Integración numérica de orden arbitrario

INTRODUCCION Aqui examinamos un procedimiento para obtener una fórmula de integración numérica de orden arbitrario. La técnica de cuadrátura Gaussiana que produce fórmulas de alto grado utilizando puntos distribuidos en el intervalo de integración en forma no uniforme. Integración Numérica Cuadratura gaussiana: Las fórmulas de Trapecios y Simpson utilizan nodos equidistantes y dan valores exactos para polinomios de grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios y n = 2 en el caso de Simpson).La elección de puntos equidistantes no es la mejor. Puede seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximación. La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera óptima. El método consiste en seleccionar los nodos x1, x2,. . ., xn en [a, b] y los coeficientes c1, c2,. . ., cn que minimicen el error de la aproximación

Reglas de Cuadrátura Gaussiana: Consideramos por el momento integrales de la forma

Note que si el integral esta dado en un intervalo arbitrario [a,b] entonces mediante el cambio de variables

tenemos que

lo cual nos da una integral en [−1,1]. Asi que sin perdida de generalidad podemos asumir que el integral es en [−1,1]. Sean x1,x2,,xn puntos (no necesariamente uniformemente distribuidos) en [−1,1] y w1,w2,,wn números llamados pesos ("weights"). Los puntos xj's y los pesos wj's se determinan de modo que la fórmula de integración numérica

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sea exacta para polinomios de grado a lo más 2n−1, i.e., In(p)=I(p) para todo polinomio p de grado a lo más 2n−1. Como In é I son operadores lineales, basta verificar que

Caso n=1: Aqui I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos pues la fómula numérica I1(f)=2f(0) lo cúal se conoce como la fórmula del punto medio. Caso n=2: Tenemos ahora que I2(f)= w1f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que I2(xi)=I(xi) para i=0,1,2,3. Esto nos lleva al siguiente sistema nolineal para x1,x2,w1,w2:

Suponiendo que x1, x2 son conocidas, resolvemos la tercera y cuarta ecuación (que son lineales en los w's) mediante la regla de Cramer para w1, w2 obteniendo asi que

Sustituyendo estas expresiones en la primera y segunda ecuación y resolviendo para x1, x2 obtenemos que

Asi que nuestra fórmula numérica en el caso n=2 lee como sigue:

Caso n>2: Al aplicar las condiciones se obtiene un sistema nolineal de 2n ecuaciones en 2n desconocidas (las x's y las w's). Este sistema se puede resolver numéricamente usando el método de Newton para sistemas nolineales. Pero en lugar de proceder de esta forma se utiliza el hecho de que se puede demostrar que los xi's son los ceros del n−esimo polinomio de Legendre Ln(x). Estos polinomios se definen por la recursión

En particular tenemos que L2(x)=(3/2)x2−(1/2) cuyos ceros son ððððð que fueron los x's que determinamos en el caso n=2. También 2

de donde podemos obtener los x's para las fórmulas de los casos n=3,4 respectivamente. Teniendo los x's podemos ahora calcular los w's resolviendo un sistema lineal de ecuaciones. Ejemplo 2: Aproximamos

usando la regla de cuadrátura con n=2. Primero hacemos un cambio de variables de modo que el integral sea en el intervalo de [−1,1]. Para esto usamos el cambio de variables discutido al principio de esta sección lo que resulta en:

Tenemos ahora que

Hay 2n parámetros que elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, un polinomio de grado 2n − 1 también tiene 2n parámetros. Este es el tipo de polinomios de mayor grado para el cual se puede esperar que la solución sea exacta. • Caso n = 2 e intervalo [−1, 1] Queremos determinar x1, x2, c1 y c2 para que la fórmula

de un resultado exacto siempre que f(x) sea un polinomio de grado 2 · 2 − 1 = 3 o menor

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Hay que demostrar que la fórmula produce resultados exactos cuando f(x) es 1, x, x2 y x3.

Este sistema de ecuaciones tiene solución única

La siguiente fórmula da resultados exactos para polinomios de grado _ 3

_ Caso general Para n _ 2 e intervalo [−1, 1] el cálculo de los xi y ci se realizan utilizando los polinomios de Legendre y sus raíces. Las constantes ci y las raíces de los polinomios de Legendre están tabuladas

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Así:

Para el caso general de un intervalo cualquiera [a, b] se realiza un cambio de variable en la integral:

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