Inleiding in de statistiek voor de gedragswetenschappen. Met

INLEIDING IN DE STATISTIEK VOOR DE GEDRAGSWETENSCHAPPEN. MET ONDERSTEUNING VAN SPSS

1

DOELSTELLINGEN: De student kent de eigenschappen van een normale verdeling; De student kent de standaardnormale verdeling en kan omgaan met Z-waarden; De student kan – in een normale verdeling - het verband leggen tussen proporties en Z-waarden en omgekeerd; De student kan deze principes toepassen in om het even welke normale verdeling.

HOOFDSTUK VII DE NORMALE VERDELING

F. Gauss

DE NORMALE VERDELING • Een intervalwaarde die afhankelijke is van een oneindig

aantal factoren, die los van elkaar inwerken, zal in de populatie een normale verdeling vertonen (Gausscurve); bv. Intelligentie.

Gemiddelde in steekproef: X Gemiddelde in de populatie: µ Standaarddeviatie in de steekproef: s Standaarddeviatie in de populatie: σ

KENMERKEN VAN DE NORMALE VERDELING Dergelijke verdeling heeft 1 maximum MO = Me = Gemiddelde

-3

-2

-1

1

2

3

4

KENMERKEN VAN NORMALE VERDELING Twee buigpunten

-3

-2

-1

1

2

3

4

KENMERKEN VAN DE NORMALE VERDELING • Symmetrie

De oppervlakte links en rechts van het gemiddelde zijn gelijk (skw = 0) • Kurtosis: kurt =0

-3

-2

-1

1

2

3

4

KENMERKEN VAN DE NORMALE VERDELING • De grafische weergave van de normale

verdeling is klokvormig; De uitslagen liggen vooral geconcentreerd rond het gemiddelde, naarmate scores afwijken t.o.v. het gemiddelde wordt de frequentie kleiner.

PARAMETERS VAN DE NORMALE VERDELING • Gemiddelde: µ (mu)

In µ bereikt de Gausscurve zijn maximum

• Standaarddeviatie: σ (sigma)

De twee buigpunten van de Gausscurve bevinden zich op µ - σ en op µ + σ

Zeer belangrijk VERDELING IN DE GAUSSCURVE Tussen beide buigpunten bevinden zich +/- 68% van de observaties; Tussen µ - 2 σ en µ + 2 σ situeren zich +/- 95% van de observaties; Tussen µ - 3 σ en µ + 3 σ bevinden zich +/- 99% à 100 van alle waarnemingen.

KENMERKEN VAN DE NORMALE VERDELING • Als we van een normale verdeling het

gemiddelde en de standaarddeviatie kennen, is deze verdeling gedefinieerd. Notatie: (de variabele) X ~ n(µ,)

Y

De normale verdeling

Verschillende µ, zelfde  -4

-2

0

2

4

6

8

X

Y

Verschillende , zelfde µ -15

-10

-5

0 X

5

10

15

SPECIALE NORMALE VERDELING • Een normale verdeling met gemiddelde nul en

standaarddeviatie 1, noemen we een standaardnormale verdeling.

Notatie: Z ~ n(0,1) -3

-2

-1

1

2

3

4

DE STANDAARDNORMALE VERDELING • Vanuit de eigenschappen van de normale

verdeling kunnen we vaste relaties vinden tussen de proportie van uitslagen en Zwaarden. Welk is de kans om in een standaardnormale verdeling een uitslag te vinden die groter of kleiner is een bepaalde Z-waarde?

DE STANDAARDNORMALE VERDELING • Eerste geval: Z is positief.

Hoeveel percent van de scores verwachten we beneden deze Z-waarde? In dat geval kunnen we het percentage aflezen uit de tabel, bv. Z = 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

DE STANDAARDNORMALE VERDELING z

-3

-2

-1

1

2

3

4

P  Z  1  0,8413

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869

DE STANDAARDNORMALE VERDELING • Tweede

voorbeeld.

Hoeveel % van de observaties verwacht u in een normale verdeling beneden Z = 1,59?

P  Z  1,59   0,9441 En hoeveel observaties verwacht u hoger dan Z = 1,59?

-3

-2

-1

1

2

3

4

DE STANDAARDNORMALE VERDELING • Geval twee: de Z-waarde is negatief.

