Identités trigonométriques Sylvain Lacroix 2005

Identités trigonométriques Autres fonctions trigonométriques Après les fonctions sinus, cosinus et tangente, nous allons voir trois autres types de fonctions. La fonction sécante est l’inverse de la fonction cosinus : hypoténuse 1 Sec t = = adjacent cos t La fonction cosécante est l’inverse de la fonction sinus : hypoténuse 1 Cosec t = = sin t opposé La fonction cotangente est l’inverse de la fonction tangente: adjacent 1 cos t Cotan t = = = opposé tan t sin t Simplification d’expression algébrique Sec t =

1 cos t

cosec t =

1 sin t

cotan t =

cos t sin t

Exemple 1 : Sin t x cotan t = sin t x

cos t = cos t sin t

Exemple 2 : Sin t x cos t x sec t x cotan t = sin t x cos t x

1 cos t x = cos t cos t sin t

Exemple 3 : Cos t x cosec t = cos t x

1 = cotan t sin t

Identités trigonométriques Il y en a trois.

Première identité de base.

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Identités trigonométriques Avec Pythagore
sin2t + cos2t = 1 Deuxième identité de base.

sin 2 t cos 2 t 1 + =
tan2t + 1 = sec2t 2 2 2 cos t cos t cos t Démonstration :

mOF mOA mOAxmOG 1x1
mOF = = = = sec t mOG mOC mOC cos t

Troisième identité de base.

cosec t

G

sin 2 t cos 2 t 1 + =
1 + cotan2t = cosec2t 2 2 2 sin t sin t sin t Démonstration : mBE mOB mOBxmOC 1x cos t =
mBE = = = cot ant mOC mCG mCG sin t mOE mOB mOBxmOG 1x1 =
mOE = = = cos ect mOG mCG mCG sin t

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Identités trigonométriques Trouver les valeurs trigonométriques À partir d’une valeur trigonométrique et d’un quadrant où se situe le point P(t), on peut trouver la valeur des autres fonctions trigonométriques. Exemple : sin t = 1/2 et t e [

π 2

,π ]

1 1 3 3 sin2t + cos2t = 1
cos2t = 1 - sin2t
cos t = 1 − ( ) 2 = 1 − ( ) = = 2 4 4 2 3 car il est dans le deuxième quadrant 2 1 ( ) sin t 1 3 Tan t = = 2 =− =− cos t 3 3 3 −( ) 2 1 2 1 2 3 = =− =− Sec t = cos t 3 3 3 − 2 1 1 Cosec t = = =2 1 sin t ( ) 2 1 3 3 3 Cotan t = =− =− 3 3 3 − 3 Donc, cos t = -

Démonstration d’identité trigonométrique Il suffit de transformer le membre de gauche de l’égalité pour obtenir l’équivalent du membre de droite. Exemple 1 : tan2t - sin2t = sin2t x tan2t tan2t-sin2t =

sin 2 t sin 2 t sin 2 t cos 2 t sin 2 t (1 − cos 2 t ) sin 2 t sin 2 t 2 sin t = = = = tan2t*sin2t 2 2 2 2 2 cos t cos t cos t cos t cos t

Exemple 2 : Cot2t – cosec2t = -1 Cot2t – cosec2t =

cos 2 t 1 cos 2 t − 1 − sin 2 t = = = -1 sin 2 t sin 2 t sin 2 t sin 2 t

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Identités trigonométriques Exemple 3 : Sec2t + cosec2t =

1 cos t sin 2 t 2

1 1 sin 2 t cos 2 t + = + = cos 2 t sin 2 t cos 2 t sin 2 t cos 2 t sin 2 t sin 2 t + cos 2 t 1 = 2 2 2 cos t sin t cos t sin 2 t

Sec2t + cosec2t =

Exemple 4 : Sec t – cos t = tan t sin t Sec t – cos t =

(1 − cos 2 t ) sin 2 t sin t sin t 1 -cos t = = = = tan t sin t cos t cos t cos t cos t

Exemple 5 : tan2t + sec2t = 2sec2t -1

Rappel : 1 + tan2t = sec2t
tan2t = sec2t -1

tan2t + sec2t = sec2t -1 + sec2t = 2sec2t -1

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