Integrales. Integral de Riemann. Cálculo integral

La integral de Riemann

CONCEPTO DE INTEGRAL

La geometría nos facilita ciertas fórmulas para calcular el área de determinadas figuras (círculo, triángulo, etc.). El problema se nos plantea cuando deseamos conocer el área definida por una función y = f(x), por ejemplo cuando alcanza zonas positivas y zonas negativas. Es decir, partiendo de un punto O y teniendo dos intervalo (a, O) y (O, b), el número que asignamos como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b].

Partición

Sea a < b. Recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] toda colección finita de puntos de [a, b], de los cuales uno es a y otro es b.

Ejemplo

Partición en cuatro subintervalos

a = t0 < t1 < t2 < t3 < t4 = b

mi = mínimo de f en el intervalo i Mi = máximo de f en el intervalo i

s = m1 · (t1 − t0) + m2 · (t2 − t1) + m3 · (t3 − t2) + m4 · (t4 − t3) S = M1 · (t1 − t0) + M2 · (t2 − t1) + M3 · (t3 − t2) + M4 · (t4 − t3)

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Generalizando: supongamos una función f acotada sobre [a, b] y P una partición de [a, b]:

•ð •ð

mi = inf { f(x) : ti−1