Hoeveel % van de observaties liggen in een standaard normaal verdeling onder de Z-waarde -1?

-3

-2

-1

1

2

3

4

P  Z  -1  P  Z  1 P  Z  -1  P  Z  1

-3

-2

-1

1

2

3

4

-3

P  Z  -1  P  Z  1

-2

-1

 1 - P  Z  1

1

2

 1 - P  Z  1

P  Z  -1  1 - P  Z  1 -3

-2

-1

1

2

3

4

3

4

STANDAARDNORMALE VERDELING

Methode: 1 – percentiel |Z|

P  Z  -1  1 - 0,8413  0,1587

-3

-2

-1

1

2

3

4

z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869

STANDAARDNORMALE VERDELING • Voorbeeld 2

Hoeveel % van de uitslagen situeren zich in een standaardnormale verdeling beneden Z= -1,16?

P  Z  -1,16   1 - 0,8770  0,1230 Dus 12%

-3

-2

-1

1

2

3

4

STANDAARDNORMALE VERDELING • In een standaardnormale verdeling, hoeveel

observaties situeren zich tussen twee Zwaarden?

-3

-2

-1

1

2

3

4

STANDAARDNORMALE VERDELING • In principe maak het verschil van % beneden de

hoogste waarde, verminderd met % beneden de laagste waarde; Beide Z-waarden zijn positief Concreet hoeveel % van de uitslagen verwacht je in een standaardnormale verdeling tussen Z = 0,5 en Z = 1,5?

P  0,5  Z  1,5   P  Z  1,5  - P  Z  0,5 

 0,9332 - 0, 6915  0, 2417

STANDAARDNORMALE VERDELING • Beide Z-waarden zijn negatief

Bepaal de oppervlakte tussen Z = -1,53 en Z= 0,56 P  -1,53  Z  -0,56   P  Z  -0,56  - P  Z  -1,53

 1 - 0, 7123 - 1 - 0,9370  0, 2247 -3

-2

-1

1

2

3

4

STANDAARDNORMALE VERDELING • Derde geval: 1 van beide Z-waarden is

negatief, de ander is positief. Bepaal in een standaardnormale verdeling het aantal ppn tussen de Z-waarden -1,26 en 2,01 P  -1, 26  Z  2, 01  P  Z  2, 01 - P  Z  -1, 26   0,9778 - 1 - 0,8962  0,8740

-3

-2

-1

1

2

3

4

DE NORMALE VERDELING • Uitbreiding van de resultaten van de

standaardnormale verdeling naar om het even welke normaalverdeling met µ als gemiddelde en sigma als standaarddeviatie bv. Hoeveel procent van de bevolking heeft een IQ lager dan 80? In de veronderstelling dat µ = 100 en sigma = 15 Werk het probleem eerst uit via Z-waarden en zet deze om naar X-waarden.

DE NORMALE VERDELING P  X  80  80 - 100    P Z   15  

 P  Z  -1,33 45

6

75

9

15

12

135

15

 1 - 0,9082  0, 0918

DE NORMALE VERDELING

• Andere vraagstuk:

Stel normale verdeling en µ =100 en sigma = 15 Hoeveel procent van de observaties in een normale verdeling verwacht u boven de 130? (opl. 2%)

Opgave

Hoeveel procent van de bevolking heeft een IQ (=X) tussen 90 en 110? µ  100   15

P  90  X  110  Oplossing: 50%

Opgave

P  90  X  110 

µ  100   15

110 - 100   90 - 100  P Z  15  15 

 P  -0, 67  Z  0, 67   P  Z  0, 67  - P  Z  -0, 67 

 0, 7486 - 1 - 0, 7486   0, 4972

Opgave

Hoeveel procent van de bevolking heeft een IQ (=X) op maximaal één standaardafwijking van het gemiddelde? µ  100   15

P 100 - 15  X  100  15 

OPGAVE

P 100 - 15  X  100  15

115 - 100   85 - 100  P Z  15  15 

 P  -1, 00  Z  1, 00 

 P  Z  1, 00  - P  Z  -1, 00 

 0,8413 - 1 - 0,8413  0, 6826

Belangrijk

P µ -   X  µ     0, 6826

Opgave

Hoeveel procent van de bevolking heeft een IQ (=X) op maximaal twee standaardafwijkingen van het gemiddelde? µ  100   15

P 100 - 2 15  X  100  2 15 

OPGAVE

130 - 100   70 - 100  P Z  15  15 

 P  -2, 00  Z  2, 00   P  Z  2, 00  - P  Z  -2, 00 

 0,9772 - 1 - 0,9772   0,9544

Belangrijk

P µ - 2  X  µ  2   0,9544

Opgave

Hoeveel procent van de bevolking heeft een IQ (=X) op maximaal drie standaardafwijkingen van het gemiddelde?

