheinlich, dass sie nicht bis zehn zählen, sondern bis zur Zahl der Fühler, die sie besitzen. Man könnte sich etwa folgende Unterhaltung vorstellen: Erdmann: Ich stelle gerade fest, dass sie hier viel größere Familien haben als wir auf der Erde. Dürfte ich fragen, wie viele Kinder Sie selbst haben? Venusmann (wobei er sich mit einem Fühler am Hinterkopf kratzt): Nun, lassen Sie mich mal nachdenken. Ich habe 43 Söhne und - hm 52 Töchter. Das sind zusammen 125 Kinder, nicht wahr? Angenommen, seine Rechnung war von seinem Standpunkt aus einwandfrei: Wie viele Kinder hatte er dann (in irdischen Zahlen) und wie viele "Fühler sprossen aus seiner hochgewölbten Stirn"? 7.29 495 ist ein besondere Zahl 495 ist ein seltsamer Anziehungspunkt für dreistellige Zahlen. Gehen wir beispielsweise von Zahl 265 aus. Wir ordnen ihre Ziffern in absteigender Reihenfolge an, also 652, kehren diese um, 256, subtrahieren die zweite von der ersten. 652 – 256 = 396. Das gleiche für 396: 963 – 369 = 594. Und für 594: 954 – 459 = 495. Unabhängig von der Ausgangszahl ergibt sich immer 495. Warum?