Il arrive souvent qu`à chaque résultat d`une expérience

Lycée Camille SEE 12 mars 2012

I

Tle ES

LOI NUMÉRIQUE

VARIABLE ALÉATOIRE

Il arrive souvent qu’à chaque résultat d’une expérience aléatoire on associe un nombre réel. On définit ainsi une fonction de l’univers Ω dans R. Par exemple le gain obtenu à l’occasion d’un jeu de hasard ou encore le temps d’attente d’un bus. En terminale ES, on ne considère que le cas où Ω est un univers fini. Une variable aléatoire X sur un univers fini Ω est une fonction de l’univers Ω dans R qui prend un nombre fini de valeurs. II

LOI DE PROBABILITÉ D ’ UNE VARIABLE ALÉATOIRE

Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs x1 , x2 , . . . , xk ; on note (X = xi ) l’évènement de Ω constitué des issues qui ont pour image le réel xi par X . Lorsque, à chaque valeur xi , on associe la probabilité de l’évènement (X = xi ), notée p(X = xi ), on définit une loi de probabilité sur l’ensemble {x1 ,x2 , . . . ,xk }, appelée la loi de probabilité de la variable aléatoire X . On peut la représenter sous forme d’un tableau de valeurs : X p(X = xi )

x1 p(X = x1 )

··· ···

x2 p(X = x2 )

xk p(X = xk )

EXEMPLE

Un joueur lance deux dés cubiques équilibrés ; si il obtient un double six alors le joueur gagne 10 C, si la somme des chiffres est un nombre impair, le joueur gagne 3 C et sinon le joueur perd 5 C. – On considère l’expérience aléatoire suivante : on lance deux dés cubiques équilibrés et on fait la somme des chiffres obtenus. L’univers de cette expérience est Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. La loi de probabilité définie sur Ω est : Issue Probabilité

2 1 36

3 2 36

4 3 36

5 4 36

6 5 36

7 6 36

8 5 36

9 4 36

10 3 36

11 2 36

12 1 36

1 . 36 4 6 4 2 1 2 + + + + = . L’évènement (X = 3) est constitué des issues {3,5,7,9,11} d’où p(X = 3) = 36 36 36 36 36 2 Or p(X = −5) + p(X = 3) + p(X = 10) = 1 ; donc

– L’évènement (X = 10) est constitué de l’issue {12} donc p(X = 10) =

1 1 17 p(X = −5) = 1 − p(X = 3) − p(X = 10) = 1 − − = 2 36 36 D’où la loi de probabilité de X : xi p(X = xi )

A. YALLOUZ (MATH@ES)

−5 17 36

3 1 2

10 1 36

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III

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LOI NUMÉRIQUE

ESPÉRANCE , VARIANCE ET ÉCART- TYPE

Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs x1 , x2 , . . . , xk La loi de probabilité de X associe à chaque xi sa probabilité pi = p (X = xi ) X p(X = xi )

x1 p1

··· ···

x2 p2

xk pk

1. On appelle espérance mathématique de X notée E(X ), le réel : k

E(X ) = ∑ xi p(X = xi ) = x1 p1 + x2 p2 + · · · + xk pk i=1

2. On appelle variance de X notée V(X ), le réel : k

V(X ) = ∑ (xi − E(X ))2 pi = (x1 − E(X ))2 × p1 + (x2 − E(X ))2 × p2 + · · · + (xk − E(X ))2 × pk i=1

3. On appelle écart-type de X noté σ (X ), le réel :

σ (X ) =

p

V(X )

AUTRE FORMULE DE LA VARIANCE

k
V(X ) = ∑ (xi − E(X ))2 pi = E X 2 − E2 (X ) i=1

En effet :

k

V(X ) = ∑ (xi − E(X ))2 pi i=1 k


= ∑ pi x2i − 2pi xi E(X ) + piE2 (X ) i=1

k

=

!

k

k

∑ pi x2i − 2E(X ) ∑ pi xi + E2(X ) ∑ pi

i=1
2

=E X

=E X

2




i=1

i=1

2

− 2E(X ) × E(X ) + E (X ) × 1 − E2 (X )

Remarques : – L’espérance E(X ) apparaît comme la moyenne pondérée (au sens statistique du terme) des valeurs xi affectées des poids pi . – Dans le cas particulier d’un jeu, l’espérance E(X ) est le gain moyen par partie qu’un joueur peut espérer obtenir s’il joue un grand nombre de fois. Le signe de E(X ) permet de savoir si le joueur a plus de chances de gagner que de perdre. Si E(X ) = 0, on dit que le jeu est équitable. L’écart-type de X permet, lui, d’évaluer le « risque » du jeu : plus l’écart-type est grand plus le risque de perdre ou de gagner est important. EXEMPLE