µ  100   15

Belangrijk

P µ - 3  X  µ  3   0,9974

DE STANDAARDNORMALE VERDELING • Bepaal de Z-waarde behorende bij een

bepaald percentiel in een normale verdeling Geval 1. Het % is groter als 0,50 Deze Z-waarde is rechtstreeks af te lezen uit de tabel Beneden welke Z-waarde situeert zich 87,29% van de uitslagen?

DE STANDAARDNORMALE VERDELING • Geval 1

-3

-2

-1

1

2

z87,29  1,14

3

4

z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729

DE STANDAARDNORMALE VERDELING • Geval 2. De proportie is kleiner dan 50%

In dit geval verwachten we een Zwaarde die negatief is. Bv. Beneden welke Z-waarde situeert zich 20,05% van de observaties in een normale verdeling?

Voorbeeld: P=0,2005=20,05%

-3

-2

0, 7995

0, 7995

0, 2005

-1

z 20,05

1

2

3

4

-3

-2

0, 2005

-1

z 20,05  -z 79,95

z 20,05  -0,84

1

2

3

4

z 79,95

z 79,95  0,84

STANDAARDNORMALE VERDELING • Methode voor de oplossing als het

percentage kleiner is dan 0,50 - bereken 1 – P - zoek de Z-waarde behorende bij 1 – P - plaats een minteken voor de gevonden Z-waarde.

z P  -z100% - P

DE NORMALE VERDELING • Uitbreiding naar om het even welke normale

verdeling. Beneden welke score liggen een bepaald percentage van de observaties, gegeven µ en gegeven sigma? Bijvoorbeeld bepaal het IQ waarvan je weet dat 80% van de mensen een lager IQ heeft.

Bepaal de IQ-score met percentiel 80 (m.a.w. bepaal de IQ-score waar 80% van de bevolking onder zit)

µ  100

P  X  x 80   0,80

  15

z80  0,84  x 80  µ  z P    100  0,84 15  112, 6

Bepaal de IQ-score met percentiel 30 (m.a.w. bepaal de IQscore waar 30% van de bevolking onder zit)

µ  100   15

P  X  x 30   0,30

z30  -0,52

 x 30  µ  z P    100   -0,52  15  92, 2

Tussen welke IQ-scores ligt de middelste 50% van de bevolking?

µ  100   15

P  x 25  X  x 75   0,50

z 75  0, 67  z 25  -0, 67  x 25  100 - 0, 67 15  89,95 Q  110, 05 - 89,95  20,1

 x 75  100  0, 67 15  110, 05

Tussen welke IQ-scores ligt de middelste 90% van de bevolking?

µ  100   15

P  x 05  X  x 95   0,90

z95  1, 645  z 05  -1, 645  x 05  100 - 1, 645 15  75,325

 x 95  100  1, 645 15  124, 675

Tussen welke IQ-scores ligt de middelste 95% van de bevolking?

µ  100   15

P  x 2,50  X  x 97,5   0,95

 x 2,5  100 - 1,96 15  70, 6

 x 97,5  100  1,96 15  129, 4

z97,5  1,96  z 2,5  -1,96

Wie een IQ heeft dat behoort tot de hoogste 2% van de populatie, kan lid worden van een vereniging. Wat is het laagste IQ waarmee men nog wordt toegelaten?

µ  100 Welke Zwaarde komt overeen met PC98?

  15

z98  2, 05

 x 98  100  2, 05 15  130, 75

OPGAVEN Zie handboek

INLEIDING IN DE STATISTIEK VOOR DE GEDRAGSWETENSCHAPPEN. MET ONDERSTEUNING VAN SPSS

53