Indépendance Probabilités Conditionnelles

Exemple.

Soit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} l'espa e asso ié au tirage d'un dé à 8 fa es ave la probabilité uniforme 1 8 . Soient :

A1 = {1, 2, 3, 4} Notons tout de suite que B onditionné par A

A2 = {1, 2, 5, 6} A3 = {3, 4, 5, 6} On a :

P r(A1 ∩ A2) = P r({1, 2}) =

1 =P r(A1)P r(A2) 4

Exemple.

Un dé uniforme est lan é et nous savons que le point

point soit au moins 4 (événement B ) ?

1 =P r(A2)P r(A3) 4 2

Indépendan e

Dénitions

• Deux événements A et B sont dit

P r(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P r(∅) = 0 6=P r(A1)P r(A2)P r(A3 ) =

indépendants, si :

• Une famille Ai, i = 1, ..., n, d'événements est dite indépendante son ensemble, si pour tout sous-ensemble J ⊂ {1, ..., n} : Pr 

\

i∈J



Ai  =

Y

4

Or :

P r(A ∩ B) = P r(A)P r(B).



que A

obtenu est pair (événement A). Quelle est la probabilité pour que le

1 P r(A1 ∩ A3) = P r({3, 4}) = =P r(A1)P r(A3) 4 P r(A2 ∩ A3) = P r({5, 6}) =

n'implique pas

pré ède né essairement B (dans l'ordre hronologique).

1 . 8

***************************************************************

dans Probabilités Conditionnelles

P r(Ai ). Il arrive que la donnée d'un événement modie la probabilité initiale-

i∈J

Remarque.

Pour démontrer l'indépendan e d'une famille Ai, i = 1, ..., n, il ne sut pas de prouver que les Ai sont 2-à-2 indépendants, omme le montre l'exemple suivant.

1

ment ae tée à un autre. La notion de probabilité onditionnelle est introduite an de formaliser le on ept de la probabilité de l'o

urren e d'un événement B sa hant qu'un autre A s'est produit.

3

Probabilité des Causes

Nous avons alors :

P r(A ∩ B) = P r(B/A)P r(A). Nous disons alors que l'on a

ee tué un onditionnement par A.

Dans le as où P r(A) 6= 0, l'indépendan e de A et B est équivalente à P r(B/A) = P r(B) ; e qui est en a

ord ave sa dénition intuitive.

Soit l'événement B ausé par l'un des événements A1, A2, ..., An , tous de probabilité non nulle. On onnaît les probabilités P r(Ai ) de es derniers événements et aussi les probabilités onditionnelles P r(B/Ai ). Comment trouver les probabilités des auses sa hant que B s'est produit, i.e. les probabilités P r(Ai /B) ?

Proposition. Le ouple (A, P r(./A)) est un espa e probabilisé dis ret. Proposition.

Soit A1, ..., An une partition de Ω. Si ha un de es ensembles est de probabilité non nulle, alors :

P r(B) =

n X

Théorème (Formule de Bayes).

Soit A1, ..., An une partition de Ω telle que P r(Ai ) = 6 0, ∀i = 1, ..., n. Soit B un événement de probabilité non nulle. Nous avons :

P r(Ai )P r(B/Ai ) , j=1 P r(Aj )P r(B/Aj )

P r(Ai /B) = Pn

P r(Ai )P r(B/Ai ), ∀B ∈ P(Ω).

i=1

i = 1, 2, ..., n

6

Il est lair que le nouvel espa e ( onditionné par l'événement A) sur lequel les événements élémentaires sont à dénir est Ω′ = A, qui

ontient 3 éléments. Or, la portion de A qui est en même temps favorable à B en ontient 2. Il est don raisonnable de dénir la probabilité 1 de B onditionné par A par le ratio 2 3 (à omparer ave P r(B) = 2 ).

Dénitions.

Soit (Ω, P r) un espa e probabilisé dis ret et soit A un

événement de probabilité non nulle. On dénit sur P(Ω), l'appli ation

P r(./A) à valeurs dans [0, 1] par : P r(B/A) =

Exemple.

On lan e deux dés uniformes.

• Quelle est la probabilité d'avoir obtenu un double sa hant que la somme des points vaut 8 ? • Quelle est la probabilité d'avoir obtenu un double sa hant que la somme des points vaut au moins 10 ?

Solution : Cha une de es probabilités onditionnelles est dénie par une fra tion dont le numérateur est la probabilité de l'interse tion et

∀B ∈ P(Ω).

probabilité onditionnelle de sa hant A).