Dans l’exemple précédent, la loi de probabilité de X est : A. YALLOUZ (MATH@ES)

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LOI NUMÉRIQUE

−5 17 36

xi p(X = xi )

3 1 2

10 1 36

– L’espérance mathématique de X est : E(X ) = −5 ×

17 1 1 7 + 3 × + 10 × =− 36 2 36 12

L’espérance mathématique E(X ) < 0 donc le jeu est défavorable au joueur. Supposons que le joueur joue 60 parties,   7 60 × − = −35 12 Le joueur risque donc de perdre 35 C. – La variance de X est :   1 1 7 2 2699 17 2 2 = − − V (X ) = (−5) × + 3 × + 10 × 36 2 36 12 144 2

– L’écart-type de X est :

σ (X ) =

r

2699 ≈ 4,329 144

EXERCICE 1

Un musée propose à la vente trois sortes de billets : un billet à 9 C pour visiter uniquement les collections permanentes ; un billet à 11 C pour visiter uniquement l’exposition temporaire ou un billet à 13 C pour visiter les collections permanentes et l’exposition temporaire. On sait que : – 60% des visiteurs visitent l’exposition temporaire. – 45% des visiteurs achètent un billet à 11 C. 1. Établir la loi de probabilité associée au prix d’un billet. 2. Quelle est la recette quotidienne que peut espérer ce musée si le nombre de visiteurs par jour est en moyenne de 20 000 ? EXERCICE 2

Un casino d’organiser un jeu de dés. La mise du joueur pour participer à ce jeu est de n euros, ensuite, le joueur lance deux dés et gagne en euros, le double de la somme des deux dés. En supposant que ce jeu ait du succès, quel doit être le montant minimal de la mise du joueur pour que le casino ne perde pas d’argent ?

EXERCICE 3

(D’après sujet bac La Réunion 2007)

Un domino est une petite plaque partagée en deux parties. Sur chacune des parties figure une série de points. Il peut y avoir de zéro à six points dans une série. Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents. Lors d’une fête, on propose le jeu suivant : – le joueur tire au hasard un domino parmi les 28 dominos du jeu, – il gagne, en euros, la somme des points figurant sur le domino tiré. On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d’être tirés 1. Établir la loi de probabilité des gains possibles. A. YALLOUZ (MATH@ES)

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LOI NUMÉRIQUE

2. Le joueur doit miser 7 C avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer récupérer ses mises à l’issue d’un grand nombre de parties ? (D’après sujet bac Polynésie 2005)

EXERCICE 4

Une urne contient des jetons bleus, des jetons blancs et des jetons rouges. 10 % des jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus. Un joueur tire un jeton au hasard. – S’il est rouge, il remporte le gain de base. – S’il est blanc, il remporte le carré du gain de base. – S’il est bleu, il perd le cube du gain de base. 1. On suppose que le gain de base est 2 euros. a) Déterminer la loi de probabilité sur l’ensemble des résultats possibles. b) Calculer le gain moyen que l’on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages. 2. On cherche à déterminer la valeur g0 du gain de base, telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal. Le résultat sera arrondi au centime d’euro. Soit x le gain de base en euros. a) Montrer que le problème posé revient à étudier les éventuels extremums de la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = −0,1x3 + 0,3x2 + 0,6x b) On désigne par f ′ la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ; +∞[. Déterminer f ′ (x). c) En déduire le sens de variation de f sur [0 ; +∞[. d) Conclure sur le problème posé. (D’après sujet bac Centres étrangers 2011)

EXERCICE 5

Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des framboises, des groseilles et des myrtilles. Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture. Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, 9 sur 10 achètent une barquette de fruits à confiture. Lorsqu’un client achète une barquette de fruits à confiture, la probabilité qu’il demande une barquette de myrtilles est de 0,3 et la probabilité qu’il demande une barquette de groseilles est de 0,5. Lorsqu’un client achète une barquette de fruits à déguster, il ne demande jamais des groseilles et demande des framboises dans 60 % des cas. Un client achète une barquette. On notera : – C l’évènement « le client achète une barquette de fruits à confiture », – F l’évènement « le client demande des framboises », – G l’évènement « le client demande des groseilles », – M l’évènement « le client demande des myrtilles ». 1. Reporter sur l’arbre donné ci-dessous, les données de l’énoncé. M

C

F

G

M C F A. YALLOUZ (MATH@ES)

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LOI NUMÉRIQUE

On pourra compléter l’arbre avec les réponses obtenues dans les questions suivantes. 2. a) Calculer la probabilité que le client demande des framboises sachant qu’il achète une barquette de fruits à confiture. b) Le client achète une barquette de fruits à déguster ; quelle est la probabilité qu’il demande des myrtilles ? 3. Montrer que la probabilité que le client achète une barquette de framboises est égale à 0,24. 4. Le client achète une barquette de framboises. Quelle est la probabilité que ce soit une barquette de fruits à confiture ? 5. Le producteur vend 5 euros la barquette de fruits à confiture, quel que soit le fruit, 2 euros la barquette de framboises à déguster et 3 euros la barquette de myrtilles à déguster ; a) On note xi les valeurs possibles, en euros, du gain du producteur par barquette vendue et pi leur probabilité. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du producteur par barquette vendue. On justifiera les réponses. Valeur : xi

5

2

3

Probabilité associée : pi b) Calculer l’espérance de cette loi de probabilité. c) Déterminer le gain en euros que le producteur peut espérer pour 150 barquettes vendues ? (D’après sujet bac Polynésie Septembre 2011)

EXERCICE 6

Dans une ville, une enquête portant sur les habitudes des ménages en matière d’écologie a donné les résultats suivants : – 70 % des ménages pratiquent le tri sélectif ; – parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40 % consomment des produits bio ; – parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10 % consomment des produits bio. On choisit un ménage au hasard (tous les ménages ayant la même probabilité d’être choisis) et on note : T l’évènement « le ménage pratique le tri sélectif » et T son évènement contraire ; B l’évènement « le ménage consomme des produits bio » et B son évènement contraire. Les résultats seront donnés sous forme décimale. 1. a) Donner sans justification la probabilité p (T) de l’évènement T. b) Donner sans justification pT (B) et pT (B) 2. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré. 3. a) Calculer la probabilité de l’évènement : « le ménage pratique le tri sélectif et consomme des produits bio ». b) Montrer que la probabilité que le ménage consomme des produits bio est égale à 0,31. 4. Calculer la probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu’il consomme des produits bio (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au centième). 5. Les évènements T et B sont-ils indépendants ? Justifier. 6. Calculer la probabilité de l’évènement T ∪ B puis interpréter ce résultat. 7. Cette ville décide de valoriser les ménages ayant un comportement éco-citoyen. Pour cela, elle donne chaque année un chèque de 20 C aux ménages qui pratiquent le tri sélectif et un chèque de 10 C aux ménages qui consomment des produits bio sur présentation de justificatifs (les deux montants peuvent être cumulés). Soit S la somme d’argent reçue par un ménage. a) Quelles sont les différentes valeurs que peut prendre S ? (on n’attend pas de justification). b) Donner la loi de probabilité de S. A. YALLOUZ (MATH@ES)

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c) Calculer l’espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat. (D’après sujet bac Pondichéry 2011)

EXERCICE 7

Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert : – un assortiment de macarons, choisi par 50 % des clients ; – une part de tarte tatin, choisie par 30 % des clients. 20 % des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts. Le restaurateur a remarqué que : – parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80 % prennent un café ; – parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60 % prennent un café ; – parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, 90 % prennent un café. On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note p la probabilité associée à cette expérience aléatoire. On note : – M l’évènement : « Le client prend un assortiment de macarons » ; – T l’évènement : « Le client prend une part de tarte tatin » ; – P l’évènement : « Le client ne prend pas de dessert » ; – C l’évènement : « Le client prend un café » et C l’évènement contraire de C. 1. En utilisant les données de l’énoncé, préciser la valeur de p(T ) et celle de PT (C), probabilité de l’évènement C sachant que T est réalisé. 2. Recopier et compléter l’arbre ci-dessous : 0,8

C

M 0,5

C C T C C P C

3. a) Exprimer par une phrase ce que représente l’évènement M ∩C puis calculer p(M ∩C). b) Montrer que p(C) = 0,76. 4. Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu’il prend un café ? (On donnera le résultat arrondi au centième). 5. Un assortiment de macarons est vendu 6 C, une part de tarte tatin est vendue 7 C, et un café est vendu 2 C. Chaque client prend un plat (et un seul) au prix unique de 18 C, ne prend pas plus d’un dessert ni plus d’un café. a) Quelles sont les six valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client ? b) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme totale dépensée par un client : Sommes si p (si )

18

20

24

0,02

c) Calculer l’espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.

A. YALLOUZ (MATH@ES)

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