On appelle P r(B/A)

probabilité de B

P r(A ∩ B) , P r(A)

8

B

sa hant

A (ou 5

le dénominateur elle de la ondition. On trouve fa ilement : 1/36 • P r(double/S = 8) = 5/36 = 1 5. 2/36 • P r(double/S ≥ 10) = 6/36 = 1 3.

7

Loi Conjointe Exemple

(F. Dress). Dans un jeu télévisé, un andidat doit hoi-

sir une question de repê hage en tirant au hasard parmi 3 papiers. Il y a :  une question fa ile ave 3 han es sur 4 de donner la réponse

orre te,  une question moyenne ave 2 han es sur 5 de donner la réponse

orre te, et  une question di ile ave 1 han e sur 5 de donner la réponse

Dans la suite, nous onsidérons un ouple de v.a., mais l'étude s'étend à un nombre quel onque de v.a.

Dénitions.

Soient X et Y deux v.a. réelles sur le même espa e Ω. Le ouple (X, Y ) peut être onsidéré omme un ve teur aléatoire sur Ω. Sa loi est appelée loi onjointe de (X, Y ). La onnaissan e de

ette dernière permet de retrouver la loi de X et elle de Y individuellement. En eet, pour tout ensemble A ⊂ X(Ω) et tout ensemble B ⊂ Y (Ω) :

orre te. Sa hant que le andidat a donné la réponse orre te, quelle est la probabilité pour qu'il s'agisse de la question fa ile ?

P r1(X ∈ A) = P r(X ∈ A, Y ∈ R) et

P r2(Y ∈ B) = P r(X ∈ R, Y ∈ B).

10

12

Solution :

Désignons par F , M et D les événements tirage de la

question fa ile, de la question moyenne et de la question di ile resEn parti ulier, pour deux événements A et B de probabilité non nulle, nous avons :

P r(A/B) =

P r(A)P r(B/A) . P r(B)

• P r(A) : probabilité a priori de A • P r(A/B) : probabilité a posteriori

pe tivement. Soit, par ailleurs, l'événement réponse orre te noté par C . D'après la formule de Bayes, nous avons :

P r(F /C) =

de A

P r(F )P r(C/F ) , P r(C/F )P r(F ) + P r(C/M )P r(M ) + P r(C/D)P r(D)

e qui vaut : 1.3 5 3 4 = . 1.3 + 1.2 + 1.1 9 3 4 3 5 3 5

9

11

A. B.

On reprend la piè e et on la repose sur la même fa e. On la relan e indépendamment du premier lan er.

Solution :

Les lois onjointes sont données par : P r({F, F }) = P r({P, P }) = 1 2 et P r({F, P }) = P r({P, F }) =0. P r({F, F }) = P r({P, F }) = P r({F, P }) = P r({P, P }) = 1 4. Il s'agit don de deux lois distin tes

A. B.

Soit X la v.a. asso iée au lan er du dé. L'événement A

asso ié à la ondition est l'ensemble {1, 2, 3}. La probabilité de la

ondition A est 1 2 . L'espéran e onditionnelle re her hée vaut :

E(X/A) = Les lois marginales dans les deux as sont données par :

P r({P }) = P r({F }) =

1 1 2 3 [ + + ] = 2. 1 6 6 6 2

1 . 2

Pour deux lois onjointes distin tes, on a les mêmes lois marginales.

14

X et Y sont dites indépendantes, si pour tout ensemble A ⊂ X(Ω) et tout ensemble B ⊂ Y (Ω) :

16

Espéran e Conditionnelle Soit X une v.a. et soit A un événement de probabilité non nulle.

espéran e de X sa hant A est dénie par :

L'

P r(X ∈ A, Y ∈ B) = P r1(X ∈ A)P r2 (Y ∈ B).

lois marginales

Les distributions P r1 et P r2 sont appelées du ve teur (X, Y ). Dans la suite, nous supprimons les indi es de P r lorsqu'il n'y a pas le danger de onfusion. La onnaissan e des lois marginales ne

E(X/A) = EP r(./A)X ou :

E(X/A) =

permet pas de re onstruire la loi onjointe.

Exemple.

On lan e une piè e authentique une première fois. Pour

le 2e lan er, on onsidère deux possibilités :

Exemple.

X 1 X(ω)P r({ω}). P r(A) ω∈A

Quelle est l'espéran e d'un dé uniforme sa hant que le

nombre sorti est inférieur ou égal à 3 ?

13

15